全等三角形提高题含标准答案.docx
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全等三角形提高题含标准答案
全等三角形提高题（含答案）
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全等三角形提高32题（含答案）
1.已知：
AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
2.已知：
BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：
∠1=∠2
3.
B
A
C
D
F
2
1
E
已知：
∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：
EF=AC
4.已知：
AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：
∠B=2∠C
A
C
D
B
5.
已知：
AC平分∠BAD，CE⊥AB，
∠B+∠D=180°，求证：
AE=AD+BE
6.如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
7.已知：
AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：
∠F=∠C
D
C
B
A
F
E
8．如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
AD⊥BC．
9．如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．
求证：
∠OAB=∠OBA
10．如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线交AP于D．求证：
AD+BC=AB．
11．如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：
∠C=2∠B
12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．
（1）求证：
MB=MD，ME=MF
（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
13．已知：
如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，
（1）求证：
△AED≌△EBC．
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：
14．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．
求证：
BD=2CE．
15、如图：
AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF。
求证：
AM是△ABC的中线。
16、AB=AC，DB=DC，F是AD的延长线上的一点。
求证：
BF=CF
17、如图：
AB=CD，AE=DF，CE=FB。
求证：
AF=DE。
18..公园里有一条“Z”字形道路ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.
19．已知：
点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：
△ABE≌△CDF．
20．已知：
如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F，
求证：
BE=CD．
21.已知：
如图,AC
BC于C,DE
AC于E,AD
AB于A,BC=AE．若AB=5,
求AD的长？
22．如图：
AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为E、F，ME=MF。
求证：
MB=MC
23．在△ABC中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，求证：
①
≌
；②
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，
（1）中的结论还成立吗？
若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
24．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
求证：
（1）EC=BF；
（2）EC⊥BF
25．如图：
BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。
求证：
（1）AM=AN；
（2）AM⊥AN。
26．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:
BC∥EF
27．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？
请证明。
28、如图,已知:
AD是BC上的中线,且DF=DE．求证:
BE∥CF．
29、已知：
如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，
．
求证：
．
30、如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明
31、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：
AE＝DE.
A
B
E
C
D
32．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：
∠ADC＝∠BDE．
A
B
C
D
E
F
图9
答案
1.
延长AD到E,使DE=AD,
则△ADC≌△EBD
∴BE=AC=2
在△ABE中,AB-BE∴10-2<2AD<10+24又AD是整数,则AD=5
2.
证明：
连接BF和EF。
∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF。
∴△BCF≌△EDF（边角边）。
∴BF=EF,∠CBF=∠DEF。
连接BE。
在△BEF中,BF=EF。
∴∠EBF=∠BEF。
又∵∠ABC=∠AED。
∴∠ABE=∠AEB。
∴AB=AE。
在△ABF和△AEF中，
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF。
∴△ABF≌△AEF
∴∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）。
3.
证明：
过E点，作EG//AC，交AD延长线于G
则∠DEG=∠DCA，∠DGE=∠2
又∵CD=DE
∴△ADC≌△GDE（AAS）
∴EG=AC
∵EF∥AB
∴∠DFE=∠1
∵∠1=∠2
∴∠DFE=∠DGE
∴EF=EG
∴EF=AC
4.
证明：
在AC上截取AE=AB，连接ED
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD=∠BAD
又∵AE=AB，AD=AD
∴⊿AED≌⊿ABD（SAS）
∴∠AED=∠B，DE=DB
∵AC=AB+BD
AC=AE+CE
∴CE=DE
∴∠C=∠EDC
∵∠AED=∠C+∠EDC=2∠C
∴∠B=2∠C
5.
证明：
在AE上取F，使EF＝EB，连接CF
∵CE⊥AB
∴∠CEB＝∠CEF＝90°
∵EB＝EF，CE＝CE，
∴△CEB≌△CEF
∴∠B＝∠CFE
∵∠B＋∠D＝180°，∠CFE＋∠CFA＝180°
∴∠D＝∠CFA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC＝∠FAC
又∵AC＝AC
∴△ADC≌△AFC（SAS）
∴AD＝AF
∴AE＝AF＋FE＝AD＋BE
6.
证明:
在BC上截取BF=BA,连接EF.
∵∠ABE=∠FBE,BE=BE,∴⊿ABE≌ΔFBE（SAS）,∠EFB=∠A;
AB平行于CD,∴∠A+∠D=180°;
又∵∠EFB+∠EFC=180°,∴∠EFC=∠D;
又∵∠FCE=∠DCE,CE=CE,∴⊿FCE≌ΔDCE（AAS）,FC=CD.
∴BC=BF+FC=AB+CD.
7.
∵AB∥ED,AE∥BD∴AE=BD,
又∵AF=CD,EF=BC
∴△AEF≌△DCB，
∴∠C=∠F
8.
延长AD至H交BC于H;
BD=DC;
∴∠DBC=∠DCB;
∠1=∠2;
∠DBC+∠1=∠DCB+∠2;
∠ABC=∠ACB;
∴AB=AC;
△ABD≌△ACD;
∠BAD=∠CAD;
AD是等腰三角形的顶角平分线
∴AD⊥BC
9.
∵AOM与MOB都为直角三角形、共用OM，且∠MOA=∠MOB
∴MA=MB
∴∠MAB=∠MBA
∵∠OAM=∠OBM=90度
∴∠OAB=90-∠MAB∠OBA=90-∠MBA
∴∠OAB=∠OBA
10.
证明：
做BE的延长线，与AP相交于F点，
∵PA∥BC
∴∠PAB+∠CBA=180°，
又∵，AE，BE均为∠PAB和∠CBA的角平分线
∴∠EAB+∠EBA=90°∴∠AEB=90°，EAB为直角三角形
在△ABF中，AE⊥BF，且AE为∠FAB的角平分线
∴△FAB为等腰三角形，AB=AF,BE=EF
在△DEF与△BEC中，
∠EBC=∠DFE,且BE=EF，∠DEF=∠CEB，
∴△DEF≌△BEC，∴DF=BC
∴AB=AF=AD+DF=AD+BC
11.
证明：
在AB上找点E，使AE=AC
∵AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADE≌△ADC。
DE=CD，∠AED=∠C
∵AB=AC+CD，∴DE=CD=AB-AC=AB-AE=BE
∠B=∠EDB
∠C=∠B+∠EDB=2∠B
12.
分析：
通过证明两个直角三角形全等，即Rt△DEC≌Rt△BFA以及垂线的性质得出四边形BEDF是平行四边形．再根据平行四边形的性质得出结论．
解：
（1）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE，DF．
∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，，
∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∵AF=CE，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴DE=BF．
∴四边形BEDF是平行四边形．
∴MB=MD，ME=MF．
13.
（1）
∵DC∥AE，且DC=AE，∴四边形AECD是平行四边形。
于是知AD=EC，且∠EAD=∠BEC。
由AE=BE，
∴△AED≌△EBC。
（2）△AEC、△ACD、△ECD都面积相等。
14.
证明：
延长BA、CE，两线相交于点F
∵BE⊥CE
∴∠BEF=∠BEC=90°
在△BEF和△BEC中
∠FBE=∠CBE,BE=BE,∠BEF=∠BEC
∴△BEF≌△BEC（ASA）
∴EF=EC
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90°,∠ACF+∠CDE=90°
又∵∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠ACF
在△ABD和△ACF中
∠ABD=∠ACF,AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°
∴△ABD≌△ACF（ASA）
∴BD=CF
∴BD=2CE
15.
证明：
∵BE∥CF
∴∠E=∠CFM，∠EBM=∠FCM
∵BE=CF
∴△BEM≌△CFM
∴BM=CM
∴AM是△ABC的中线.
16.
证明：
在△ABD与△ACD中
AB=AC
BD=DC
AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴∠ADB=∠ADC
∴∠BDF=∠FDC
在△BDF与△FDC中
BD=DC
∠BDF=∠FDC
DF=DF
∴△FBD≌△FCD
∴BF=FC
17.
∵AB=DCAE=DFCE=FB
CE+EF=EF+FB
∴△ABE≌△CDF
∵∠DCB=∠ABF
AB=DCBF=CE
∴△ABF≌△CDE
∴AF=DE
18.
证：
∵AB平行CD（已知）
∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）
∴EM=FM（中点定义）
在△BME和△CMF中
BE=CF（已知）
∠B=∠C（已证）
EM=FM（已证）
∴△BME全等与△CMF（SAS）
∴∠EMB=∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF=∠EMB+∠BMF=∠FMC+∠BMF=∠BMC=180°（等式的性质）
∴E，M，F在同一直线上
19.
证明：
∵AF=CE
∴AF+EF=CE+EF
∴AE=CF
∵BE//DF
∴∠BEA=∠DFC
又∵BE=DF
∴△ABE≌△CDF（SAS）
20.
证明：
∵AB=AC，
∴∠EBC=∠DCB
∵BD⊥AC，CE⊥AB
∴∠BEC=∠CDB
BC=CB（公共边）
∴△EBC≌△DCB
∴BE＝CD
21.
∠C=∠E=90度
∠B=∠EAD=90度-∠BAC
BC=AE
△ABC≌△DAE
AD=AB=5
22.
证明∵AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
∴∠B=∠C
又∵ME=MF，△BEM和△CEM是直角三角形
∴△BEM全等于△CEM
∴MB=MC
23.
（1）证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，
而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，
∴∠ADC=∠CEB=90°，∠BCE+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE．
在Rt△ADC和Rt△CEB中，{∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴Rt△ADC≌Rt△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=DC+CE=BE+AD；
（2）不成立，证明：
在△ADC和△CEB中，{∠ADC=∠CEB=90°∠ACD=∠CBEAC=CB，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD=CE，DC=BE，
∴DE=CE-CD=AD-BE；
24.
（1）证明
∵AE⊥AB
∴∠EAB=∠EAC+∠CAB=90度
∵AF⊥AC
∴∠CAF=∠CAB+∠BAF=90度
∴∠EAC=∠BAF
∵AE=ABAF=AC
∴△EAC≌△FAB
∴EC=BF
∠ECA=∠F
（2）
（2）延长FB与EC的延长线交于点G
∵∠ECA=∠F（已证）
∴∠G=∠CAF
∵∠CAF=90度
∴EC⊥BF
25.
证明：
（1）
∵BE⊥AC，CF⊥AB
∴∠ABM+∠BAC=90°，∠ACN+∠BAC=90°
∴∠ABM=∠ACN
∵BM=AC，CN=AB
∴△ABM≌△NAC
∴AM=AN
（2）
∵△ABM≌△NAC
∴∠BAM=∠N
∵∠N+∠BAN=90°
∴∠BAM+∠BAN=90°
即∠MAN=90°
∴AM⊥AN
26.
连接BF、CE，
证明△ABF≌△DEC（SAS），
然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形BCEF
从而求得BC平行于EF
27.
在AB上取点N,使得AN=AC
∠CAE=∠EAN,AE为公共边,∴△CAE≌△EAN
∴∠ANE=∠ACE
又∵AC平行BD
∴∠ACE+∠BDE=180
而∠ANE+∠ENB=180
∴∠ENB=∠BDE
∠NBE=∠EBN
BE为公共边,
∴△EBN≌△EBD
∴BD=BN
∴AB=AN+BN=AC+BD
28.
证明：
∵AD是中线
∴BD=CD
∵DF=DE，∠BDE=∠CDF
∴△BDE≌△CDF
∴∠BED=∠CFD
∴BE∥CF
29.
证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠DEC=∠AFB=90°，
在Rt△DEC和Rt△BFA中，DE=BF，AB=CD，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA，
∴∠C=∠A，
∴AB∥CD．
30.
结论：
CE>DE。
当∠AEB越小，则DE越小。
证明：
过D作AE平行线与AC交于F，连接FB
由已知条件知AFDE为平行四边形，ABEC为矩形，
且△DFB为等腰三角形。
RT△BAE中，∠AEB为锐角，即∠AEB<90°
∵DF//AE∴∠FDB=∠AEB<90°
△DFB中∠DFB=∠DBF=（180°-∠FDB）/2>45°
RT△AFB中，∠FBA=90°-∠DBF<45°
∠AFB=90°-∠FBA>45°
∴AB>AF
∵AB=CEAF=DE
∴CE>DE
31.
先证明△ABC≌△BDC的出角ABC=角DCB
在证明△ABE≌△DCE
得出AE=DE
32.
证明：
作CG平分∠ACB交AD于G
∵∠ACB=90°
∴∠ACG=∠DCG=45°
∵∠ACB=90°AC=BC
∴∠B=∠BAC=45°
∴∠B=∠DCG=∠ACG
∵CF⊥AD
∴∠ACF+∠DCF=90°
∵∠ACF+∠CAF=90°
∴∠CAF=∠DCF
∵AC=CB∠ACG=∠B
∴△ACG≌△CBE
∴CG=BE
∵∠DCG=∠BCD=BD
∴△CDG≌△BDE
∴∠ADC=∠BDE
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