普通高等学校招生全国统一考试文科数学带答案.docx
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普通高等学校招生全国统一考试文科数学带答案
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学
注意事项:
1•答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2•回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动,用橡
皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
回答非选择题时,将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3•考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1•已知集合A{x|x23x40},B{4,1,3,5},则A”B
A•{4,1}B•{1,5}
C•{3,5}D•{1,3}
2•若z12ii3,则21=
A•0B•1
C•2D•2
3•埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥•以该四棱锥的高为边长的正方
形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为
4•设O为正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3点,则取到的3点共线的概率为
5•某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度X(单位:
°C)的关系,在20个不同的温
度条件下进行种子发芽实验,由实验数据
(X,y)(i1,2,川,20)得到下面的散点图:
由此散点图,在
10OC至40。
C之间,下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率
y和温度x的回归方程
类型的是
A.yabx
X
C.yabe
2
B.yabx
D.yablnx
6.已知圆x
2
y6x0,过点(1,2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2
7.设函数f(x)
cos(
n
x—)在卜nn的图像大致如下图,则f(x)的最小正周期为
6
10n
D.
C.
3n
2
C.-
8
8.设alog342,则4a
A.—
16
面积为
5
C.-
2
的面积为4n,
12.已知代B,C为球O的球面上的三个点,OO1ABC的外接圆,若O
ABBCACOOi,则球O的表面积为
A.64n
B.48n
C.36n
32n
二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
2xy20,
13.若x,y满足约束条件xy10,则z=x+7y的最大值为
y10,
14.设向量a(1,1),b(m1,2m4),若ab,贝Um.
15.曲线yInxx1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为
16•数列{an}满足an2
(1)nan3n1,前16项和为540,则.
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17~21题为必考题,每个试题考生
都必须作答。
第22、23题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:
共60分。
17.(12分)
某厂接受了一项加工业务,加工出来的产品(单位:
件)按标准分为A,B,C,D四个等级•加工业务约定:
对于A级品、B级品、C级品,厂家每件分别收取加工费90元,50元,20元;对于D级品,厂家每件要赔偿原料损失费50元•该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务•甲分厂加工成本费为25元/件,乙分厂加工成本费为20元/件•厂家为决定由哪个分厂承接加工业务,在两个分厂各试加工了100件这
种产品,并统计了这些产品的等级,整理如下:
甲分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
40
20
20
20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级
A
B
C
D
频数
28
17
34
21
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率;
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润,以平均利润为依据,厂家应选哪个分厂承接加工业务?
18.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知B=150°
(1)若a=,3c,b=2,7,求△ABC的面积;
(2)若sinA+、3sinC=——,求C.
2
19.(12分)
如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,/
APC=90°
(1)证明:
平面PAB丄平面PAC;
(2)设DO=J,圆锥的侧面积为、.3n,求三棱锥P-ABC的体积.
20.已知函数f(x)exa(x2).
(1)当a1时,讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围
2
x2
21.已知A、B分别为椭圆E:
—y1(a〉1)的左、右顶点,
a
线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程;
(2)证明:
直线CD过定点.
(二)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做,则按所做的第一题计分。
22.
[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
16sin
极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为4cos
(1)当k1时,G是什么曲线?
(2)当k4时,求G与C2的公共点的直角坐标.
23.[选修4—5:
不等式选讲](10分)
已知函数f(x)|3x1|2|x1|.
(1)画出yf(x)的图像;
(2)求不等式f(x)f(x1)的解集.
参考答案
选择题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.C
4.A
5.D
6.B
7.C
8.B
9.C
10.D
11.B
12.A
非选择题答案
二、填空题
17•解:
(1)由试加工产品等级的频数分布表知,
甲分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为上004;
100
乙分厂加工出来的一件产品为A级品的概率的估计值为空0.28.
100
(2)由数据知甲分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
65
25
-5
-75
频数
40
20
20
20
因此甲分厂加工出来的100件产品的平均利润为
15.
654025205207520
100
由数据知乙分厂加工出来的100件产品利润的频数分布表为
利润
70
30
0
-70
频数
28
17
34
21
因此乙分厂加工出来的100件产品的平均利润为
702830170347021
10.
100
比较甲乙两分厂加工的产品的平均利润,应选甲分厂承接加工业务.
18•解:
(1)由题设及余弦定理得283c2c22-3c2cos150,
解得c2(舍去),c2,从而a23•
1
△ABC的面积为2^32sin1503
(2)在△ABC中,A
180
BC30
C,所以
sinA、3sinCsin(30
C)
3sinC
sin(30C),
故sin(30C)2.
2
而0C30,所以30
C
45,故C
15.
19.解:
(1)由题设可知,PA=PB=PC.
由于△ABC是正三角形,故可得厶PACPAB.
△PAC^APBC.
又/APC=90°故/APB=90°,/BPC=90°.
从而PB丄PA,PB丄PC,故PB丄平面PAC,所以平面PAB丄平面
(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为I.
由题设可得rl=3,|2r22.
解得r=1,l=3,
从而AB.3•由
(1)可得PA2PB2AB2,故PAPBPC
所以三棱锥P-ABC的体积为1-PAPBPC11(―^3
PAC.
32322
20•解:
(1)当a=1时,f(x)=ex-<72,贝Vf(x)=ex—1.
当x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.
所以f(乂)在(-于0)单调递减,在(0,+8)单调递增.
(2)f(x)=exa
当aw时,f(x)>0,所以f(x)在(-弩+8)单调递增,
故f(x)至多存在1个零点,不合题意.
当a>0时,由f(X)=0可得x=lna.
当x€(-opIna)时,f(X)<0;
当x€(Ina,+o)时,f(x)>0.所以f(x)在(-oIna)单调递减,在(Ina,+o)单调递增,故当
x=lna时,f(x)取得最小值,最小值为f(Ina)=-a(1+lna).
,1一一
(1)若0QW-,则f(Ina)>0f(乂)在(-o+o)至多存在1个零点,不合题意.
e
1
(ii)若a>-,则f(Ina)<0.
e
由于f(—)=e「2>0,所以f(x)在(-°pIna)存在唯一零点.
由
(1)知,当x>2时,ex-(E>0,所以当x>4且x>2In(2a)时,
xx
f(x)e2e2a(x2)e'n(2a)(|2)a(x2)2a0.
故f(乂)在(Ina,+o)存在唯一零点,从而f(乂)在(-o+o)有两个零点.
1
综上,a的取值范围是(1,+o).
e
21.解:
(1)由题设得A(a,0),B(a,0),G(0,1).
则AG(a,1),Gb(a,1).由AGgB8得a218,即a3.
2
所以E的方程为—y21.
9
(2)设C(x!
y!
),D(x2,y2),G(6,t).
若t0,设直线CD的方程为xmyn,由题意可知
由于直线PA的方程为y-(x
9
直线PB的方程为y-(x3),
3
3),所以
所以y2
y19(X13).
3(X23).
可得3%(X23)
『2(X1
3).
2
由于,y21,
2
故y2
(X2
3)(x23)
可得27y1y2
(X1
3)(X23),
2
即(27m)y1y2
m(n
3)(y1y2)
(n3)2
0.①
2
将Xmyn代入—
9
2mn
所以y1y22
m9
y21得(m2
代入①式得(27m2)(n29)
2
9)y
2n
m29
2m(n3)mn
2
2mnyn9
22
(n3)(m9)0
解得n3(舍去),n3.
2
33
故直线CD的方程为xmy,即直线CD过定点(-,0).
22
3若t0,则直线CD的方程为y0,过点(-,0).
2
3
综上,直线CD过定点(|,0).
xcost,2
22.解:
当k=1时,Cl:
ysint,消去参数t得X
4.
XCOSt,—_
(2)当k=4时,Ci:
4消去参数t得Ci的直角坐标方程为.x.y1.
ysint,
C2的直角坐标方程为4x16y30.
1
由'xy1,解得4
4x16y30y1y;
11
故C1与C2的公共点的直角坐标为(冇).
1
x3,x,
3
1
23.解:
(1)由题设知f(x)5x1,x1,3
x3,x1.
yf(x)的图像如图所示.
1
\
1
T
-
1
b
X
1
V
(2)函数yf(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数yf(x1)的图像.
/
Z
J
\
1
\
L
b
yf(x)的图像与y
由图像可知当且仅当
故不等式f(x)f(x
711
f(x1)的图像的交点坐标为(一,).
66
x-时,yf(x)的图像在yf(x1)的图像上方,
6
1)的解集为(,£.
6