实际问题与一元一次方程常见题型.docx
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实际问题与一元一次方程常见题型
实际问题与一元一次方程
（一）基础
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程,工程，配套及和差倍分问题的解题思路.
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为；问题方程嚏将解答.由此可得解决此类
题的一般步骤为:
审、找、设、列、解、检、答.
要点诠释：
（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量,哪些是未知量，以及它们之间的关系。
（2）“找”寻找等量关系；
（3）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x,但有时也可以间接设未知数；
（4）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量,单位要统一；
（5）“解”就是解方程，求出未知数的值.
（6）“检”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可；
（7）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚.
知识点二、常见列方程解应用题的几种类型
1,和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：
增长量=原有量X增长率，
现有量=原有量+增长量，现有量二原有量-降低量.
（2）寻找相等关系：
抓住关键词列方程，常见的关键词有:
多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等.
2.行程问题
（1）三个基本量间的关系：
路程二速度X时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：
I.基本量及关系：
相遇路程二速度和X相遇时间
II.寻找相等关系：
甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题：
I.基本量及关系:
追及路程二速度差X追及时间
n.寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：
前者走的路程=追者走的路程；
第二，同时不同地出发：
前者走的路程+两者相距距离二追者走的路程.
③航行问题：
I.基本量及关系：
顺流速度;静水速度+水流速度，
逆流速度;静水速度-水流速度，
顺水速度-逆水速度=2X水流速度；
II.寻找相等关系：
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
3.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：
（1）总工作量=工作效率X工作时间；
（2）总工作量=各单位工作量之和.
4.调配问题
寻找相等关系的方法：
抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
V1.2011年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米？
【答案与解析】设生产运营用水x亿立方米，则居民家庭用水（5.8-x）亿立方米.
依题意，得5.8-x=3x+0.6
解得x=l.3
5.8-x=5.8-L3=4.5（亿立方米）
答：
生产运营用水1.3亿立方米,居民家庭用水4.5亿立方米.
【总结升华】本题要求两个未知数，不妨设其中一个未知数为x,另外一个用含x的式子表示.本题的相等关系是生产运营用水量+居民家庭用水总量=5.8亿立方米.
举一反三：
【变式】（麻城期末考试）麻商集团三个季度共销售冰箱2800台,第一个季度销售量是第二个季度的2倍.第三个季度销售量是第一个季度的2倍，试问麻商集团第二个季度销售冰箱多少台？
【答案】解：
设第二个季度麻商集团销售冰箱x台，则第一季度销售量为2x台，第三季度销售量为4x台,依题意可得：
x+2x+4x=2800,
解得：
x=400
答:
麻商集团第二个季度销售冰箱400台.
类型二、行程问题
1.一般问题
C2.小山娃要到城里参加运动会，如果每小时走4千米，那么走完预订时间离县城还有0.5千米，如果他每小时走5千米，那么比预订时间早半小时就可到达县城.试问学校到县城的距离是多少千米？
【答案与解析】
解:
设小山娃预订的时间为x小时，由题意得：
4x+0,5=5（x-0.5）,解得x=3.
所以4x+0.5=4X3+0.5=12.5（千米）.
答:
学校到县城的距离是12.5千米.
【总结升华】当直接设未知数有困难时，可采用间接设的方法.即所设的不是最后所求的，而是通过求其它的数量间接地求最后的未知量.
举一反三：
【变式】某汽车在一段坡路上往返行驶,上坡的速度为1。
千米/时,下坡的速度为20千米/时，求汽车的平均速度.
【答案】
解：
设这段坡路长为a千米，汽车的平均速度为x千米/时，则上坡行驶的时间为2小时，下坡行驶的时
/\
间为三小时•依题意，得：
；+=X=2。
，
2011020J
化简得：
3以=40。
.
显然aW0，解得V=13-
3
答：
汽车的平均速度为131千米/时.
2.相遇问题（相向问题）
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
（一）388410相遇问题】
o
▼3.A、B两地相距100km,甲、乙两人骑自行车分别从A、B两地出发相向而行，甲的速度是23km/h,乙的速度是21kIn/h,甲骑了lh后，乙从B地出发，问甲经过多少时间与乙相遇？
【答案与解析】
解:
设甲经过x小时与乙相遇.
甲乙
由题意得：
23x1+（23+21）。
—1）=100x小时
一干1小时一
解得,x=2.75
答：
甲经过2.75小时与乙相遇.
【总结升华】等量关系：
甲走的路程+乙走的路程=100km
举一反三：
【变式】甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km,求甲、乙每小时各行驶多少千米？
【答案】
解:
设乙每小时行驶*千米，则甲每小时行驶（升2.5）千米，根据题意，得：
2（x+2.5）+2x=45
解得：
x=10
x+2.5=10+2.5=12.5（千米）
答:
甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米
3.追及问题（同向问题）
▼4.一队学生去校外进行军事野营训练，他们以5千米/时的速度行进，走了18分钟时，学校要将一紧急通知传给队长，通讯员从学校出发，骑自行车以14千米/时的速度按原路追上去，通讯员用多少分钟可以追上学生队伍？
【答案与解析】
解：
设通讯员x小时可以追上学生队伍,则根据题意，
1Q
得14x=5x，+5x,
60
得:
x=L，小时=10分钟.66
答:
通讯员用10分钟可以追上学生队伍.
【总结升华】追及问题：
路程差=速度差X时间，此外注意：
方程中x表示小时,18表示分钟,两边单位不一致，应先统一单位.
4.航行问题（顺逆风问题）
▼5.一艘船航行于A、B两个码头之间，轮船顺水航行需3小时，逆水航行需5小时，已知水流速度是4千米/时，求这两个码头之间的距离.
【答案与解析】
解法1：
设船在静水中速度为x千米/时，则船顺水航行的速度为（x+4）千米/时，逆水航行的速度为（x-4）千米/时，由两码头的距离不变得方程：
3（x+4）=5（x-4）,解得：
x=16,
（16+4）X3=60（千米）
答：
两码头之间的距离为60千米.
YY
解法2:
设A、B两码头之间的距离为x千米，则船顺水航行时速度为一千米/时，逆水航行时速度为二
35
XX
千米/时，由船在静水中的速度不变得方程：
§-4=《+4,解得：
x=60
答:
两码头之间的距离为60千米.
【总结升华】顺流速度=静水速度+水流速度;逆流速度=静水速度•水流速度,根据两个码头的距离不变或船在静水中的速度不变列方程.
类型三、工程问题
▼6.一个水池有两个注水管，两个水管同时注水，10小时可以注满水池;甲管单独开15小时可以注满水池，现两管同时注水7小时，关掉甲管，单独开乙管注水,还需要几小时能注满水池？
【思路点拨】视水池的蓄水量为“1”，设乙管还需x小时可以注满水池；那么甲乙合注1小时注水池的
白，甲管单独注水每小时注水池的装,
合注7小时注水池的1,乙管每小时注水池的;一一」卜
【答案与解析】
解：
设乙管还需X小时才能注满水池.
由题意得方程：
I而一"I一历
解此方程得:
X=9
答：
单独开乙管，还需9小时可以注满水池.
【总结升华】工作效率X工作时间=工作量，如果没有具体的工作量,一般视总的工作量为.
举一反三:
【变式】修建某处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天,丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作,但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成问乙中途离开了几天?
【答案】解：
设乙中途离开N天，由题意得
—x7H（7-x+2）Hx2=1
141812
解得：
x=3
答：
乙中途离开了3天
类型四、调配问题（比例问题、劳动力调配问题）
▼7.星光服装厂接受生产某种型号的学生服的任务，已知每3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套，计划用750m长的这种布料生产学生服，应分别用多少布料生产上衣和裤子才能恰好配套?
共能生产多少套？
2
【思路点拨】每3米布料可做上衣2件或裤子3条，意思是每1米布料可做上衣］件，或做裤子1条，此外恰好配套说明裤子的数量应该等于上衣的数量.
【答案与解析】
（750—x
解:
设做上衣需要xm,则做裤子为（750-x）in,做上衣的件数为一x2件，做裤子的件数为一x3,则33
-2x3（750—x）有：
-=-
解得:
x=450,
450x2
750-x=75（）-450=300（m）,—~~-=300（套）
3
答:
用450m做上衣,300m做裤子恰好配套，共能生产300套.
【总结升华】用参数表示上衣总件数与裤子的总件数，等量关系：
上衣总件数=裤子的总件数.
举一反三：
【高清课堂：
实际问题与一元一次方程
（一）调配问题】
3
【变式】甲队有72人,乙队有68人,需要从甲队调出多少人到乙队'才能使甲队恰好是乙队人数的a解:
设从甲队调出X人到乙队.由题意得,
72-x=j（68+x）解得，x=12.
答：
需要从甲队调出12人到乙队，才能使甲队恰好是乙队人数的;•
实际问题与一元一次方程
（二）（提高）
【学习目标】
1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；
2.熟悉行程，工程，配套及和差倍分问题的解题思路.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
要点二、常见列方程解应用题的几种类型（待续）
1,和、差、倍、分问题
（1）基本量及关系：
增长量;原有量X增长率，
现有量=原有量+增长量,现有量=原有量-降低量.
（2）寻找相等关系：
抓住关键词列方程，常见的关键词有:
多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等.
2.行程问题
（1）三个基本量间的关系：
路程二速度X时间
（2）基本类型有：
①相遇问题（或相向问题）：
1.基本量及关系：
相遇路程二速度和X相遇时间
n.寻找相等关系：
甲走的路程+乙走的路程=两地距离.
②追及问题：
I.基本量及关系:
追及路程二速度差x追及时间
n.寻找相等关系：
第一，同地不同时出发：
前者走的路程ma者走的路程；
第二，同时不同地出发:
前者走的路程+两者相距距离;追者走的路程.
③航行问题：
I.基本量及关系:
顺流速度;静水速度+水流速度，
逆流速度=静水速度-水流速度，
顺水速度一逆水速度=2X水速；
口.寻找相等关系：
抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑.
3.工程问题
如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1.基本关系式：
（1）总工作量二工作效率X工作时间；
（2）总工作量二各单位工作量之和.
4.调配问题
寻找相等关系的方法：
抓住调配后甲处的数量与乙处的数量间的关系去考虑.
【典型例题】
类型一、和差倍分问题
C1.旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%,第二次旅程中用去剩余汽油的40%,这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤,求油箱里原有汽油多少公斤？
【答案与解析】
解:
设油箱里原有汽油x公斤,由题意得：
x（l—25%）（1-40%）+1=25%x+（1-25%）xX40%
解得：
x=10
答：
油箱里原有汽油10公斤.
【点评】等量关系为：
油箱中剩余汽油+1=用去的汽油.
举一反三：
【变式】某班举办了一次集邮展览，展出的邮票若平均每人3张则多24张，若平均每人4张则少26张，这个班有多少学生？
一共展出了多少张邮票？
【答案】
解:
设这个班有x名学生，根据题意得：
3x+24=4x-26
解得：
x=50
所以3x+24=3X50+24=174
答：
这个班有50名学生，一共展出了174张邮票.
类型二、行程问题
1.车过桥问题
C2.某桥长1200m,现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s,而整个火车在桥上的时间是30s,求火车的长度和速度.
【思路点拨】正确理解火车“完全过桥”和“完全在桥上”的不同含义.
【答案与解析】
解:
设火车车身长为xm,根据题意，得：
1200+x_1200-x
5030，
解得：
x=300,
b,、，1200+x1200+300“
所以一二一=———=3。
•
5050
答:
火车的长度是300m,车速是30m/s.
【点评】火车“完全过桥”和“完全在桥上”是两种不同的情况，借助线段图分析如下（注:
A点表示火车头）：
桥长-车长■
-iW/
一.
桥长1200m
（2）
（1）火车从上桥到完全过桥如图（D所示，此时火车走的路程是桥长+车长.
（2）火车完全在桥上如图
（2）所示，此时火车走的路程是桥长一车长.由于火车是匀速行驶的，所以等量关系是火车从上桥到完全过桥的速度=整个火车在桥上的速度.
举一反三：
【变式】某要塞有步兵692人，每4人一横排，各排相距1米向前行走，每分钟走86米,通过长86米的桥，从第一排上桥到排尾离桥需要几分钟？
【答案】
解：
设从第一排上桥到排尾离桥需要X分钟，列方程得：
692）
86x=1xl+86,
I4）
解得:
x=3
答:
从第一排上桥到排尾离桥需要3分钟.
2.相遇问题（相向问题）
C3.小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地,两人都匀速前进.已知两人在上午8时同时出发,到上午10时，两人还相距36千米,到中午12点，两人又相距36千米.求A、B两地间的路程.
【答案与解析】
解:
设A、B两地间的路程为x千米,由题意得：
x-36x+36
4~
解得：
％=108.
答：
A、B两地间的路程为108千米.
【点评】根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变.利用速度和二小李和小明前进的路程和用寸间可得方程.
举一反三：
【高清课堂：
实际问题与一元一次方程
（一）388410二次相遇问题】
【变式】甲、乙两辆汽车分别从A、B两站同时开出，相向而行，途中相遇后继续沿原路线行驶，在分别到达对方车站后立即返回，两车第二次相遇时距A站34km,已知甲车的速度是70km/h,乙车的速度是52km/h,求A、B两站间的距离.
【答案】
2r-34X+34
解：
设A、B两站间的距离为xkm,由题意得：
予厂=——
解得:
x=122
答：
A、B两站间的距离为122km.
3.追及问题（同向问题）
O4.一辆卡车从甲地匀速开往乙地，出发2小时后，一辆轿车从甲地去追这辆卡车,轿车的速度比卡车的速度每小时快30千米，但轿车行驶一小时后突遇故障，修理15分钟后，又上路追这辆卡车，但速度减小了!
结果又用两小时才追上这辆卡车，求卡车的速度.
【答案与解析】
解：
设卡车的速度为X千米/时，由题意得：
2x+x+—x+2x=（x+30）+（l--）x（x+30）x2
解得：
x=24
答：
卡车的速度为24千米/时.
【点评】采用“线示”分析法，画出示意图.利用轿车行驶的总路程等于卡车行驶的总路程来列方程，理清两车行驶的速度与时间.
4.航行问题（期逆风问题）
C5.盛夏,某校组织长江夜游，在流速为2.5千米/时的航段，从A地上船，沿江而下至B地，然后溯江而上到C地下船，共乘船4小时.已知A、C两地相距10千米,船在静水中的速度为7.5千米/时，求A、B两地间的距离.
【思路点拨】由于C的位置不确定，要分类讨论：
（l）C地在A、B之间；
（2）C地在A地上游.
【答案与解析】
解:
设A、B两地间的距离为x千米.
（1）当C地在A、B两地之间时，依题意得.
X10彳+=47.5+2.57.5-2.5
解这个方程得：
x=20（千米）
（2）当C地在A地上游时，依题意得：
7.5+2.57.5-2.5
20解这个方程得:
工=一
3
20
答：
A、B两地间的距离为2。
千米或一千米.
【点评】这是航行问题，本题需分类讨论，采用“线示”分析法画出示意图（如下图所示），然后利用“共乘”4小时构建方程求解.
顺流
10►x
一一"一7一^^-——一-——7
cA逆流
5.环形问题
顺流
10»x-10
上4叁一•，.-7
ACB
，逆流
06.环城自行车赛,最快的人在开始48分钟后遇到最慢的人,已知最快的人的速度是最慢的人速度的
32倍,环城一周是20千米，求两个人的速度.2
【答案与解析】
7
解;设最慢的人速度为x千米/时,则最快的人的速度为工x千米/时，由题意得:
2
74848
-xX——xX—=20
26060
解得：
x=10
答：
最快的人的速度为35千米/时，最慢的人的速度为10千米/时.
【点评】这是环形路上的追及问题，距离差为环城一周20千米.相等关系为:
最快的人骑的路程一最慢人骑的路程=20千米.
举一反三：
【变式】两人沿着边长为90m的正方形行走，按A-B-C-D-A…方向，甲从A以65m/min的速度,乙从B以72m/min的速度行走，如图所示，当乙第一次追上甲时，在正方形的哪一条边上？
【答案】
解:
设乙追上甲用了x分钟,则有:
72x-65x=3X90
270八、
户〒（分）
类型三、工程问题
7.一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池？
【答案与解析】
解:
设再过X小时可把水注满,由题意得：
（-+-）x2+（-+--—）x=1
68689
“30c4
解得：
x=—=2—.
1313
4
答：
打开丙管后2行小时可把水放满.
【点评】相等关系：
甲、乙开2h的工作量+甲、乙、丙水管的工作量=1.
举一反三：
2
【变式】收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割孑后，改用新式农机，工作效
率提高到原来的倍,因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积.
【答案】
解:
设这块水稻田的面积为*亩,由题意得：
2I
—X-X
23+T—+1
4444
2
解得：
x=36.
答：
这块水稻田的面积为36亩.
类型四、配套问题（比例问题、劳动力调配问题）
8.某工程队每天安排120个工人修建水库，平均每天每个工人能挖土5nP或运土3m：
为了使挖出的土及时被运走，问:
应如何安排挖土和运土的工人？
【答案与解析】
解：
设安排X人挖土，则运土的有（120-x）人，依题意得：
5x=3（120—x）,
解得x=45.
120-45=75（人）.
答:
应安排45人挖土,75人运土.
【点评】用参数表示挖土数与运土数，等量关系：
挖土与运土的总立方米数应相等.
举一反三：
【高清课堂：
实际问题与一元一次方程
（一）配制问题】
【变式】某商店选用A、B两种价格分别是每千克28元和每千克20元的糖果混合成杂拌糖果后出售,为使这种杂拌糖果的售价是每千克25元，要配制这种杂拌糖果100千克，问要用这两种糖果各多少千克？
【答案】
解:
设要用A种糖果x千克，则B种糖果用（100-x）千克.依题意，得：
28x+20（l00-x）=25X100
解得：
x=62.5.
当x=62.5时，100-x=37.5.
答：
要用A、B两种糖果分别为62.5千克和37.5千克.
实际问题与一元一次方程（三）（基础）
【学习目标】
（1）进一步提高分析实际问题中数量关系的能力,能熟练找出相等关系并列出方程;
（2）熟悉利润，存贷款,数字及方案设计问题的解题思路.
【要点梳理】
要点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤要点三、常见列方程解应用题的几种类型（续）
1
.利润问题
（2）标价=成本（或进价）x（"利润率）（3）实际售价=标价x打折率
（4）利润=售价-成本（或进价）=成本x利润率
注意：
“商品利润=售价•成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售.
2.存贷款问题
（1）利息=本金X利率X期数
（2）本息和（本利和）=本金+利息=本金+本金x利率x期数=本金+利率x期数）
（3）实得利息:
利息一利息税
（4）利息税即息X利息税率
（5）年利率=月利率xl2
（6）月利率=年利率、上
12
已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题-一般设间接未知数，例如：
若一个两位数的个位数字为明十位数字为。
，则这个两位数可以表示为10力孔.
4.方案问题
选择设计方案的一般步骤：
（1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况.
（2）用特殊值试探法选择方案,取小于（或大于）一元一次方程解的值，比较两种方案的优劣性后下结论.
【典型例题】
类型一、利润问题
【高清课堂：
实际问题与一元一次方程
（二）利润问题例2】
1.以现价销售一件商品的利润率为30%,如果商家在现有的价格基础上先提价40%,后降价50%的方法进行销售，商家还能有利润吗？
为什么？
［答案与解析］
解:
设该商品的成本为a元，则商品的现价为（1+30%）a元，依题意其后来折扣的售价为（1+3
0%）4•（1+40%）（1—50%）=0.91a
V0.91a-F-0.09a,
—0.09〃八“
:
.•100%=-9%.
a
答:
商家不仅没有利润，而且亏损的利润率为9%.
【总结升华】解答此类问题时，一定要弄清题意.分清售价、进价、数量、利润之间的关系很重要.
举一反三：
【高清课堂:
实际问题与一元一次方程
（二）388413利润问题例3】
【变式1］某个商品的进价是500元,把它提价40%后作为标价.如果商家要想保住12%的利润率搞促销活动,请你计算一下广告上
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