实际问题及二元一次方程组经典例题.docx
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实际问题及二元一次方程组经典例题
实际问题与二元一次方程组经典例题
目标认知
学习目标：
1．能够借助二元一次方程组解决简单的实际问题，再次体会二元一次方程组与现实生活的联系和作用
2．进一步使用代数中的方程去反映现实世界中等量关系，体会代数方法的优越性
3．体会列方程组比列一元一次方程容易
4．进一步培养化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力
5．掌握列方程组解应用题的一般步骤；
重点：
1．经历和体验用二元一次方程组解决实际问题的过程。
2．进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型。
难点：
正确找出问题中的两个等量关系
知识要点梳理
知识点一：
列方程组解应用题的基本思想
列方程组解应用题是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起
来，找出题目中的相等关系.一般来说，有几个未知数就列出几个方程，所列方程必须满足：
（1）方程两
边表示的是同类量；
（2）同类量的单位要统一；（3）方程两边的数值要相等.
知识点二：
列方程组解应用题中常用的基本等量关系
1.行程问题：
（1）追击问题：
追击问题是行程问题中很重要的一种，它的特点是同向而行。
这类问题比较直观，画线
段,用图便于理解与分析。
其等量关系式是:
两者的行程差＝开始时两者相距的路程；
；；
（2）相遇问题:
相遇问题也是行程问题中很重要的一种，它的特点是相向而行。
这类问题也比较直观，
因而也画线段图帮助理解与分析。
这类问题的等量关系是：
双方所走的路程之和＝总路程。
（3）航行问题：
①船在静水中的速度＋水速＝船的顺水速度；
②船在静水中的速度－水速＝船的逆水速度；
③顺水速度－逆水速度＝2×水速。
注意：
飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行，解题方法与船顺水航行、逆水航行问题类似。
2．工程问题：
工作效率×工作时间=工作量.
3．商品销售利润问题：
（1）利润＝售价－成本（进价）；
（2）；（3）利润＝成本（进价）×利润率；
（4）标价＝成本（进价）×（1＋利润率）；（5）实际售价＝标价×打折率；
注意：
“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；为负时，就是亏损。
打几折就是按标
价的十分之几或百分之几十销售。
（例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十）
4．储蓄问题：
（1）基本概念
①本金：
顾客存入银行的钱叫做本金。
②利息：
银行付给顾客的酬金叫做利息。
③本息和：
本金与利息的和叫做本息和。
④期数：
存入银行的时间叫做期数。
⑤利率：
每个期数内的利息与本金的比叫做利率。
⑥利息税：
利息的税款叫做利息税。
（2）基本关系式
①利息＝本金×利率×期数
②本息和＝本金＋利息＝本金＋本金×利率×期数＝本金× （1＋利率×期数）
③利息税＝利息×利息税率＝本金×利率×期数×利息税率。
④税后利息＝利息× （1－利息税率） ⑤年利率＝月利率×12 ⑥。
注意：
免税利息=利息
5．配套问题：
解这类问题的基本等量关系是：
总量各部分之间的比例=每一套各部分之间的比例。
6．增长率问题：
解这类问题的基本等量关系式是：
原量×（1＋增长率）＝增长后的量；
原量×（1－减少率）＝减少后的量.
7．和差倍分问题：
解这类问题的基本等量关系是：
较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量.
8．数字问题：
解决这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数等有关概念、特征及其表示。
如当 n 为整数时，
奇数可表示为 2n+1（或 2n-1），偶数可表示为 2n 等，有关两位数的基本等量关系式为：
两位数=十位数字
10+个位数字
9．浓度问题：
溶液质量×浓度=溶质质量.
10．几何问题：
解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质、周长、面积等计算公式
11．年龄问题：
解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等，两人的年龄差是永远不会变
的
12．优化方案问题：
在解决问题时，常常需合理安排。
需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行
社购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案。
注意：
方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案。
知识点三：
列二元一次方程组解应用题的一般步骤
利用二元一次方程组探究实际问题时，一般可分为以下六个步骤：
1．审题:
弄清题意及题目中的数量关系；2．设未知数:
可直接设元，也可间接设元；
3．找出题目中的等量关系；4．列出方程组:
根据题目中能表示全部含义的等量关系列出方程，并组
成方程组；5．解所列的方程组，并检验解的正确性；6．写出答案.
要点诠释：
（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否
合理，不符合题意的解应该舍去；
（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；
（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组.
解答步骤简记为：
问题方程组解答
（4）列方程组解应用题应注意的问题
①弄清各种题型中基本量之间的关系； ②审题时，注意从文字，图表中获得有关信息； ③注意用
方程组解应用题的过程中单位的书写，设未知数和写答案都要带单位，列 方程组与解方程组时，不要带
单位；④正确书写速度单位，避免与路程单位混淆；⑤在寻找等量关系时，应注意挖掘隐含的条件；
⑥列方程组解应用题一定要注意检验。
经典例题透析
类型一：
列二元一次方程组解决——行程问题
1．甲、乙两地相距 160 千米，一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲、乙两地相向而行，1 小时 20
分相遇.相遇后，拖拉机继续前进，汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回，在汽车再次出发半
小时后追上了拖拉机. 这时，汽车、拖拉机各自行驶了多少千米？
思路点拨：
画直线型示意图理解题意：
（1）这里有两个未知数：
①汽车的行程；②拖拉机的行程.
（2）有两个等量关系：
①相向而行：
汽车行驶小时的路程＋拖拉机行驶小时的路程＝160 千米;
②同向而行：
汽车行驶小时的路程＝拖拉机行驶小时的路程.
解：
设汽车的速度为每小时行千米，拖拉机的速度为每小时千米.
根据题意，列方程组
解这个方程组，得:
.
答：
汽车行驶了 165 千米，拖拉机行驶了 85 千米.
总结升华：
根据题意画出示意图，再根据路程、时间和速度的关系找出等量关系，是行程问题的常
用的解决策略。
举一反三：
【变式 1】甲、乙两人相距 36 千米，相向而行，如果甲比乙先走 2 小时，那么他们在乙出发 2.5 小
时后相遇；如果乙比甲先走 2 小时，那么他们在甲出发 3 小时后相遇，甲、乙两人每小时各走多少千米？
解：
设甲、乙两人每小时分别行走 千米、千米。
根据题意可得：
解得：
答：
甲每小时走 6 千米，乙每小时走 3.6 千米。
【变式 2】两地相距 280 千米，一艘船在其间航行，顺流用 14 小时，逆流用 20 小时，求船在静水
中的速度和水流速度。
分析：
船顺流速度＝静水中的速度＋水速
船逆流速度＝静水中的速度－水速
解：
设船在静水中的速度为 x 千米/时，水速为 y 千米/时，
则，解得：
答：
船在静水中的速度为 17 千米/时，水速 3 千米/时。
类型二：
列二元一次方程组解决——工程问题
2．一家商店要进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8 天可以完成，需付两组费用共
3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可完成，需付两组费用共 3480 元，问：
（1）甲、
乙两组工作一天，商店应各付多少元？
（2）已知甲组单独做需 12 天完成，乙组单独做需 24 天完成，单独
请哪组，商店所付费用最少？
思路点拨：
本题有两层含义，各自隐含两个等式，第一层含义：
若请甲、乙两个装修组同时施工，
8 天可以完成，需付两组费用共 3520 元；第二层含义：
若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天
可完成，需付两组费用共 3480 元。
设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，由
第一层含义可得方程 8（x+y）=3520,由第二层含义可得方程 6x+12y=3480.
解：
（1）设甲组单独做一天商店应付 x 元，乙组单独做一天商店应付 y 元，依题意得：
解得
答：
甲组单独做一天商店应付 300 元，乙组单独做一天商店应付 140 元。
（2）单独请甲组做，需付款 300×12＝3600 元，单独请乙组做，需付款 24×140＝3360 元，
故请乙组单独做费用最少。
答：
请乙组单独做费用最少。
总结升华：
工作效率是单位时间里完成的工作量，同一题目中时间单位必须统一，一般地，将工作
总量设为 1，也可设为 a，需根据题目的特点合理选用；工程问题也经常利用线段图或列表法进行分析。
举一反三：
【变式】小明家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5.2 万元；若甲
公司单独做 4 周后，剩下的由乙公司来做，还需 9 周完成，需工钱 4.8 万元.若只选一个公司单独完成，
从节约开支的角度考虑，小明家应选甲公司还是乙公司？
请你说明理由.
解：
设甲、乙两公司每周完成总工程的 和，由题意得：
， 解得：
所以甲、乙单独完成这项工程分别需要 10 周、15 周。
设需要付甲、乙每周的工钱分别是万元， 万元，根据题意得：
，解得：
故甲公司单独完成需工钱：
（万元）；乙公司单独完成需工钱：
（万元）。
答：
甲公司单独完成需 6 万元，乙公司单独完成需 4 万元，故从节约的角度考虑，应选乙公司单独
完成.
类型三：
列二元一次方程组解决——商品销售利润问题
3．有甲、乙两件商品，甲商品的利润率为 5%,乙商品的利润率为 4%,共可获利 46 元。
价格调
整后，甲商品的利润率为 4%，乙商品的利润率为 5%，共可获利 44 元，则两件商品的进价分别是多少元？
思路点拨：
做此题的关键要知道：
利润＝进价×利润率
解：
甲商品的进价为 x 元，乙商品的进价为 y 元，由题意得：
，解得：
答：
两件商品的进价分别为 600 元和 400 元。
举一反三：
【变式 1】（2011 湖南衡阳）李大叔去年承包了 10 亩地种植甲、乙两种蔬菜，共获利 18000 元，其
中甲种蔬菜每亩获利 2000 元，乙种蔬菜每亩获利 1500 元，李大叔去年甲、乙两种蔬菜各种植了多少亩？
A
B
进价（元/件）
1200
1000
售价（元/件）
1380
1200
解：
设李大叔去年甲种蔬菜种植了亩 ，乙种蔬菜种植了亩，则：
，解得
答：
李大叔去年甲种蔬菜 种植了 6 亩，乙种蔬菜种植了 4 亩．
【变式 2】某商场用 36 万元购进 A、B 两种商品，销售完后共获利 6 万元，其进价和售价如下表：
（注：
获利 = 售价 — 进价）
求该商场购进 A、B 两种商品各多少件；
解：
设购进 A 种商品 件，B 种商品件，根据题意得：
化简得：
解得：
答：
该商场购进 A、B 两种商品分别为 200 件和 120 件。
类型四：
列二元一次方程组解决——银行储蓄问题
4．小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用，现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱，
一种是年利率为 2.25％的教育储蓄，另一种是年利率为 2.25％的一年定期存款，一年后可取出 2042.75
元，问这两种储蓄各存了多少钱？
（利息所得税＝利息金额×20%，教育储蓄没有利息所得税）
思路点拨：
设教育储蓄存了 x 元，一年定期存了 y 元，我们可以根据题意可列出表格：
解：
设存一年教育储蓄的钱为 x 元，存一年定期存款的钱为 y 元，则列方程：
，解得：
答：
存教育储蓄的钱为 1500 元，存一年定期的钱为 500 元.
总结升华:
我们在解一些涉及到行程、收入、支出、增长率等的实际问题时，有时候不容易找出其
等量关系，这时候我们可以借助图表法分析具体问题中蕴涵的数量关系，题目中的相等关系随之浮现出
来.
举一反三：
【变式 1】李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元，一年后全部取出，扣除利息所得税可得
利息 43.92 元.已知两种储蓄年利率的和为 3.24%，问这两种储蓄的年利率各是百分之几？
（注：
公民应
缴利息所得税=利息金额×20%）
思路点拨：
扣税的情况：
本金×年利率×（1-20%）×年数=利息（其中，利息所得税=利息
金额 ×20%）.不扣税时：
利息=本金×年利率×年数.
解：
设第一种储蓄的年利率为 x ，第二种储蓄的年利率为 y，根据题意得:
，解得:
答：
第一种储蓄的年利率为 2.25%，第二种储蓄的年利率为 0.99%.
【变式 2】小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用，在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱.第一
种，一年期整存整取，共反复存了 3 次，每次存款数都相同，这种存款银行利率为年息 2.25%；第二种，
三年期整存整取，这种存款银行年利率为 2.70%.三年后同时取出共得利息 303.75 元（不计利息税），问
小敏的爸爸两种存款各存入了多少元？
解：
设第一种存款数为 X 元，则第二种存款数为 y 元，根据题意得：
，解得：
答：
第一种存款数为 1500 元，第二种存款数为 2500 元。
类型五：
列二元一次方程组解决——生产中的配套问题
5．某服装厂生产一批某种款式的秋装，已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5
只. 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装（不考虑布料的损耗），应分别用多少布料才能使做的衣身和
衣袖恰好配套？
思路点拨：
本题的第一个相等关系比较容易得出：
衣身、衣袖所用布料的和为 132 米；第二个相等
关系的得出要弄清一整件衣服是怎么样配套的，即衣袖的数量等于衣身的数量的 2 倍（注意：
别把 2 倍的
关系写反了）.
解：
设用米布料做衣身，用米布料做衣袖才能使衣身和衣袖恰好配套，根据题意，得：
答：
用 60 米布料做衣身，用 72 米布料做衣袖才能使做的衣身和衣袖恰好配套.
总结升华：
生产中的配套问题很多，如螺钉和螺母的配套、盒身与盒底的配套、桌面与桌腿的配套、
衣身与衣袖的配套等. 各种配套都有数量比例，依次设未知数，用未知数可把它们之间的数量关系表示
出来，从而得到方程组，使问题得以解决，确定等量关系是解题的关键.
举一反三：
总产值（万元）
总支出（万元）
利润（万元）
去年
x
y
200
今年
120%x
90%y
780
【变式 1】现有 190 张铁皮做盒子，每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底，一个盒身与两个盒底配成一
个完整盒子，问用多少张铁皮制盒身，多少张铁皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？
思路点拨：
两个未知数是制盒身、盒底的铁皮张数，两个相等关系是：
①制盒身铁皮张数+制盒底铁
皮张数=190；②制盒身个数的 2 倍=制盒底个数.
解：
设 x 张铁皮制盒身，y 张铁皮制盒底，由题意得：
答：
用 110 张制盒身，80 张制盒底，正好制成一批完整的盒子.
【变式 2】某工厂有工人 60 人，生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品，每人每天生产螺栓 14
个或螺母 20 个，应分配多少人生产螺栓，多少人生产螺母，才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套。
解：
由一个螺栓套两个螺母的配套产品，可设生产螺栓的有 x 人，生产螺母的有 y 人，
则：
，解得：
答：
生产螺栓的有 25 人，生产螺母的有 35 人。
【变式 3】一张方桌由 1 个桌面、4 条桌腿组成，如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个，或做桌腿
300 条。
现有 5 立方米的木料，那么用多少立方米木料做桌面，用多少立方米木料做桌腿，做出的桌面
和桌腿，恰好配成方桌？
能配多少张方桌？
解：
设用 x 立方米的木料做桌面，用 y 立方米的木料做桌腿，根据题意，得：
， 解得：
∴可做 50×3＝150 张方桌。
答：
用 3 立方米的木料做桌面，用 2 立方米的木料做桌腿，可做成 150 张方桌。
类型六：
列二元一次方程组解决——增长率问题
6. 某工厂去年的利润（总产值—总支出）为 200 万元，今年总产值比去年增加了 20%，总支
出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元，去年的总产值、总支出各是多少万元？
思路点拨：
设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，则有
根据题意知道去年的利润和今年的利润，由利润=总产值—总支出和表格里
的已知量和未知量，可以列出两个等式。
解：
设去年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，根据题意得：
，解之得：
答：
去年的总产值为 2000 万元，总支出为 1800 万元
总结升华：
当题的条件较多时，可以借助图表或图形进行分析。
举一反三：
【变式 1】若条件不变，求今年的总产值、总支出各是多少万元？
解：
设今年的总产值为 x 万元，总支出为 y 万元，由题意得：
，解得：
答：
今年的总产值为 2000 万元，总支出为 1800 万元
思考：
本问题还有没有其它的设法？
【变式 2】某城市现有人口 42 万，估计一年后城镇人口增加 0.8%，农村人口增加 1.1%，这样全市
人口增加 1%，求这个城市的城镇人口与农村人口。
思路点拨：
由题意得两个等式关系，两个相等关系为：
（1）城镇人口+农村人口=42 万；
（2）城镇人口×（1+0.8%）+农村人口×（1+1.1%）=42×（1+1%）
解：
设现在城镇人口为 x 万，农村人口为 y 万，由题意得：
解得
答：
现在城镇人口 14 万人，农村人口为 28 万人
类型七：
列二元一次方程组解决——和差倍分问题
7.（2011 年北京丰台区中考一摸试题）“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂原计划每周生产帐
篷共 9 千顶，现某地震灾区急需帐篷 14 千顶，两厂决定在一周内赶制出这批帐篷．为此，全体职工加班
加点，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1.6 倍、1.5 倍，恰好
按时完成了这项任务．求在赶制帐篷的一周内，“爱心”帐篷厂和“温暖”帐篷厂各生产帐篷多少千顶？
思路点拨：
找出已知量和未知量，根据题意知未知量有两个，所以列两个方程，根据计划前后，倍
数关系由已知量和未知量列出两个等式，即是两个方程组成的方程组。
解：
设原计划“爱心”帐篷厂生产帐篷 x 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 y 千顶，由题意得：
， 解得：
所以：
1.6x=1.6 5=8, 1.5y=1.5 4=6
答：
“爱心”帐篷厂生产帐篷 8 千顶,“温暖”帐篷厂生产帐篷 6 千顶.
举一反三：
【变式 1】 （2011 年北京门头沟区中考一模试题） “地球一小时”是世界自然基金会在 2007 年提出
的一项倡议．号召个人、社区、企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分—21 时 30 分熄灯一
小时，旨在通过一个人人可为的活动，让全球民众共同携手关注气候变化，倡导低碳生活．中国内地去
年和今年共有 119 个城市参加了此项活动，且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个，问中国内
地去年、今年分别有多少个城市参加了此项活动．
解：
设中国内地去年有 x 个城市参加了此项活动，今年有 y 个城市参加了此项活动．
依题意得， 解得：
答：
去年有 33 个城市参加了此项活动，今年有 86 个城市参加了此项活动
【变式 2】 游泳池中有一群小朋友，男孩戴蓝色游泳帽，女孩戴红色游泳帽。
如果每位男孩看到蓝
色与红色的游泳帽一样多，而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍，你知道男孩与女孩各有多少
人吗？
思路点拨：
本题关键之一是：
小孩子看游泳帽时 只看到别人的，没看到自己的帽子。
关键之二是：
两个等式，列等式要看到重点语句，第一句：
每位男孩看到蓝色与红色的游泳帽一样多；第二句：
每位
女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍。
找到已知量和未知量根据这两句话列两个方程。
解：
设男孩 x 人，女孩 y 人，根据题意得：
，解得：
答：
男孩 4 人和女孩有 3 人。
类型八：
列二元一次方程组解决——数字问题
8.两个两位数的和是 68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在
较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大
2178，求这两个两位数。
思路点拨：
设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。
问题 1：
在较大的两位数的右边写上较小的两位数，所写的数可表示为：
100x＋y
问题 2：
在较大数的左边写上较小的数，所写的数可表示为：
100y＋x
解：
设较大的两位数为 x，较小的两位数为 y。
依题意可得：
，解得：
答：
这两个两位数分别为 45，23.
举一反三：
【变式 1】一个两位数，减去它的各位数字之和的 3 倍，结果是 23；这个两位数除以它的各位数字
之和，商是 5，余数是 1，这个两位数是多少？
解：
设十位数为 x，个位数为 y，则：
，解得：
答：
这两位数为 56
【变式 2】一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 5，如果把十位上的数字与个位上的数字交
换位置，那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9，求这个两位数？
解：
设个位数字为 x，十位数字为 y， 根据题意得：
，解得：
答：
这个两位数为 72.
【变式 3】某三位数，中间数字为 0，其余两个数位上数字之和是 9，如果百位数字减 1，个位数字
加 1，则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列，求原三位数。
解：
设原三位数的百位数字为 x，个位数字为
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