小学奥数知识点梳理.docx
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小学奥数（知识点梳理）
前言
小学奥数知识点梳理，对于学而思的小学奥数大纲建设尤其必要，不过，对于知识点的概括很可能出现以偏概全挂一漏万的现象，为此，本人参考了单尊主编的《小学数学奥林匹克》、中国少年报社主编的《华杯赛教材》、《华杯赛集训指南》以及学而思的《寒假班系列教材》和华罗庚学校的教材共五套教材，力图打破原有体系，重新整合划分，构建十七块体系（其第十七为解题方法汇集，可补充相应杂题），原则上简明扼要，努力刻画小学奥数知识的主树干。
概述
一、计算
1．四则混合运算繁分数
⑴运算顺序
⑵分数、小数混合运算技巧
一般而言：
①加减运算中，能化成有限小数的统一以小数形式；
②乘除运算中，统一以分数形式。
⑶带分数与假分数的互化
⑷繁分数的化简
2．简便计算
⑴凑整思想
⑵基准数思想
⑶裂项与拆分
⑷提取公因数
⑸商不变性质
⑹改变运算顺序
①运算定律的综合运用
②连减的性质
③连除的性质
④同级运算移项的性质
⑤增减括号的性质
⑥变式提取公因数
形如：
3．估算
求某式的整数部分：
扩缩法
4．比较大小
①通分
a.通分母
b.通分子
②跟“中介”比
③利用倒数性质
若，则c>b>a.。
形如：
，则。
5．定义新运算
6．特殊数列求和
运用相关公式：
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦1+2+3+4…（n-1）+n+（n-1）+…4+3+2+1=n
二、数论
1．奇偶性问题
奇奇=偶奇×奇=奇
奇偶=奇奇×偶=偶
偶偶=偶偶×偶=偶
2．位值原则
形如：
=100a+10b+c
3．数的整除特征：
整除数
特征
2
末尾是0、2、4、6、8
3
各数位上数字的和是3的倍数
5
末尾是0或5
9
各数位上数字的和是9的倍数
11
奇数位上数字的和与偶数位上数字的和，两者之差是11的倍数
4和25
末两位数是4（或25）的倍数
8和125
末三位数是8（或125）的倍数
7、11、13
末三位数与前几位数的差是7（或11或13）的倍数
4．整除性质
①如果c|a、c|b，那么c|（ab）。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
③如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
④如果c|b,b|a,那么c|a.
⑤a个连续自然数中必恰有一个数能被a整除。
5．带余除法
一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0）,那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b,使得a=b×q+r
当r=0时，我们称a能被b整除。
当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）。
用带余数除式又可以表示为a÷b=q……r,0≤r＜ba=b×q+r
6.唯一分解定理
任何一个大于1的自然数n都可以写成质数的连乘积，即
n=p1×p2×...×pk
7.约数个数与约数和定理
设自然数n的质因子分解式如n=p1×p2×...×pk那么：
n的约数个数：
d（n）=（a1+1）（a2+1）....（ak+1）
n的所有约数和：
（1+P1+P1+…p1）（1+P2+P2+…p2）…（1+Pk+Pk+…pk）
8.同余定理
①同余定义：
若两个整数a，b被自然数m除有相同的余数，那么称a，b对于模m同余，用式子表示为a≡b（modm）
②若两个数a，b除以同一个数c得到的余数相同，则a，b的差一定能被c整除。
③两数的和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。
④两数的差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。
⑤两数的积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。
9．完全平方数性质
①平方差：
A-B=（A+B）（A-B），其中我们还得注意A+B，A-B同奇偶性。
②约数：
约数个数为奇数个的是完全平方数。
约数个数为3的是质数的平方。
③质因数分解：
把数字分解，使他满足积是平方数。
④平方和。
10．孙子定理（中国剩余定理）
11．辗转相除法
12．数论解题的常用方法：
枚举、归纳、反证、构造、配对、估计
三、几何图形
1．平面图形
⑴多边形的内角和
N边形的内角和=（N-2）×180°
⑵等积变形（位移、割补）
①三角形内等底等高的三角形
②平行线内等底等高的三角形
③公共部分的传递性
④极值原理（变与不变）
⑶三角形面积与底的正比关系
S1︰S2=a︰b；S1︰S2=S4︰S3或者S1×S3=S2×S4
⑷相似三角形性质（份数、比例）
①;S1︰S2=a2︰A2
②S1︰S3︰S2︰S4=a2︰b2︰ab︰ab;S=（a+b）2
⑸燕尾定理
S△ABG：
S△AGC＝S△BGE：
S△GEC＝BE：
EC；
S△BGA：
S△BGC＝S△AGF：
S△GFC＝AF：
FC；
S△AGC：
S△BCG＝S△ADG：
S△DGB＝AD：
DB；
⑹差不变原理
知5-2=3，则圆点比方点多3。
⑺隐含条件的等价代换
例如弦图中长短边长的关系。
⑻组合图形的思考方法
①化整为零
②先补后去
③正反结合
2．立体图形
⑴规则立体图形的表面积和体积公式
⑵不规则立体图形的表面积
整体观照法
⑶体积的等积变形
①水中浸放物体：
V升水=V物
②测啤酒瓶容积：
V=V空气+V水
⑷三视图与展开图
最短线路与展开图形状问题
⑸染色问题
几面染色的块数与“芯”、棱长、顶点、面数的关系。
四、典型应用题
1．植树问题
①开放型与封闭型
②间隔与株数的关系
2．方阵问题
外层边长数-2=内层边长数
（外层边长数-1）×4=外周长数
外层边长数2-中空边长数2=实面积数
3．列车过桥问题
①车长+桥长=速度×时间
②车长甲+车长乙=速度和×相遇时间
③车长甲+车长乙=速度差×追及时间
列车与人或骑车人或另一列车上的司机的相遇及追及问题
车长=速度和×相遇时间
车长=速度差×追及时间
4．年龄问题
差不变原理
5．鸡兔同笼
假设法的解题思想
6．牛吃草问题
原有草量=（牛吃速度-草长速度）×时间
7．平均数问题
8．盈亏问题
分析差量关系
9．和差问题
10．和倍问题
11．差倍问题
12．逆推问题
还原法，从结果入手
13．代换问题
列表消元法
等价条件代换
五、行程问题
1．相遇问题
路程和=速度和×相遇时间
2．追及问题
路程差=速度差×追及时间
3．流水行船
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
4．多次相遇
线型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数×2-1
环型路程：
甲乙共行全程数=相遇次数
其中甲共行路程=单在单个全程所行路程×共行全程数
5．环形跑道
6．行程问题中正反比例关系的应用
路程一定，速度和时间成反比。
速度一定，路程和时间成正比。
时间一定，路程和速度成正比。
7．钟面上的追及问题。
①时针和分针成直线；
②时针和分针成直角。
8．结合分数、工程、和差问题的一些类型。
9．行程问题时常运用“时光倒流”和“假定看成”的思考方法。
六、计数问题
1．加法原理：
分类枚举
2．乘法原理：
排列组合
3．容斥原理：
①总数量=A+B+C-（AB+AC+BC）+ABC
②常用：
总数量=A+B-AB
4．抽屉原理：
至多至少问题
5．握手问题
在图形计数中应用广泛
①角、线段、三角形，
②长方形、梯形、平行四边形
③正方形
七、分数问题
1．量率对应
2．以不变量为“1”
3．利润问题
4．浓度问题
倒三角原理
例：
5．工程问题
①合作问题
②水池进出水问题
6．按比例分配
八、方程解题
1．等量关系
①相关联量的表示法
例：
甲+乙=100甲÷乙=3
x100-x3xx
②解方程技巧
恒等变形
2．二元一次方程组的求解
代入法、消元法
3．不定方程的分析求解
以系数大者为试值角度
4．不等方程的分析求解
九、找规律
⑴周期性问题
①年月日、星期几问题
②余数的应用
⑵数列问题
①等差数列
通项公式an=a1+（n-1）d
求项数：
n=
求和：
S=
②等比数列
求和：
S=
③裴波那契数列
⑶策略问题
①抢报30
②放硬币
⑷最值问题
①最短线路
a.一个字符阵组的分线读法
b.在格子路线上的最短走法数
②最优化问题
a.统筹方法
b.烙饼问题
十、算式谜
1．填充型
2．替代型
3．填运算符号
4．横式变竖式
5．结合数论知识点
十一、数阵问题
1．相等和值问题
2．数列分组
⑴知行列数，求某数
⑵知某数，求行列数
3．幻方
⑴奇阶幻方问题：
杨辉法罗伯法
⑵偶阶幻方问题：
双偶阶：
对称交换法
单偶阶：
同心方阵法
十二、二进制
1．二进制计数法
①二进制位值原则
②二进制数与十进制数的互相转化
③二进制的运算
2．其它进制（十六进制）
十三、一笔画
1．一笔画定理：
⑴一笔画图形中只能有0个或两个奇点；
⑵两个奇点进必须从一个奇点进，另一个奇点出；
2．哈密尔顿圈与哈密尔顿链
3．多笔画定理
笔画数=
十四、逻辑推理
1．等价条件的转换
2．列表法
3．对阵图
竞赛问题，涉及体育比赛常识
十五、火柴棒问题
1．移动火柴棒改变图形个数
2．移动火柴棒改变算式，使之成立
十六、智力问题
1．突破思维定势
2．某些特殊情境问题
十七、解题方法
（结合杂题的处理）
1．代换法
2．消元法
3．倒推法
4．假设法
5．反证法
6．极值法
7．设数法
8．整体法
9．画图法
10．列表法
11．排除法
12．染色法
13．构造法
14．配对法
15．列方程
⑴方程
⑵不定方程
⑶不等方程
另外补充说明：
在华校课本六年级中有“棋盘上的数学”三讲，其实是找规律类型，知识点涉及棋盘格，几何，数论等，属于综合性问题。
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