新教材高中数学第七章三角函数7.4数学建模活动周期现象的描述教案新人教B版第三册.doc
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新教材高中数学第七章三角函数7.4数学建模活动周期现象的描述教案新人教B版第三册
发现问题 提出问题
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：
时刻
水深/米
时刻
水深/米
时刻
水深/米
0：
00
5.0
9：
00
2.5
18：
00
5.0
3：
00
7.5
12：
00
5.0
21：
00
2.5
6：
00
5.0
15：
00
7.5
24：
00
5.0
（1）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似数值（精确到0.001）；
（2）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？
在港口能呆多久？
（3）若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：
00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
分析问题 建立模型
观察问题中所给出的数据，可以看出，水深的变化具有周期性．根据表中的数据作出图像（这个图像称为散点图），如图1.从散点图的形状可以判断，这个港口的水深与时间的关系可以用形如y＝Asin（ωx＋φ）＋h的函数来刻画，其中x是时间，y是水深．根据数据可以具体确定A，ω，φ，h的值．
确定参数 计算求解
（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（图1）．
根据图像，可以考虑用函数y＝Asin（ωx＋φ）＋h刻画水深与时间之间的对应关系．从数据和图像可以得出：
A＝2.5，h＝5，T＝12，φ＝0；
由T＝＝12，得ω＝.
所以，这个港口的水深与时间的关系可用y＝2.5sinx＋5近似描述．
由上述关系式易得港口在整点时水深的近似值：
模型评价 模型应用
（2）货船需要的安全水深为4＋1.5＝5.5（米），所以当y≥5.5时就可以进港．
令2.5sinx＋5＝5.5，
sinx＝0.2.
由计算器可得
2
0.20.20135792≈0.2014.
如图2，在区间[0,12]内，函数y＝2.5sinx＋5的图像与直线y＝5.5有两个交点A，B，因此x≈0.2014或π－x≈0.2014.
解得xA≈0.3846，xB＝5.6154.
由函数的周期性易得：
xC≈12＋0.3846＝12.3846，
xD≈12＋5.6154＝17.6154.
因此，货船可以在0时30分左右进港，早晨5时30分左右出港；或在中午12时30分左右进港，下午17时30分左右出港．每次可以在港口停留5小时左右．
（3）设在时刻x货船的安全水深为y，那么y＝5.5－0.3（x－2）（x≥2）．在同一坐标系内作出这两个函数的图像，可以看到在6～7时之间两个函数图像有一个交点（图3）．
通过计算也可以得到这个结果．在6时的水深约为5米，此时货船的安全水深约为4.3米；6.5时的水深约为4.35米，此时货船的安全水深约为4.15米；7时的水深约为3.75米，而货船的安全水深约为4米．因此为了安全，货船最好在6.5时之前停止卸货，将船驶向较深的水域．
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．
具体的，我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．
实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要使用计算机或计算器．
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