知识点165坐标与图形性质解答DOC.docx

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知识点165坐标与图形性质（解答）

1.（2010•内江）阅读理解：

我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）的对称中心的坐标为（x1+x2/2，y1+y2/2）．

观察应用：

（1）如图，在平面直角坐标系中，若点P1（0，-1）、P2（2，3）的对称中心是点A，则点A的坐标为（1，1）；

（2）另取两点B（-1.6，2.1）、C（-1，0）．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A、B、C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…则点P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2）、（2，3）．

拓展延伸：

（3）求出点P2012的坐标，并直接写出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．

考点：

坐标与图形性质；中心对称．专题：

阅读型．分析：

（1）直接利用题目所给公式即可求出点A的坐标；

（2）首先利用题目所给公式求出P2的坐标，然后利用公式求出对称点P3的坐标，依此类推即可求出P8的坐标；

（3）由于P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3），由此得到P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环，利用这个规律即可求出点P2012的坐标，也可以根据图形求出在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标．

解答：

解：

（1）（1，1）；

（2）P3、P8的坐标分别为（-5.2，1.2），（2，3）；

（3）∵P1（0，-1）→P2（2，3）→P3（-5.2，1.2）→P4（3.2，-1.2）→P5（-1.2，3.2）→P6（-2，1）→P7（0，-1）→P8（2，3）；

∴P7的坐标和P1的坐标相同，P8的坐标和P2的坐标相同，即坐标以6为周期循环．

∵2012÷6=335…2．

∴P2012的坐标与P2的坐标相同，为P2012（2，3）；

在x轴上与点P2012、点C构成等腰三角形的点的坐标为（-3

-1，0），（2，0），（3

-1，0），（5，0）．

点评：

此题是一个阅读材料的题目，读懂题目，利用题目所给公式是解题的关键，利用公式可以解决后面的所有问题．

2.（2010•常州）小明在研究苏教版《有趣的坐标系》后，得到启发，针对正六边形OABCDE，自己设计了一个坐标系如图，该坐标系以O为原点，直线OA为x轴，直线OE为y轴，以正六边形OABCDE的边长为一个单位长．坐标系中的任意一点P用一有序实数对（a，b）来表示，我们称这个有序实数对（a，b）为点P的坐标．坐标系中点的坐标的确定方法如下：

（ⅰ）x轴上点M的坐标为（m，0），其中m为M点在x轴上表示的实数；

（ⅱ）y轴上点N的坐标为（0，n），其中n为N点在y轴上表示的实数；

（ⅲ）不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数．

则：

（1）分别写出点A、B、C的坐标；

（2）标出点M（2，3）的位置；

（3）若点K（x，y）为射线OD上任一点，求x与y所满足的关系式．

考点：

坐标与图形性质．

分析：

本题要充分考虑题中所给的提示，注意“不在x、y轴上的点Q的坐标为（a，b），其中a为过点Q且与y轴平行的直线与x轴的交点在x轴上表示的实数，b为过点Q且与x轴平行的直线与y轴的交点在y轴上表示的实数．”这和我们以往所认识平面直角坐标系不同，因此我们要理解好题意，由题意可得A、B、C坐标分别为A（1，0），B（2，1），C（2，2）；再去标注M位置即可．

解答：

解：

（1）由图示可知各点的坐标为：

A（1，0），B（2，1），C（2，2）；

（2）如图：

（3）设射线OD上点K的横、纵坐标满足的关系式为y=kx；

由图知：

D（1，2），则：

k=2，

即x与y所满足的关系式为：

y=2x．

点评：

本题考查了对平面直角坐标系的理解，在做题过程中要开放思维，弄清题意．

3.（2009•佳木斯）如图，A、B、C为一个平行四边形的三个顶点，且A、B、C三点的坐标分别为（3，3）、（6，4）、（4，6）．

（1）请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；

（2）求这个平行四边形的面积．

考点：

坐标与图形性质；平行四边形的性质．

分析：

（1）本题应从BC为对角线、AC为对角线、AB为对角线三种情况入手讨论，即可得出第四个点的坐标．

（2）解本题时应将三角形进行分化，化为几个直角三角形的和，解出面积和，乘以2即为平行四边形的面积．

解答：

解：

（1）BC为对角线时，第四个点坐标为（7，7）；AB为对角线时，第四个点为（5，1）；当AC为对角线时，第四个点坐标为（1，5）．

（2）图中△ABC面积=3×3-1/2（1×3+1×3+2×2）=4，所以平行四边形面积=2×△ABC面积=8．

点评：

此题主要考查了平行四边形的性质和判定，难易程度适中．

4.（2008•岳阳）如图，四边形ABCD是一正方形，已知A（1，2），B（5，2）

（1）求点C，D的坐标；

（2）若一次函数y=kx-2（k≠0）的图象过C点，求k的值．

（3）若y=kx-2的直线与x轴、y轴分别交于M，N两点，且△OMN的面积等于2，求k的值．

考点：

坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；正方形的性质．专题：

代数几何综合题．

分析：

根据正方形的定义得到正方形的边长是4，C，D的坐标容易求出；

把C点坐标代入一次函数y=kx-2（k≠0）的解析式，就可以求出k的值；

根据△OMN的面积等于2，就可以求出k的值．解答：

解：

（1）∵ABCD为正方形，又A（1，2），B（5，2）

则AB=4，∴C（5，6），D（1，6）（2分）

（2）∵y=kx-2经过C点，∴6=5k-2，∴k=1.6（4分）

（3）y=kx-2与x轴的交点为M

y=0时，kx-2=0，x=2/k，M（2/k，0），N（0，-2）

又S△OMA=12|OM|•|ON|=1/2×|-2|•|2/k|=2

∴|K|=1，k=±1

故k=±1时，△OMN的面积为2个单位（少一个k值扣1分）（6分）．

点评：

本题结合坐标考查了函数的性质，注意结合图形是解决本题的关键．

5.（2007•陕西）在下列直角坐标系中，

（1）请写出在平行四边形ABCD内（不包括边界）横、纵坐标均为整数的点，且和为零的点的坐标；

（2）在平行四边形ABCD内（不包括边界）任取一个横、纵坐标均为整数的点，求该点的横、纵坐标之和为零的概率．

考点：

坐标与图形性质；平行四边形的性质；概率公式．

分析：

（1）横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标应在一三象限坐标轴角平分线上；

（2）应找完在平行四边形内的所有整数点．

解答：

解：

（1）看图可知A（-2，2），B（-3，-2），C（2，-2）D（3，2），在其内部横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标有（-1，1），（0，0），（1，-1）．（3分）

（2）由图可知：

∵在平行四边形ABCD内横、纵坐标均为整数的点有15个，其中横、纵坐标和为零的点有3个．（6分）

∴P=3/15=1/5．（8分）

点评：

解决本题的关键是理解横、纵坐标均为整数，且和为零的点的坐标在一三象限坐标轴角平分线上，范围是平行四边形内．用到的知识点为：

概率=所求情况数与总情况数之比．

6.（2006•锦州）如图，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”．根据图形解答下列问题：

（1）图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？

（写出变换过程）

（2）在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标．

考点：

坐标与图形性质；平移的性质；旋转的性质．专题：

网格型．分析：

（1）对应点是C、F，△ABC应先向右平移到F，BC转到EF位置，可看出是逆时针旋转90°，

（2）可任意建立平面直角坐标系，得到相应三点的坐标．解答：

解：

（1）答案不唯一，只要合理即可得（2分）．如：

将△ABC向右平移3个格得到△A1B1C1，再将△A1B1C1以点C1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；

（2）答案不唯一，只要正确建立直角坐标系并正确写出各点坐标，即可得（3分）．如：

方法一：

如图①建立直角坐标系，则点D（0，0）、E（2，-1）、F（2，3）；

方法二：

如图②建立直角坐标系，则点D（-2，0）、E（0，-1）、F（0，3）；

方法三：

如图③建立直角坐标系，则点D（-2，-3）、E（0，-4）、F（0，0）；

方法四：

如图④建立直角坐标系，则点D（-2，1）、E（0，0）、F（0，4）．

点评：

图形的转换应找到关键点，关键线段的变化，原点位置不同，得到点的坐标也不同．

7.（2005•绍兴）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（2，0）．

（1）画出等腰三角形ABC（画一个即可）；

（2）写出

（1）中画出的三角形ABC的顶点C的坐标．

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的性质．分析：

（1）由题意可得，AB的中垂线是y轴，则在y轴上任取一点即可；

（2）根据所画情况而定，如（0，3）

解答：

解：

（1）如图；

（2）C（0，3）或（0，5）都可以（答案不唯一）．

本题综合考查了图形的性质和坐标的性质及等腰三角形的性质；发现并利用AB的中垂线是y轴是正确解答本题的关键

8.（2005•杭州）在平面直角坐标系内，已知点A（2，1），O为坐标原点．请你在坐标轴上确定点P，使得△AOP成为等腰三角形．在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，…，PK的坐标（有k个就标到PK为止，不必写出画法）．

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．专题：

规律型．分析：

本题应先求出OA的长，再分别讨论OA=OP、AP=OA、AP=OP的各种情况，即可得出答案．解答：

解：

OA=12+22=5，OA=OP时，x轴上有（5，0），（-5，0）；

y轴上有（0，5），（0，-5）；

AP=OA时，x轴上有（4，0），y轴上（0，2）；

AP=OP时，x轴上有（54，0）y轴上有（0，52）

∴p1（4，0），p2（0，2），p2（5，0），p4（-5，0），p5（0，5），p6（0，-5），p7（54，0），p8（0，52）点评：

△AOP为等腰三角形，那么任意一对邻边可为等腰三角形，注意分情况讨论．

9.（2002•青海）已知：

如图，矩形AOBC，以O为坐标原点，OB、OA分别在x轴、y轴上，点A坐标为（0，3），∠OAB=60°，以AB为轴对折后，使C点落在D点处，求D点坐标．

考点：

坐标与图形性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；特殊角的三角函数值．专题：

几何图形问题．

分析：

利用三角函数可得到OB长，根据翻折得到的对应线段相等，也就得到了AD、AC长度，过D向y轴引垂线后，利用三角函数，可得到点D的横坐标，AE的值，进而求得OE的长，点E的纵坐标．

解答：

解：

由题意得OA=3，∠OAB=60°，

∴OB=3×tan60°=3

∵△ACB≌△ADB

∴AD=AC=OB，

过D作DE⊥y轴于点E

∵∠OAD=30°

∴ED=332

∵cos30°=OA+EOAD

那么OE=33×

/2-3=1.5

D（3

/2，-1.5）．

点评：

翻折前后对应角相等；对应边相等，注意构造直角三角形利用相应的三角函数值求解．

10.（2001•金华）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（-4，0），点C为y轴上一动点，连接AC，过点C作CB⊥AC，交x轴于B．

（1）当点B坐标为（1，0）时，求点C的坐标；

（2）如果sinA和cosA是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根，过原点O作OD⊥AC，垂足为D，且点D的纵坐标为a2，求b的值．

考点：

坐标与图形性质；根与系数的关系；勾股定理；锐角三角函数的定义．专题：

动点型．分析：

（1）在直角三角形AOC、BOC、ABC中，根据数量关系利用勾股定理可求出点C的坐标；

（2）先利用根与系数的关系确定a、b的数量关系，再利用三角函数和三角形的面积公式求出a2的值．解答：

解：

（1）在Rt△AOC中，AO2+OC2=AC2，∴42+OC2=AC2．①

在Rt△BOC中，BO2+OC2=BC2，∴12+OC2=BC2．②

在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，∴AC2+BC2=52．③

由①、②两式可得AC2-BC2=15，

与第③式联立可解得BC=

，AC=2

．

∴OC=2．

∴点C的坐标为（0，2）．

（2）∵sinA和cosA是关于x的一元二次方程x2+ax+b=0的两个实数根，

∴sinA+cosA=-a，sinA•cosA=b．

又∵sinA2+cosA2=1，

则sinA2+cosA2=（sinA+cosA）2-2sinA•cosA=a2-2b=1．

∵sinA=ODAO=BCAB，

∴OD4=

/5．

解得OD=4

/5．

∵cosA=ADAO=ACAB，

∴AD4=2

/5．

解得AD=8

/5．

在Rt△AOD中：

AO•DE=OD•AD，

又∵点D的纵坐标为a2，

∴4a2=4

/5•8

/5，

∴a2=8/5．

则a2-2b=8/5-2b=1．

解得b=3/10．

点评：

此题综合考查了一元二次方程与解直角三角形的关系，难度较大．

11.如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为（-2，8），（-11，6），（-14，0），（0，0）．

（1）确定这个四边形的面积，你是怎么做的？

（2）如果把原来ABCD各个顶点纵坐标保持不变，横坐标增加2，所得的四边形面积又是多少？

考点：

坐标与图形性质；多边形．

分析：

利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积，或补直角三角形成长方形．解答：

解：

（1）过点B，A分别作BF，AE垂直于x轴，所以四边形的面积=1/2×3×6+1/2×（6+8）×9+1/2×2×8=80．

（2）根据平移的性质可知，平移后的图形形状和大小不变，所以所得的四边形面积是80．

点评：

主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式有机的和图形结合起来求解的方法．

12.如图，描出A（-3，-2）、B（2，-2）、C（3，1）、D（-2，1）四个点，线段AB、CD有什么关系？

顺次连接A、B、C、D四点组成的图形是什么图形？

考点：

坐标与图形性质；平行四边形的性质．

分析：

根据四点的坐标可以得到AB∥CD，且AB=CD，就可以确定四边形的形状．解答：

解：

AB∥CD，且AB=CD，因而四边形ABCD是平行四边形．

点评：

纵坐标相同的点的连线一定平行于x轴，然后令一组对边相等即可．

13.如图：

在直角坐标系中，第一次将△AOB变换成△OA1B1，第二次将三角形变换成△OA2B2，第三次将△OA2B2，变换成△OA3B3，已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；B（2，0），B1（4，0），B2（8，0），B3（16，0）．

（1）观察每次变换前后的三角形有何变化，找出规律，按此变化规律再将△OA3B3变换成△OA4B4，则A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）．

（2）若按

（1）找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△OAnBn，比较每次变换中三角形顶点有何变化，找出规律，推测A的坐标是（2n+1，3），B的坐标是（2n+1，0）．

考点：

坐标与图形性质．专题：

规律型．分析：

对于A1，A2，An坐标找规律可将其写成竖列，比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3，同理B1，B2，Bn也一样找规律．

解答：

解：

已知A（1，3），A1（3，3），A2（5，3），A3（7，3）；对于A1，A2，An坐标找规律比较从而发现An的横坐标为2n+1，而纵坐标都是3；

同理B1，B2，Bn也一样找规律，规律为Bn的横坐标为2n+1，纵坐标为0．

由上规律可知：

（1）A4的坐标是（9，3），B4的坐标是（32，0）；

（2）A的坐标是（2n+1，3），B的坐标是（2n+1，0）

点评：

本题是观察坐标规律的问题，需要分别从横坐标，纵坐标两方面观察规律，写出答案．

14.请在所给网格中按下列要求操作：

（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（0，2），B点坐标为（-2，0）；

（2）在x轴上画点C，使△ABC为等腰三角形，请画出所有符合条件的点C，并直接写出相应的C点坐标．

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的性质．专题：

网格型．分析：

（1）根据A点坐标为（0，2），B点坐标为（-2，0），则点A所在的纵线一定是y轴，B所在的横线一定是x轴．

（2）分AB时底边或腰两种情况进行讨论．解答：

解：

（1）在网格中建立平面直角坐标系如图所示：

（2）满足条件的点有4个：

C1：

（2，0）；C2：

（2

-2，0）；C3：

（0，0）；C4：

（-2

-2，0）．

点评：

本题考查了等腰三角形的性质及坐标与图形的性质；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

15.附加题：

请自己动手，建立平面直角坐标系，在坐标系中描出下列各点的位置：

A（-4，4），B（-2，2），C（3，-3），D（5，-5），E（-3，3），F（0，0）

你发现这些点有什么位置关系？

你能再找出类似的点吗？

（再写出三点即可）

考点：

坐标与图形性质．

分析：

本题可根据“横纵坐标互为相反数，那么这些点在一条直线上”来解题．解答：

解：

由上图所示，这些点在同一直线上，在二四象限的角平分线上．类似的点还有如：

（1，-1）、（-1，1）、（2，-2）等．

点评：

用的知识点为：

二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数．

16.已知边长为2的正方形OABC在直角坐标系中，（如图）OA与y轴的夹角为30°，求点A、点C、点B的坐标．

考点：

坐标与图形性质；正方形的性质．专题：

综合题．分析：

由OA与y轴的夹角为30°，正方形的边长，根据三角函数值可将点A和点C的坐标直接求出，将点B的坐标设出，根据点B到点A和点O的距离，列出方程组，可将点B的坐标求出．

解答：

解：

∵OA与y轴的夹角为30°，OA=OC=2

∴OC与x轴的夹角为30°，OA在x轴方向的分量为：

2×cos60°=1，在y轴方向的分量为：

2×sin60°=

，故点A的坐标为（1，3）；OC在x轴方向上的分量为：

2×cos30°=3，在y轴方向的分量为：

2×sin30°=1，故点C的坐标为（-

，1）．

设点B的坐标为（a，b）

∵DA=2，OD=22

∴{a2+b2=（22）2（a-1）2+（b-3）2=22解得：

b=3+1（舍负值），a=1-3

∴点B的坐标为（1-

，1+

）

∴A（1，

）、B（1-

，1+

）、C（-

，1）．

点评：

本题主要是根据三角函数值将点A和点C的值求出，在根据两点之间的距离，列出方程组可将点B的坐标求出．

17.在平面直角坐标系中，顺次连接（-2，1），（-2，-1），（2，-2），（2，3）各点，你会得到一个什么图形？

试求出该图形的面积．

考点：

坐标与图形性质．分析：

本题需要根据点的坐标特点，分别描点、顺次连线，再观察整个图形的形状．

由于点（-2，1），（-2，-1）和点（2，-2），（2，3）的横坐标分别相同两点的连线都垂直于x轴，故图形是梯形，再根据梯形面积公式求面积．

解：

如图依次连接可得：

图形是梯形，面积为：

1/2×（2+5）×4=14．

点评：

本题主要是对点的坐标的表示及正确描点、连线等知识的直接考查．同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求并不高．

18.如图所示是某台阶的一部分，如果点A的坐标为（0，0），B点的坐标为（1，1），

（1）请建立适当的直角坐标系，并写出C，D，E，F的坐标；

（2）说明B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标比较有什么变化？

（3）如果该台阶有10级，你能得到该台阶的高度吗？

考点：

坐标与图形性质．分析：

从A（0，0）到B（1，1）可以看出，每一级台阶的横坐标、纵坐标都比前一个依次增加1，由此即可得解．

解答：

解：

（1）以A点为原点，水平方向为x轴，建立平面直角坐标系．

所以C，D，E，F各点的坐标分别为C（2，2），D（3，3），E（4，4），F（5，5）．

（2）B，C，D，E，F的坐标与点A的坐标相比较，

横坐标与纵坐标分别加1，2，3，4，5；

（3）每级台阶高为1，宽也为1，

所以10级台阶的高度是10，长度为11．

点评：

本题也可以用坐标平移的观点来解，即向右平移1个单位，再向上平移1个单位，依次类推．

19.在平面直角坐标系内，已知点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，求a的值及点的坐标．

考点：

坐标与图形性质．

分析：

根据第三象限角平分线上点的特点解答即可．

解答：

解：

∵点（1-2a，a-2）在第三象限的角平分线上，

∴1-2a=a-2，解得a=1，

故此点坐标为（-1，-1）．

点评：

本题主要考查第三象限角平分线上点的特点：

点的横纵坐标相等．

20.如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（0，0）、B（9，0）、C（7，5）、D（2，7）．求四边形ABCD的面积．

考点：

坐标与图形性质．分析：

本题应利用分割法，把四边形分割成两个三角形加上一个梯形后再求面积．解答：

解：

过D，C分别做DE，CF垂直于AB，则有：

S=S△OED+SEFCD+S△CFB

=1/2×2×7+1/2×（7+5）×5+1/2×2×5=42．

故四边形ABCD的面积为42平方单位．点评：

主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．要掌握两点间的距离公式和图形有机结合起来的解题方法．

21.如图所示，在直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积．

考点：

坐标与图形性质；多边形．

分析：

分别过B、C作x轴的垂线，利用分割法求面积和即可．

解答：

解：

分别过B、C作x轴的垂线BE、CG，垂足为E，G．

所以SABCD=S△ABE+S梯形BEGC+S△CGD=1/2×3×6+1/2×（6+8）×11+1/2×2×8=94．

点评：

主要考查了点的坐标的意义以及与图形相结合的具体运用．割补法是求面积问题的常用方法．

22.在平面直角坐标系内，A、B、C三点的坐标分别是A（5，0）、B（0，3）、C（5，3），O为坐标原点，点E在线段BC上，若△AEO为等腰三角形，求点E的坐标．（画出图象，不需要写计算过程）

考点：

坐标与图形性质；等腰三角形的性质．专题：

作图题．

分析：

要根据题意描点画图，设计等腰三角形时，可以按A，O，E都有可能作为等腰三角形的顶点，分类画图，根据勾股定理计算点的坐标，注意点E在线段BC上这个限制条件．

解答：

解：

图形如下：

（1）若