瑕积分敛散性的判别方法和应用.docx

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瑕积分敛散性的判别方法和应用

摘要

本文给出瑕积分收敛性的判断方法，并将其运用到瑕积分的解题之中．判断瑕积分收敛的方法主要有定义法、比较法和柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法，被积函数的原函数已知或易求的用定义法；满足狄利克雷判别法条件的函数用狄利克雷判别法；满足阿贝尔判别法条件的函数用阿贝尔判别法；含有正弦、余弦等有界函数或绝对收敛的函数可考虑用比较法来判断.依据两类含参量反常积分可以互化的关系，从含参量无穷限积分的一致收敛的判定定理出发，给出了含参量瑕积分一致收敛性的判定定理及其证明．最后给出了瑕积分计算可简化的两种形式,以便能够更方便更准确的计算出瑕积分的值.

关键词：

瑕积分；收敛；含参量瑕积分；含参量无穷限积分；一致收敛

Abstract

Inthispaper,wegivetheflawintegralconvergencejudgmentmethod,andapplytosolvingofflawintegral.Judgingmethodofflawintegralconvergencearemainlydefinitionmethod,comparativemethodandcauchy-criterionprinciple.Definitionmethodcanbeusedwhenintegrandiseaslyobtained.DirichlettestandAbel'stestarecarriedoutwhensomeconditionsaresatisfied.Comparativemethodcanbeusedwhensineorcosinefunctionandsoon,boundedfunctionisincluded.

Bymeansoftherelationbetweenthetwoabnormalityintegralcontainingparameters,thejudgmenttheoremofconsistentastringencyofflawintegralcontainingparametersisdeducedfromthejudgmenttheoremofconsistentastringencyinfiniteintegralcontainingparameters.Sometypicalexamplesaregiventoilluminatetheapplicationoftheobtainedjudgmentandtheorem.Thispaperpresentssomeconditionsunderwhichdefectintegralcanbecomputedascommonintergral.Weprovethatdefectintegralcanbecomputedascommonintergraliftheoriginalfunctionoftheintegrandiscontinuousofboundedontheintegeralinterval.

Keywords:

Flawintegral;Convergence;Flawintegralcontainingparameters;Infiniteintegralcontainingparameters;Consistentastringency

摘要I

AbstractII

1引言1

2瑕积分敛散性的判别方法和应用2..

2.1瑕积分的定义2...

2.2瑕积分的性质3...

2.3瑕积分的收敛判别法4..

2.4瑕积分收敛判别法的应用举例5..

2.5柯西判别法的延伸及应用6..

3含参量瑕积分一致收敛的判定和应用9..

3.1含参量瑕积分的定义9..

3.2含参量瑕积分一致收敛的判别法9..

3.3含参量瑕积分判定收敛法的应用1..3

4瑕积分计算的简化1..6.

4.1瑕积分计算可简化的第一种情形1..6

4.2瑕积分计算可简化的第二种情形1..8

5总结和展望2..1.

参考文献2..2..

致谢错..误！

未定义书签。

1引言现在国内外关于瑕积分敛散性的判别方法的研究非常丰富,取得了很好的成果,其中不乏有所突破的地方,例如：

李灼庭发表的《关于瑕积分敛散性教学上的一些问题》在瑕积分的教学中收到了很好的效果.又如：

石秀文和张广慧发表的《瑕积分敛散性的判断技巧》和《瑕积分敛散性的判别方法与应用》更加丰富了瑕积分的敛散性判别方法与应用.

瑕积分收敛性的判断是学生学习的难点之一，判断瑕积分收敛的方法有多种,《数学分析》教材上给出的常用的方法主要有定义法、比较法、柯西判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.本文将通过对瑕积分收敛性的几个特性及判断瑕积分收敛的一些技巧和规律的研究,使学习者能够更快、更好的掌握瑕积分收敛性的判断方法.

含参量瑕积分又是瑕积分的一个重要分支，对含参量瑕积分的探讨，又能更好的来研究瑕积分的收敛性.瑕积分收敛的判别方法在含参量瑕积分收敛中也有重要的应用，从而推出含参量瑕积分一致收敛的判别方法.

由于瑕积分的复杂性，导致其运算过程往往是很复杂的，利用怎样的方法，才能使瑕积分的运算更简便,本课题也将给予研究.

本文分为四大部分：

即摘要，引言，正文和总结.而正文又分为三大章.第一章：

瑕积分敛散性的判别方法和应用，着重介绍瑕积分敛散性的判别方法以及这些方法在实际问题中的应用.第一节叙述瑕积分的定义；第二节给出瑕积分的一些基础性质；第三节列出瑕积分敛散性的判别方法，如：

比较法；柯西判别法等等；第四节主要是瑕积分判别法的应用举例；第五节是关于柯西判别法的延伸．

第二章：

含参量瑕积分一致收敛的判定和应用，着重介绍瑕积分中的含参量瑕积分敛散性的判别方法以及其在实际问题中的应用.第一节叙述含参量瑕积分的定义；第二节列出了含参量瑕积分敛散性的判别方法，如：

柯西判别法；M判别法；狄利克雷判别法等等；第三节主要是一些应用举例.

第三章：

瑕积分计算的简化，着重解决瑕积分与定积分之间的关系，讨论何种情形下瑕积分才可以转化为定积分的运算，并给出一些瑕积分能够转化为定积分计算的例子．

正文通过这三章，解决了在实际生活中遇到的瑕积分的一些问题,达到了本文的研究目的，收到了预期良好的效果.

2瑕积分敛散性的判别方法和应用

2.1瑕积分的定义

定义2.1f定义在区间a,b1上,在点a的任一右邻域内无界,但在任何闭区间[u,b]u（a,b）上有界且可积.如果存在极限limff（x）dx=J,则称此极限为无界函数fu_『+切

bb

在（a,b]上的反常积分,记作J=丄f（x）dx,并称反常积分faf（x）dx收敛.如果极限

bb

limff（x）dx=J不存在，这时也说反常积分af（x）dx发散.

u_a

在定义中，被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点,而无界函数反

b

常积分.f（x）dx又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b时的瑕积分：

a

bu

f（x）dx二limf（x）dx.

aub…a

其中f在[a,b）有定义,在点b的任一左邻域内无界，但在任何〔a,ul〔a,b上可积.

若f的瑕点（a,b）,则定义瑕积分

bcbub

f（x）dxf（x）dxf（x）dx=limf（x）dxlimf（x）dx.aa-au—c••av）c*"v

其中f在[a,c）_.（c,b]上有定义,在点c的任一邻域内无界，但在任何la,Jl.a,c和

[v,b]lc,b上都可积.当且仅当右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.

又若a、b两点都是f的瑕点,而f在任何[u,v]（a,b）上可积,这时定义瑕积分

bcbcv

f（x）dxf（x）dx亠if（x）dx=limf（x）dxlimf（x）dx,

aacauv>b-c

其中c为（a,b）内任一实数.当且仅当上式右边两个瑕积分都收敛时，左边的瑕积分才是收敛的.

例1瑕积分的值.

1

解被积函数f（x）-在[0,1）上连续，从而在任何[0,u][0,1）上可积，x=1

-x

dx

为其瑕点.依定义求得

兀

二limarcsinu

UT_2

例2讨论瑕积分$卑（q>0）的收敛性•

X

解被积函数在0,1上连续,x=0为其瑕点.由于

11

1dx.厂仆亠丿乙黑

矿<爲1（。

“1），

1dx1dx1

故当0<2时,且心弋+心=百，则瑕积分收敛;

而当q_1时,瑕积分发散于•:

：

.

1_q

注当0：

：

：

q"时，瑕积分=（b-a）收敛，而当qj时，瑕积分bdx口发a（x_a）q1-q岂（x_a）q

散于•:

：

.

2.2瑕积分的性质

类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性质

瑕积分同样可由函数极限

bb

limf（x）dxf（x）dx的原意写出相应的命题.aua

b

定理2.1［］瑕积分f（x）dx（瑕点为a）收敛的充要条件是：

任给；•0存在：

•0,

a

只要u1、u2•（a,a-）,总有

U2

f（x）dxcJ

U1

bb

Jf（x）dx_Jf（x）dx

U1U2

b

性质1设函数f1与f2的瑕点同为x=a,k1>k2为常数，则当瑕积分.h（x）dx与

■a

/f2（x）dx都收敛时，瑕积分Jk1f1（x）k2f2（x）］dx必定收敛，并有

bbb

[k1f1（x）k2f2（x）]dx二f1（x）dxk2.f2（x）dx

aaa

性质2设函数f的瑕点为x=a,f在（a,b］的任一内闭区间［u,b］上可积.则当

b-bbb

\f（x）dx收敛时Jf（x）dx也必定收敛，并有Jf（x）d^\|f（x）dx.

aaaa

b性质3设函数f的瑕点为x=a,c・（a,b）为任一常数.则瑕积分f（x）dx与

ba

c

f（x）dx同敛态，并有

a

bcb

.f（x）dxf（x）dx.f（x）dx,

aac

其中Cf（x）dx为定积分.

2.3瑕积分的收敛判别法

、，bb

定义2.2当Jf（x）dx收敛时,称［f（x）dx为绝对收敛.称收敛而不绝对收敛的

-a-a

瑕积分是条件收敛，判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：

定理2.2（比较法则）设定义在（a,b］上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任

b

何［u,b］（a,b］上都可积,且满足f（x）空g（x）,x・（a,b］,则当ag（x）dx收敛

bbb

时，［|f（x）dx必定收敛（或当f（x）dx发散时，g（x）dx亦必发散）.

bdxb

当选用［p作为比较对象fg（x）dx时，由比较法则得到以下三个重要推论，

a（x-a）a

推论1设f定义于（a,b］,a为其瑕点,且在任何［u,b］（a,b］上可积,则有：

（i）当f（x）兰1一^,且0

（x—a）a

1b

（ii）当f（x）|z且p兰1时,f|f（x）dx发散.

（x-a）、a

推论2设f定义于（a,b］,a为其瑕点，且在任何［u,b］（a,b］上可积.如果

lim（x-a）pf（x）-■,则有：

b

（i）当0£pc1,0兰九c中立时LIf（x）dx收敛；

（ii）当P-1,0-:

:

时「f（x）dx发散.

a

推论3设定义在（a,b］上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,又若g（x）0,且

lilf（x）则有

limc,则有：

xag（x）

（i）当时，由fg（x）dx收敛可推知f|f（x）dx也收敛；

aa

（ii）当0cc兰时，由Jg（x）dx发散可推知j|f（x）dx也发散.

aa

2.4瑕积分收敛判别法的应用举例

上恒为负

判别下列瑕积分的收敛性：

（1）[2]

;

（2）訴

本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号

Inx

在（0,1]

—在（1,2]上恒为正,所以它们的瑕积分收敛与绝对收敛是同一回事

Inx

3

（1）此瑕积分的瑕点为x=0.由上述推论3,当取p1时，有

4

Inx,；c

=~^~7Pm（4x）2

■二limx4

Inx

x

所以瑕积分⑴收敛.

⑵此瑕积分的瑕点为x=1.当取p=1时,由

-=lim（.x_1）x=lim心=1,

x「|门xx#|nx

故该瑕积分发散.

亠.xa」

讨论反常积分'（a）=.0行dx的收敛性.

解这是一个既是无穷积分又是瑕积分的例子

1xa，

把反常积分①（a）写成：

①（a）=[——dx+

'1+x

:

:

x

>rx"（a）J（a）-

（i）先讨论I（a）.当a-1_0,即a_1时它是定积分；当a：

：

：

1时它是瑕积分,瑕点为

x=0.由于

limx

x]0■

a-J

2x

1

1x

根据定理2.2推论2,当0：

：

：

p=1-a",即a0且，=1时,瑕积分I（a）收敛；当

p=1—_1,即:

_0且’=1时，|（>）发散.

（ii）再讨论J（〉），它是无穷积分.由于

2Xlimx

xJ：

：

根据定理2.2推论2,当p=2「.1,即a：

：

1且一1时，JC）收敛；而当P=2_：

r1,

即1且■=1时，J（：

•）发散.

综上所述,把讨论结果列如下表:

CL

a<0

0"£1

a>1

1心）

发散

收敛

定积分

J©）

收敛

收敛

发散

①（ot）

发散

收敛

发散

由此可见,反常积分:

•:

^：

）只有当0：

「•：

：

：

1时才是收敛的.

例3讨论反常积分o'e^lnxdx的收敛性.

-be

e公inxdx

1

e」lnxdx

-bex

e°Inxdx

1

由limx至e»lnx二0,知瑕积分心0十

1:

:

oe^Inxdx收敛,又由于Jimx2e^lnx=0,知无穷积分e^inxdx收敛,从而可知反常

积分°e»lnxdx是收敛的.

2.5柯西判别法的延伸及应用

以下设函数f（x）以a为瑕点，在闭区间l.a,u上可积呵.

一、若两个函数f与g,瑕点同为x=a,且g（x）>0,lim上凶=c，

3g（x）

由柯西判别法则f（x）dx与g（x）dx同敛散.

b1b1

则

（1）dx与kdx同敛散，即k:

:

:

1时收敛,k-1时发散.

a®（x）a（x—a）

b（x）

a（x-a）

b

kdx与k

ka（x-a）k

dx同敛散.

注若直接用柯西判别法，由上可知

（1）取p=k,即k：

1时收敛，k一1时发散,

同理⑵p二a-k,这样参数k就容易确定了.

例1讨论瑕积分收敛性：

21，江1

（1）-1~dx

（2）°.dx⑶

（lnx）Vsinx

11

-cosx,adxx

解

（1）lnax=lna1心-1）1~匕-1尸,&》1）,故a：

：

：

1时收敛，a—1时发散.

即k:

：

:

1时收敛,k_1时发散.

11

若用柯西判别法，由上可知取p二a,lim（x-1）a厂Jim—.1即a：

：

：

1时收

J1lnx7lnx

11

敛，a_1时发散.即k：

1时收敛，k_1时发散，lim（x-1）a—=lim—=1即a：

：

：

1时

7lnx7lnx

收敛，a_1时发散.

（2）0为瑕点，易知其收敛.

（3）当a兰0,f1—COSxdx为定积分，当a>0时,0为瑕点，取p=a—k,易知其收敛

x

情况,那么熟知其等价性参数就容易确定了.

二、（i）若f定义于b,畑），在任何有限区间〔a,u］上可积,且limxpf（x）=h

b

由柯西判别法，则瑕积分与f（x）dx同敛散.

_a

因为

Iim（x-a）pf（x）毋（x）|=|Alim（x-a）pf（x）|=^|A=「

同为正数或同为,所以由柯西判别法

bb

』f（x）dx与.If（X）|®（X）dX的参数p的值相

等•

例2讨论瑕积分收敛性

⑴rjx

1arctanx

解

（1）被积函数的瑕点为1，故

[9]

2

1鼻=1）&=2严

1

0,dx同收敛；若用柯西判别

.1一x

法,由上可知，取p=12，则怎-1,故收敛.

（2）被积函数的瑕点为1£晋

dx与

1

°1-x

1

dx敛散性相同，应用柯西判别法可

知p=1,,故收敛.

12

（3）被积函数的瑕点1和2.,所以

2x

dx3dx=J1J2

2、.（x-1）（x-2）

2

1.（x-1）（x—2）dx「1..（x-1）（x-2）

3

2

3

J1=1"（^1）（^2）dx=

与12Ldx同收敛•用柯西判别法,由上可知

（1）取则p珂2，—1,同理J2与

、、x「1

3dx用柯西判别法,由上可知

（1）取p=12,则•=1故收敛,若熟悉了性质2,可先

用性质2将形式上复杂的被积函数的瑕积分转化为简单函数的瑕积分，这将有助于简化问题,从而更容易确定参数p.

（ii）若被积函数含有因Inx且0为瑕点,我们要熟悉极限

limxalnmx=0（a>0,m乏N』，九=0取pci且使上式中aa0即可知收敛.x—°+

例3判断瑕积分的收敛性

121Inx11nx

（1）0（lnx）dx0-彳2dx⑶0一xdx

解

（1）被积函数的瑕点为0,

limInmx=0（、；>0,mN）,p=1.2则，=0柯西判别法可知收敛

x—.0''

⑵被积函数的瑕点为0和1

1lnx」

J]/毎

0

1Inx

Jr1lnx

dx2「1,

dx=J1J2

由性质2及性质3知收敛.

x-11

.1-x.1x

=0

5

即p=12则■=0所有⑵收敛.

⑶被积函数的瑕点为0,

plnx

limxlimx

xfixx]0

3含参量瑕积分一致收敛的判定和应用

3.1含参量瑕积分的定义

定义3.1设f（x,y）在区域R,-la,b.lC,d上有定义.若对x的某值，y=d为函

数f（x,y）的瑕点（一下的含参量瑕积分未加说明都同此）,则称

d

cf（x,y）dy

（1）

为含参量X的瑕积分.

定义3.2对任给的正数；，总存在某正数「:

：

d-c,使得当0:

:

：

:

:

:

:

.时，对一切xEla,b］,都有f协f（x,y）dy£s则称含参量瑕积分

（1）在上Ia,b］一致收敛.

3.2含参量瑕积分一致收敛的判别法

定理3.1（柯西收敛准则）含参量瑕积分/f（x,y）dy在〔a,bl上一致收敛的充要

条件是：

对任给的正数；,存在不依赖于x的-0,使得当0八八一:

?

时,对一切

x•a,b1,都有

d_r；f（x,y）畑

（2）

证明［必要性］由

（1）在a,b1上一致收敛，故对任给的；・0,存在

2

d

〕dJrf（x,y）dy

d

6（0

dfdddIId

成立.则有[』f（x,y）dy=[^f（x,y）dy—（x,y）dyWf^f（x,y）d^[^pf（x,y）dy

［充分性］由所给条件知：

对任给正数；，存在不依赖于x的：

（0—：

d-c）使得当

0：

：

：

、<-时，对一切X•a,b1,都有

f（x,y）d

d4■

d-

成立.令，0,则有

（x,y）dj<名

成立.由定义2知：

含参量瑕积分

（1）在〔a,b1上一致收敛.

d

注根据含参量瑕积分f（x,y）dy一致收敛的柯西准则，我们可以给出其非一致收敛c

充要条件：

-%0,对一•0（—：

d「c）,0：

：

：

「：

2"：

：

x^-〔a,b】有

d』

L占f（x°,y）dy兰®

定理3.2（魏尔斯特拉斯M判别法）设有函数g（y）,使得

f（x,y）兰g（y）,（awxwb,cwywd）

d

若g（y）dy收敛,所以由瑕积分的柯西收敛原则知：

对于任给的；.0,存在

9

d-TT

6:

>0（0成6cd—c）,对于任意的11,口"，且0£口"<"有Jd冲g（y）dy*又由⑶可

d』‘d-n

f（x,y）dy兰Jd』|f（x,y）dy兰扁g（y）dy*.

故由定理3.1知：

含参量瑕积分f（x,y）dy在l.a,b1上一致收敛.

c

定理3.3（Heine归结原则）含参量瑕积分:

f（x,y）dy在〔a,b1上一致收敛的充

要条件是：

对任意递增数列IaUauc）,An>d（n，时，相应的函数项级数

二If（x,y）dy八Un（x）n4A1n4

在la,b1上一致收敛.

证明［必要性］因为

（1）在l.a,b1上一致收敛，由定理1知对任给的；.0,必存在

:

——0（0：

：

：

「•：

：

：

d-c）,当0：

：

：

〈：

时，对一切xla,b1,总有

d-'

d-f（x，y）dy「

成立.

令n=d-An,由A>d（门一；门）且An递增.则n》0（^：

：

）且递减.由数列极限

定义,对上述0,存在正整数N,只要m•n•N时,就有0：

：

：

于是

An

=J「f（x,y）dy+川+f+f（x,y）d

AnAm

Un（x）Un1（X）IHUm（x）

'A,''■

rAm+

Lf（x,y）dy

d丄m1•

〕djf（x,y）dy<£•

根据函数项级数柯西一致收敛准则函数项级数（4）在〔a,b1上一致收敛.

［充分性］用反证法•假设

（1）在la,b1上非一致收敛,则存在某一正数0,使得

对于-.0（0—：

d-c）,存在相应的0止和［a,bl,有

d