含参量反常积分的一致收敛性的判别方法可编辑修改word版Word文档格式.docx
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收敛;
一致收敛
Thejudgementmethodsofuniformconvergenceonimproperintegralswithparamer
Abstract:
Thisarticlesummarizsfourkindsofjudgementmethodsofuniformconvergenceon
improperintegralswithparameraccordingtothedefinitionsofimproperintegralswitharameranduniformconvergenceonimproperintegrals,andgivesomeexamples.
KeyWords:
region;
convergence;
uniformconvergence
前言
含参量反常积分是微积分学中一类重要的积分,研究含参量反常积分及其一致收敛性,可以为分析讨论函数的性质打下坚实的基础.本文归纳了判别含参量反常积分的一致收敛性的五种方法:
一致收敛定义、魏尔斯特拉斯M判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,并且给出了典型例子以说明每种判别法的特点.
1.定义
定义1设函数f（x,y）定义在无界区域R={（x,y）a≤x≤b,c≤y<
+∞}上，若对每一个固定的x∈[a,b],反常积分
+∞
⎰cf（x,y）dy
都收敛,则它的值是x在[a,b]上取值的函数,当记这个函数为I（x）时,则有
（1）
I（x）=⎰c
f（x,y）dy，
x∈[a,b],
（2）称式
（1）为定义在[a,b]上的含参量x的无穷反常积分,或简称含参量反常积分.
2.含参量反常积分一致收敛性的判别法
定义2若含参量反常积分
（1）与函数I（x）对任给的正数,总存在某一实数
N>
c,使得当M>
N时,对一切x∈[a,b],都有
⎰cf（x,y）dy-I（x）<
即
⎰Mf（x,y）dy<
则称含参量反常积分
（1）在[a,b]上一致收敛于I（x）.或简单的说含参量积分
（1）在[a,b]
上一致收敛.
定义3设函数
f（x,y）在区域R=[a,b]⨯[c,d）上有定义，若对x的某些值,
y=d为函数f（x,y）的瑕点，则称
d
⎰cf（x,y）dy
（3）
为含参量x的无界函数反常积分，或简称含参量反常积分。
若对每一个x∈[a,b]，积分（3）
都收敛，其积分值x在[a,b]上一致收敛的定义是
定义4对任给正数,总存在某正数<
d-c,使得当0<
<
时,对一切
x∈[a,b],都有
⎰d-f（x,y）dy<
则称含参量反常积分
（1）在[a,b]上一致收敛.
定理1（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分
（1）在[a,b]一致收敛的充要条件是：
对任给正数,总存在某一实数M>
c,使得当A1,A2>
M时,对一切x∈[a,b],都有
A2f（x,y）dy<
.
A1
例1证明含参量反常积分
⎰+∞sinxydy
（4）
0y
在[,+∞）上一致收敛（其中>
0）,但在（0,+∞）内不一致收敛.
证做变量代换u=xy,得
⎰+∞sinxydy=⎰+∞sinudu
Ay
+∞sinu
Axu
（5）
其中A>
0.由于⎰0
时,就有
du收敛,故对任给正数,总存在正数M,使当A>
M
u
+∞sinudu<
⎰A'
u
M
取A>
M,则当A>
时,对一切x≥>
0,由（5）式有
⎰+∞sinxydy<
所以（4）在x≥>
0上一致收敛.
现在证明（4）在（0,+∞）内不一致收敛.由一致收敛定义,只要证明存在某一正数0,使对任何实数M（>
c）,总相应地存在某个A>
M及某个x∈[a,b],使得
+∞sinxydy≥.
⎰Ay0
由于非正常积分⎰0udu收敛,故对任何正数0与M,总存在某个x（>
0）,使得
+∞sinudu-
+∞sinudu<
⎰Mxu
⎰0u0
+∞sinudu-<
+∞sinudu+.（6）
⎰0u
1+∞sinu
0⎰Mxu
现令0=2⎰0
du,由（5）及不等式（6）的左端就有
+∞sinxydy=
+∞sinudu>
2-=.
⎰My
000
所以（4）在（0,+∞）内不一致收敛.
定理2含参量反常积分
（1）在[a,b]上一致收敛的充要条件是：
对任一趋于+∞的递增数列{An}（其中A1=c）,函数项级数
∞
A
∑⎰An+1f（x,y）dy=∑∞
un（x）
在[a,b]上一致收敛.
n=1n
n=1
例2证明：
若f（x,y）在[a,b]⨯[c,+∞）上连续,又
在[a,b）上收敛,但在x=b处发散,则
⎰
cf（x,y）dy
在[a,b）上不一致收敛.
证用反证法,假如积分在[a,b）上一致收敛,则对于任给>
0,总存在M>
c,
当A,A'
>
M时对一切x∈[a,b）恒有
'
⎰Af（x,y）dy<
A'
由假设f（x,y）在[a,b]⨯[A,A]上连续,所以⎰Af（x,y）dy是x的连续含数.在上面不等式中令x→b,得到当A'
A>
M时,
⎰Af（b,y）dy≤.
+∞+∞
而是任给的,因此⎰cf（x,y）dy在x=b处收敛,这与假设矛盾,所以积分⎰cf（x,y）dy在
[a,b）上不一致收敛.
魏尔斯特拉斯M判别法设有函数g（y）,使得
f（x,y）≤g（y）,a≤x≤b,c≤y<
+∞.
若⎰cg（y）dy收敛,则⎰cf（x,y）dy在[a,b]上一致收敛.
例3证明含参量反常积分
+∞cosxydx
（7）
在（-∞,+∞）上一致收敛.
⎰01+x2
证由于对任何实数y都有
≤1
1+x2
及反常积分
+∞1dx
⎰01+x2
收敛,故由魏尔斯特拉斯M判别法,含参量反常积分（7）在（-∞,+∞）上一致收敛.
狄利克雷判别法设
（i）对一切实数N>
c,含参量正常积分
N
⎰cf（x,y）dy
对参量x在[a,b]上一致有界,即存在正数M,对一切N>
c及一切x∈[a,b],都有
⎰cf（x,y）dy≤M;
（ii）对每一个x∈[a,b],函数g（x,y）关于y是单调递减且当y→+∞时,对参量
x,g（x,y）一致地收敛于0,
则含参量反常积分
cf（x,y）g（x,y）dy
阿贝尔判别法设
（i）
⎰cf（x,y）dy在[a,b]上一致收敛;
（ii）对每一个x∈[a,b],函数g（x,y）关于y是单调的单调函数,对参量x,g（x,y）在
[a,b]上一致有界.
例4证明含参量反常积分
+∞-xysinx
⎰edx
（8）
0x
在[0,d]上一致收敛.
证由于反常积分
⎰+∞e-xysinxdx
收敛（当然对于参量y,它在[0,d]上一致收敛）,函数g（x,y）=e-xy对每一个y∈[0,d]关于x
单调,且对任何0≤y≤d,x≥0,都有
g（x,y）=e-xy≤1.
故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分（8）在[0,d]上一致收敛.
例5证明+∞xe-xydy
（i）在[a,b]
（a>
0）上一致收敛;
（ii）在[0,b]上不一致收敛.
证（i）
∀x∈（a,b）,y∈[0+∞）,有
0≤xe-xy≤be-ay,
而
故+∞xe-xydy在[a,b]
+∞be-aydy收敛（a>
0）.
0）上一致收敛.
（ii）因
⎨
（x）=⎰+∞xe-xydy=⎧0,x=0,
在x=0处不连续,
0⎩1,0<
x≤b
xe-xy在0≤x≤b,0≤y<
+∞内连续,
由连续性定理知,+∞xe-xydy在0≤x≤b上不一致收敛.
结束语
本文介绍了含参量反常积分的定义、定理和一致收敛性的判别方法，对我们今后的学习将会有很大的帮助.
参考文献:
[1]华东师范大学数学系编,数学分析（下册）．北京:
高等教育出版社,2001．
[2]钱吉林,数学分析题解精粹[M],武汉：
崇文书局,2003．
[3]武汉大学数学系编,数学分析[M],武汉大学数学系,1999．
[4]吉林师范大学数分教研室编,数学分析讲义[M],吉林师大数学系，2003．
学年论文成绩评定表
评
语
成绩：
学院意见：
学院院长（签名）:
2014年月日
指导教师（签名）:
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