初中数学 人教版八年级上册第十五章 分式 1532 分式方程实际应用教案Word格式文档下载.docx

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1、解分式方程应用题的步骤

分式方程的应用主要就是列方程解应用题，它与学习一元一次方程时列方程解应用题的基本思路和方法是一样的，不同的是，表示关系的代数式是分式而已。

　　一般地，列分式方程（组）解应用题的一般步骤：

　　1．审清题意；

　　2．设未知数；

　　3．根据题意找等量关系，列出分式方程；

　　4．解分式方程，并验根；

　　5．检验分式方程的根是否符合题意，并根据检验结果写出答案．

2、常见的实际问题中等量关系

1.工程问题

　　1．工作量＝工作效率×

工作时间，

，

；

　　2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1．

基础练习：

【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；

若由乙队去做，要超过规定日期三天完成．现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，

　　　　　　那么乙单独完成工程所需的天数就是（x＋3）天.

　　　　　　设工程总量为1，甲的工作效率就是

，乙的工作效率是

，依题意，得

，解得　

．

　　　　　　即规定日期是6天．

【变式2】今年某大学在招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两位教师每分钟各能输入多少名学生的成绩？

【答案】设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入2x名学生的成绩，

　　　　　　依题意，得：

，解得x＝11

　　　　　　经检验，x＝11是原方程的解，且当x＝11时，2x＝22，符合题意．

　　　　　　即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入11名学生的成绩．

15-64

2019年12月17日

3.能够根据实际问题中的数量关系准，确列出分式方程解决问题

4.能将有关的实际问题转化分式方程来解决，感悟分式方程

.营销问题

　　1．商品利润＝商品售价一商品成本价；

　　2．

　　3．商品销售额＝商品销售价×

商品销售量；

　　4．商品的销售利润＝（销售价一成本价）×

销售量．

例：

某校办工厂将总价值为2000元的甲种原料与总价值为4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每0.5kg少3元，比乙种原料每0.5kg多1元，问混合后的单价每0.5kg是多少元？

某书店老板去图书批发市场购买某种图书．第一次用1200元购书若干本，并按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了20%，他用1500元所购该书数量比第一次多10本．当按定价售出200本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其它因素）？

若赔钱，赔多少？

若赚钱，赚多少？

总结升华：

营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结合实际问题对它们表述的意义有所了解．同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式．随着市场经济体制的建立，这类问题具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题．

练习：

A、B两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次，两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同．其中，采购员A每次购买1000千克，采购员B每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

15-65

2019年12月18日

5.能够根据实际问题中的数量关系准，确列出分式方程解决问题

6.能将有关的实际问题转化分式方程来解决，感悟分式方程

行程问题

　　1．路程＝速度×

时间，

　　2．在航行问题中，其中数量关系是：

　　　顺水速度＝静水速度＋水流速度，逆水速度＝静水速度－水流速度；

　　3．航空问题类似于航行问题．

甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍．直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度．

分析：

这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度×

时间，应根据题意，找出追击问题总的等量关系，即普通快车走完路程所用的时间与直达快车由甲地到乙地所用时间相等．

思路点拨：

这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程＝速度×

时间，应根据题意，找出追击问题中的等量关系．

解析：

设普通快车的平均速度为

km／h，则直达快车的平均速度为1.5

km／h，依题意，得：

＝

，解得

　　　　　经检验，

是方程的根，且符合题意．

　　　　　∴当

时，

　　　　　即普通快车的平均速度为46km／h，直达快车的平均速度为69km／h．

列分式方程与列整式方程一样，注意找出应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列出方程．不同之处是：

所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义．

举一反三：

【变式1】一队学生去校外参观．他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍．若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间？

【答案】设步行速度为x千米／时，骑车速度为2x千米／时，依题意，得：

　　　　　　方程两边都乘以2x，去分母，得　　

　　　　　　30-15＝x，　　所以，x＝15．　　

　　　　　　检验：

当x＝15时，2x＝2×

15≠0，

　　　　　　所以x＝15是原分式方程的根，并且符合题意．

　　　　　　∵

，∴骑车追上队伍所用的时间为30分钟．

【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度．

【答案】设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为3x千米/小时，依题意，得：

　　　　　　解得　x＝15．

　　　　　　经检验x＝15是这个方程的解．

　　　　　　当x＝15时，3x＝45．

　　　　　　即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时．

轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米／时，求船在静水中的速度

此题的等量关系很明显：

顺水航行30千米的时间=逆水中航行20千米的时间，即

=

．设船在静水中的速度为

千米／时，又知水流速度，于是顺水航行速度、逆水航行速度可用未知数表示，问题可解决．

练习1：

轮船顺流航行120km所用时间是逆流航行50km所用时间的2倍，如果水流速度为2km/h,求轮船在静水中的速度。

练习2：

某人沿一条河顺流游泳l米，然后逆流游回出发点，设此人在静水中的游泳速度为xm/s,水流速度为nm/s,求他来回一趟所需的时间t。

（1）小芳在一条水流速度是0.01m/s的河中游泳，她在静水中游泳的速度是0.39m/s,而出发点与河边一艘固定小艇间的距离是60m,求她从出发点到小艇来回一趟所需的时间。

（2）志勇是小芳的邻居，也喜欢在该河中游泳，他记得有一次出发点与柳树间来回一趟大约用了2.5min，假设当时水流的速度是0.015m/s，而志勇在静水中的游泳速度是0.585m/s，那么出发点与柳树间的距离大约是多少？

练习课

15-66

2019年12月19日

1、改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种960棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种1/3，结果提前4天完成任务，原计划每天种多少棵数？

2、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种苹果，但这次的进价比试销时的进价每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍。

⑴试销时该品种苹果的进价是每千克多少元？

⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？

3、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。

已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。

4、一个批发兼零售的文具店规定：

凡一次购买铅笔300枝以上，（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下，（包括300枝）只能按零售价付款。

小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，

（1）这个八年级的学生总数在什么范围内？

（2）若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？

5、某广告公司将一块广告牌任务交给师徒两人，已知师傅单独完成时间是徒弟单独完成时间的

，现由徒弟先做一天，师徒再合作2天完成。

（1）师、徒两人单独完成任务各需几天？

（2）若完成后得到报酬540元，你若是部门经理，按个人完成的工作量计算报酬，该如何分配？

第十五章分式

分式方程

15-67

2019年12月20日

考点链接

1．理解分式方程的概念，掌握分式方程的解法，了解分式方程增根的定义．

2．会列分式方程解应用题．

◆典例精析

【例题1】解方程：

（1）

解：

（1）[解法一]去分母得x2+x（x+1）=（2x+2）（x+1）．

解得：

x=－

．经检验，原方程的解是x=－

[解法二]设y=

，原方程化为y+y－2=0．

y=－2或y=1．当y=－2时，

=－2，解得x=－

当y=1时，

=1无解．

经检验，原方程的解是x=－

（2）由原方程得：

去分母得：

（x－2）－（x2－4）=－4．

x=3或x=－2．

经检验，x=－2是增根（舍去）．

原方程的解为：

x=3．

评析：

解分式方程的一般方法为化整法（先去分母），特殊方程用换元法，牢记解后检验．

【例题2】甲、乙两地间铁路长2400km，经技术改造后列车实现了提速，提速后比提速前速度增加20km/h，列车从甲地到乙地行驶时间减少4h，已知列车在现有条件下安全行驶的速度不超过140km/h，请你用学过的数学知识，说明这条铁路在现有条件下是否还可以再次提速？

设提速后列车的速度为x（km/h）．

则：

=4，

x1=120，x2=－100（舍去）．

经检验：

x=120是原方程的解．

∵120<

140，∴仍可再提速．

答：

这条铁路在现有条件下仍可再次提速．

能否再次提速就是比较提速后的速度与140km/h的大小关系．可见阅读理解是解决实际应用问题的关键．

◆探究实践

【问题1】某公司有100台机电设备，将其分配给批发部和零售部，分别以批发价和零售价出售，批发部和零售部所分到的台数不同，但按预算销售后所得的销售额（销售所得的贷款）恰好相等．

批发部的经理对零售部的经理说：

“如果把你们分到的这批机电设备给我们卖可卖得160万元”，零售部的经理对批发部的经理说：

“如果把你们分到的那批机电设备给我们卖，可卖得360万元．”

请问零售部分配到的机电设备是多少台？

机电设备的零售单价是多少万元？

设零售部分配到的机电设备有x台．

由题意可得：

x·

整理得：

x2+160x－8000=0．

x1=40，x2=－200．

x1=40，x2=－200都是原方程的解，但机电设备台数不能为负数，x=－200应舍去．

∴x=40（台），零售单价为

＝6万元．

零售部分配到40台机电设备，机电设备的零售单价为6万元．

在应用问题中，方程的解还必须符合题意．也即是说满足、符合所有条件的解才是正确解．

【问题2】一城市出租车的收费标准如下表（x、N为正整数，里程数不足1km按1km记）．张叔乘出租车去公司办事，停车后，打出的电子收费单为“里程11km，应收29.1元，请付29元，谢谢！

”

（1）求基本价N．

（2）张叔办完事后，再用了22元钱坐出租车回家，请求出停车后，电子收费单上的里程数．

里程x（km）

0<

x≤3

3<

x≤6

x>

6

单价（元）

N

解题思路：

（1）由题意知出租车是分段记费，合成总费，根据这个实际情景，抓住各分段车费和为29.1元就可建立关于N的方程．

（2）由29.1元车费只收29元这个信息说明付费22元是将应收车费按四舍五入精确到个位产生的，因此可由应收车费不小于21.5元且小于22.5元列出关于里程数x的不等式．

（1）由题意得：

N+3×

+（11－6）×

=29.1，

N2－29.1N+191=0，解得：

N1=10，N2=19.1，

取整数N=10．

出租车基本价为每千米10元．

（2）设计费单上的里程数为x（km），由题意得

21.5≤10+3×

<

22.5，

7

，取整数x=8．

里程数为8km．