相遇问题Word下载.docx
《相遇问题Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《相遇问题Word下载.docx（20页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
小利早上从家步行去学校上学，如果每分钟行80米，将迟到4分钟，如果每分钟行100米就早到学校6分钟，小利家离学校有多远？
分析：
根据题意每分钟走80米，要迟到4分钟，可以这样理解：
他走到上课时间不再走下去，此时离学校还有80×
4=320（米），每分钟行100米就早到6分钟，可以理解为如果一直走到上课时间就要多走100×
6=600（米）两种走法的路程相差320+600=920（米）
在相同时间是第二种走法比第一种多走了920米，除以每分钟多走的就可求出这段时间是多少，也就是小利离家时与学校上课时之间相隔的时间。
解：
（1）小利离家时与学校上课时相隔的时间：
（80×
4+100×
6）÷
（100-80）
=920÷
20
=46（分）
（2）小利家离学校的距离：
80×
（46+4）
=80×
50
=4000（米）
或100×
（46-6）
=100×
40
答小利有离学校有4000米远。
例2：
一列火车从车头到车尾全长240米，以每秒15米的速度通过一座长600米的大桥，一共用了几秒？
从车头上桥到车尾离桥火车一共行的路程是火车的长度加上桥的长度。
（240+600）÷
15
=840÷
=56（秒）
答：
一共用了56秒。
例3：
小明在360米的环形跑道上跑了一圈，已知道他前一半时间每秒跑5米，后一半时间每秒跑4米，求他后一半路程用了多少秒？
小明前一半时间跑步的速度大于后一半时间跑步的速度，因此前一半时间跑步的路程大于一周的一半180米。
即在前半圈跑步的速度都是每秒5米，可求出前半圈所用的时间，只要求出跑一圈所用时间，问题就能解决了。
设跑一圈用x秒，那么列出相应的方程是：
5x÷
2+4x÷
2=360
2.5x+2x=360
4.5x=360
x=360÷
4.5
x=80
前一半路程所用时间是180÷
5=36（秒），所以后一半路程所用时间就是80-36=44（秒）
他后一半路程用了44秒。
例4：
一辆汽车，从甲地开往乙地，每分钟行525米，预计40分钟到达，但行到一半路程时，汽车发生故障，用了5分钟修理，如果仍需在预定时间到达，每分钟应比原来快多少？
根据题意可知，当行到全路程的一半时，所用时间是预定行完全程时间的一半，也就是40÷
2=20（分），要在预定时间内到，还需要行20分钟，由于修车用了5分钟，要在预定时间内到达，剩下的一半路程必须15分钟行完。
也可以理解为修车所用5分钟行的路程必须加到剩余时间15分钟上面。
方法一：
525×
40÷
2÷
（40÷
2-5）-525=175（米）
方法二：
5÷
2-5）=175（米）
每分钟应比原来快175米。
例5：
一架飞机最多能在空中飞行4.5时，飞出时速度为每时800千米，返回时速度每时为1000千米，问这架飞机（最多）飞出去多远就应该返回？
设飞出时所用时间为x时，返回时所用时间就是（4.5-x）小时。
800x=（4.5-x）×
1000
800x=4500-1000x
1000x+800x=4500
1800x=4500
X=2.5
800×
2.5=2000（千米）
这架飞机最多飞出2000千米就应该返回。
例6：
小王步行每小时6千米，骑自行车每小时行18千米，现在他从甲地到乙地骑车与步行走了同样的距离，返回时骑车和步行走了同样的时间。
已知返回时比去时少用40分钟，求甲、乙两地相距多少千米？
由于返回时步行和骑车的时间相同，骑车的速度是步行的3倍，因此骑车行的路程是步行路程的3倍。
因此可以做出下面的线段图：
在行AB这段路程时，骑车的速度是步行的3倍，那么步行所用时间是骑车的3倍，那么行AB这段路程骑车所用时间就是40÷
（3-1）=20（分钟），返回时骑车时间=20×
3=60（分钟）=1小时，这同样是返回时步行的时间。
（3-1）×
3=60（分钟）=1小时
1×
18+1×
6=24（千米）
甲、乙两地相距24千米。
例7：
小平与弟弟早晨7点同时从家出发到学校，小平每分钟走120米，弟弟每分钟走80米，小平到学校停了5分钟后发现忘记带课本，立即返回去取，途中正好遇见弟弟，这时是7点45分。
那么他们家离学校有多远？
从早晨7点到7点45分这段时间里，兄弟二人一共走了两个全程，但哥哥用的时间是45-5=40（分），弟弟用了45分。
[120×
（45-5）+80×
45]÷
=[120×
40+3600]÷
=8400÷
2
=4200（米）
他们家距学校有4200米。
练习：
1、一架飞机运送药品到地震灾区，原计划每分钟飞行9千米，现将速度提到到每分钟12千米，结果比原计划早到30分，问机场与目的地相距多少千米？
2、小红从家到学校，先用每分50米的速度走了2分钟，这时她发现这样走下去，上课就要迟到8分钟，于是加快速度以每分钟60米的速度前进，到校后发现提前了5分钟，求小红家到学校的距离？
3、唐老鸭先生去看音乐会，开车以每小时24千米速度前往，3小时可到达，当开车行了半小时后发现忘带入场券，以原带返回家里，这时发现时间有点晚了，它应以每小时多少千米的速度前进才能按时到达？
4、一列火车以每分钟800米的速度，通过一座长3200米的大桥，如果火车全长240米，从车头上桥到最后一节车厢离开大桥另一端，一共需要多少分钟？
5、小明站在铁路道口的一边，这时一列火车正好用了15秒经过，现在知道这列火车经过一座1200米的大桥用了75秒，那么这列火车的长度是多少米？
6、小李从甲地骑自行车到乙地去办事，每小时行15千米，回来时改乘汽车，每小时行45千米，这样比去时少用了１.8小时，求甲、乙两地间的路程。
7、甲、乙两地相距12千米，小明从甲地到乙地，前一半时间骑车，平均每分钟行360米，后一半时间步行，平均每分钟行120米，求他走后一半路程用了多长时间？
8、王师傅开车从A地向B地送货，空车返回时是去时速度的2.5倍，时间比去时少用了30分钟，那么他往乙地送货时用了多长时间？
9、一辆汽车从A城市开往B城市，往返共用了12小时，去时每小时比返回时每小时快8千米，返回时所用时间是去时所用时间的1.5倍，求这两个城市之间相距多少千米？
10、一个人驾驶一辆越野汽车要到沙漠中探险，所携带的汽油最多能用12小时，去时的速度是每小时80千米，返回时每小时行70千米，这辆汽车最多开多少千米就必须返回？
11、小刚和小强两人进行百米赛跑，发令枪响后两人同时起跑，当小刚跑到终点时，小强才跑了80米。
第二次小刚从起跑线向后退了10米，两人以原速度同时起跑，当小强跑到终点时小刚是否也到了？
12、一个越野车队准备用一天的时间穿越一片沙漠，计划上午比下午多走100千米，到达停车点用午餐，由于路况较差，中午勉强直到了一个居民点，只行驶了原计划路程的三分之一，过了这个居民点，又向前行了400千米，已是傍晚了，导游说，再走从据点到这里一半的路程就冲出沙漠了。
求他们走的这条路线有多远？
13、两辆汽车同时从某地出发到同一目的地，全程是165千米。
甲车比乙车早到0.8小时，当甲车到达目的地时，乙车离目的地还有24千米的路程，甲车行完全程用多少小时？
14、小张和小李骑车同时从甲地出发，向同一方向行进，小张每小时比小李多行4千米。
小张比小李早30分钟通过途中的乙地，当小李到达乙地时，小张又向前走了8千米，那么甲、乙两地间的路程是多少千米？
（二）追及问题
追及问题是指两个运动的物体，从不同的时刻开始，同向而行，快行者从后面追赶慢行者，目的在于随着时间的推移，不断缩小二者之间的路程差。
“追及距离”是指在相同时间内快行者比慢行者多行的路程，“速度差“是指在单位时间内快行者比慢行者多行的路程。
”“追及时间”是指快行者从出发到追赶上慢行者所用时间。
甲、乙二人分别从西村和东村同时向东而行，甲骑自行车每小时行14千米，乙步行每小时行5千米。
2小时后，甲追上乙。
求东西两村相距多少千米？
求东西两村相距多少千米，实际上就是甲追赶乙的追及距离，如下图所示：
（14-5）×
2=18（千米）或14×
2-5×
2=18（千米）
东西两村相距18千米。
在4点到5点之间，什么时候时针与分针的夹角成直角？
本题表面上看来与行程问题没有关系。
我们不妨这样考虑，分针每小时要旋转一周，也就是要旋转360度，那么它每分钟要旋转360÷
60=6度，可以把时针的速度理解为每分钟走6度。
时针一小时要旋转30度，那么一分钟就旋转30÷
60=0.5度。
可理解时针的速度为每分0.5度。
时针和分针成直角时有两种情况，一是时针与分针重合前，二是时针与分针重合后。
在4点时时针与分针的夹角是120度，要想第一次形成直角，两者间的夹角必须减少30度，也就是追及的路程是30°
，第二次形成直角是两针重合后分针又多转动90°
，那么实际上分针追及时针的路程就是120+90=210度。
时针每分钟转动0.5度，分针每分钟转动6度。
答案一：
（120-90）÷
（6-0.5）=5
（分）
答案二：
（120+90）÷
（6-0.5）=38
在4点5
分和4点38
分时时针与分针的夹角呈直角。
小明和爸爸绕一个周长为400米的跑道进行晨练，爸爸每分跑200米，小明每分跑160米，两人同时同地同向出发，问至少要经过几分钟两人才能相遇？
相遇时各跑几圈？
父子两人要想在环形跑道上相遇，爸爸必须比小明多跑一圈，因此此题属于追及问题的另外一种形式，即环形追及，每相遇一次快的比慢的都要多跑一圈。
（1）两人第一次相遇时间：
400÷
（200-160）=10（分）
（2）爸爸跑的圈数：
200×
10÷
400=5（圈）
（3）小明跑的圈数：
5-1=4（圈）
至少经过10分钟两人才能相遇。
相遇时爸爸跑了5圈，小明跑了4圈。
例4、甲、乙、丙三辆汽车都从A地到B地去，早上六点钟，甲、乙两车一起从A地出发，甲车每小时行50千米，乙车每小时行40千米。
丙车上午八点钟才从A地开出，到傍晚六点钟时，甲车与丙车同时到达B地，那么丙车在什么时候追上乙车？
由傍晚六点钟，甲车和丙车同时到达B地可知，甲、丙两车所行的路程是相等的，由此可求出丙车的速度。
然后依据乙车比丙车早出发2小时，可求出丙车追及乙车的路程，追及时间也就解决了。
（1）丙车的速度：
50×
12÷
（12-2）=60（千米）
（2）丙车追上乙所用时间：
40×
（60-40）=4（小时）
（3）丙车追上乙车的时刻：
8+4=12（时）
丙车在中午12时追上了乙车。
；
甲、乙丙三辆汽车同时从A地出发到B地去，甲车、乙车、丙车分别开出6小时、9小时、12小时追上了从A地出发到B地去同向行驶的丁车。
已知甲车每小时行40千米，乙车每小时行36千米，那么丙车每小时行多少千米？
根据题意画下面线段图，设甲追上丁车的地点为C，乙追上丁车的地点为D，丙追上丁车的地点为E。
×
CD实际是丁车9-6=3（小时）行的路程，可以求得丁车每小时行多少千米。
从D到E丁车又行了12-9=3（小时）那么就可求行丙车12小时一共行的路程。
（1）丁车的速度：
（36×
9-40×
（9-6）=28（千米）
（2）丙车12小时一共行的路程：
36×
9+28×
3=408（千米）
（3）丙车每小时行的千米数：
408÷
12=34（千米）
丙车每小时行34千米。
龟兔赛跑，全程2000米，乌龟每分爬25米，兔子每分跑325米，兔子自以为能得第一，于是就在途中睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有700米，兔子在途中睡了多长时间？
乌龟从开始起跑一直到终点没做任何停留，这段时间里既有兔子跑的时间又有它睡觉的时间，只有求出乌龟跑的时间，那么用它再减去兔子跑的时间，求出的就是兔子睡觉的时间。
2000÷
25-（2000-700）÷
325=76（分）
兔子在途中睡了76分。
A、B两地相距360千米，甲、乙两车同时从两地相对开出3小时后在途中相遇，如果两车分别从A、B两城向同一方向开出，那么经过15小时后，甲车就可以追上乙车，求甲、乙两车每小时各行多少千米？
已知总路程和相遇时间可以求出甲、乙两车的速度和。
依据两车分别从两城向同一方向开出15小时甲车追上乙车，可知甲车比乙车速度快，且追及的路程就是360千米，继而可以求出甲、乙两车的速度差，最后依据和差问题的解题方法求得甲、乙的速度分别是多少？
（1）甲的速度+乙的速度=360÷
3=120（千米）
（2）甲的速度-乙的速度=360÷
15=24（千米）
（3）甲的速度：
（120+24）÷
2=72（千米）
（4）乙的速度：
120-72=48（千米）
甲车每小时行72千米，乙车每小时行48千米。
1、兄弟二人由家向学校出发，弟弟步行每分走50米，哥哥骑自行车每分行200米，弟弟走了12分钟后，哥哥骑车去追，几分钟后能追上弟弟？
2、有甲、乙二人同时从东村出发到西村，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米，甲途中有事休息3小时，结果比乙迟到1小时，求东西两村的距离是多少千米？
3、甲每小时行8千米，乙每小时行10千米，两人同时同地同向而行，走了15分钟后乙发现忘了带学习材料，返回原地取了后再追甲，问几小时能追上甲？
4、小明每分走100米，小红每分走80米，两人同时同地向相反方向走去，5分钟后小明转向追小红，问小明追上小红时，两人各走了多少千米？
5、在2点和3点之间，什么时候时针和分针在同一条线上成平角？
6、一个长方形跑道长150米，宽60米，王丽和杨乐同时从一个顶点同向起跑，王丽每分跑500米，杨乐每分钟跑450米，两人第一次相遇时各跑了多少米？
7、如右图所示，甲、乙二人沿边长120米的正方形跑道练习长跑，都按逆时针方向，甲从A出发每分跑450米，乙从B出发每分跑480米，当乙第二次追上甲时，应在正方形的哪条边上？
8、一列普通客车以每小时80千米的速度在上午九时由甲城开往乙城。
一列快车以每小时120千米的速度在上午一时整也由甲城开往乙城。
为了保证行车的安全，列车间的距离不应当少于8千米，普通客车最晚在什么时候在某站停车让快车通过？
9、甲、乙、丙三个人，甲每分钟走40米，乙每分钟走45米，两每分钟走50米，甲、乙二人同时从A地到B地去，与此同时丙从B地到A地，丙遇到乙后10分钟又遇到甲，那么A、B两地相距多少米？
10、甲、乙二人在长900米的环形跑道上练习竞走。
两人同时出发时甲在乙的后面，出发6分钟后甲第一次追上乙，两人走到第24分钟时，甲第二次超过乙，如果两人的速度始终没有改变，问刚开始出发时甲乙两人相距多少米？
11、狮子和小熊赛跑，狮子用了1分钟跑了500米，见小熊落在后面，它想：
反正差一半路程就到终点了，先玩10分钟也不迟。
“扑通”它跳到路边的池塘里玩水去了，小熊仍然以每分100米的速度往前跑，他俩谁先到达终点？
早几分？
12、上午8点多两辆汽车先后离开甲地向乙地开去，两车的速度都是每小时60千米，在8点31分时，第一辆车离开甲地的距离是第二辆车离开甲地距离的3倍，到8点40分时，第一辆车离开甲地的距离是第二辆车的2倍，求第一辆车是在8点多少分时离开甲地的？
13、甲、乙两车从A地先后出发到B地，两车速度相同，现在甲车在此乙车的前方，乙车距A地40千米，如果乙车到达甲车现在的位置时，那么甲车离A地180千米，求现在甲车离A地有多少千米？
（三）相遇问题
相遇问题是指两人（物体）在行进过程中方向相反，然后迎面相遇的问题。
考虑的是相同时间内两人（物体）所行的路程和。
此类题目内容十分丰富，综合性比较强，往往不孤立存在。
解题的方法和手段也是多种多样。
关键在于能否正确、合理、灵活地应用路程、速度和时间三个量间的动态变化规律。
甲、乙两车分别从相距450千米的A、B两地相对开出，甲车行完全程要6小时，乙车行完全程要9小时，两车相遇时距B地有多少千米？
“要求相遇距B地有多少千米”，实际就是求相遇时乙车行了多少千米。
我们可以先求出两车的相遇时间，也就是乙车从事出发到相遇时所行的时间。
也可以根据路程、速度、时间三者之间的关系得知，当两车行的时间相同时，甲的速度是乙的多少倍，甲行的路程也是乙的多少倍来解决问题。
解法一：
（1）甲的速度是：
450÷
6=75（千米）
（2）乙的速度是：
9=50（千米）
（3）甲乙两车的相遇时间：
（75+50）=3.6（小时）
（4）相遇时乙车行的路程：
3.6=180（千米）
解法二：
（1）甲的速度：
（3）甲的速度是乙速度的：
75÷
50=
相遇时甲行的路程是乙行路程的
，也就是把全程平均分成5份，相遇时甲行了3份，乙行了2份。
（4）相遇时乙行的路程：
（3+2）×
2=180（千米）
两车相遇时距B地有180千米。
希望小学的402名同学去科技馆参观，排成两路纵队步行，相邻两排前后相距0.6米，队伍以每分钟50米的速度行进。
一位老师有事从排头立即返回排尾，他的速度是每分走100米，那么他从队伍的排头走到排尾一共要用多长时间？
（1）这位老师和排尾同学的速度和：
50+100=150（米/分）
（2）队伍的全长：
（402÷
2-1）×
0.6=120（米）
（3）老师与排尾同学们相遇时间：
120÷
（50+100）=0.8（分）
这位老师从队伍的排头走到排尾一共要用0.8分。
小明和小平两人到游泳池去游泳，两人分别从游泳池的左岸和右岸同时出发，相向而游。
两人第一次相遇是距游泳池左岸40米，第二次相遇时距游泳池右岸20米，求这个游泳池左右两岸相距多少米？
小明和小平第一次相遇时，两人合行了一个全程，第一次的相遇点距左岸40米，实际告诉我们，两人合游一个全程，小明游了40米。
当第二次相遇时，两人合游了三个全程，那么小明从开始游到第二次两人相遇一共游了40×
3=120米，减去从右岸向左岸的距离20米就是这个游泳池左右两岸间的距离。
3-20=100（米）
这个游泳池左右两岸相距100米。
小平和小利同时从A、B两地相向而行，经过30分钟后两人在途中相遇，两人相遇后仍然以原来的速度行进，两人分别到达对方出发地后立即返回，小利从到达A地到第二次与小平相遇，用了25分钟，问小利从B地到A地需要多少分钟？
由题意可知，小平和小利两人合行完AB两地间的路程时小利用了30分钟。
第二次相遇时，两人一共行的路程是AB两地路程的3倍，因此小利行了30×
3=90（分钟），又知“小利到达A地后第二次与小平相遇用了25分钟”，所以小利从B地到A地需要的时间就是90-25=65（分钟）
30×
3-25=65（分钟）
小利从B地到A地需用65分钟。
现在一列普通客车和一列快速列车同时从A、B两站出发，6小时后在途中相遇，这里普通客车离B站还有720千米，已知快车行完全程要10小时，两车到站后，快车停留了1小时，普通客车停留了1.5小时，从第一次相遇到返回途中再相遇，一共经历了多长时间？
根据题意可知，从第一次两车在途中相遇到第2次两车在途中再相遇，两车一共行的路程是A、B两地间路程的2倍，由第一次相遇时普通客车离B站还有720千米，可以求出快车每小时行720÷
6=120（千米），接着可以求出A、B两地间的距离就是120×
10=1200（千米），那么普通客车的速度就是（1200-720）÷
6=80（千米）。
假设两车到站后都不做停留，那么从第一次相遇到第二次相遇一共行的路程就是两个AB间的距离，加上快车1小时行的和普通客车1.5小时行的路程，那么所行的时间也就解决了。
（1）快速列车的速度：
720÷
6=120（千米）
（2）A、B两地间的距离：
120×
10=1200（千米）
（3）普通客车的速度：
（1200-720）÷
6=80（千米）
（4）从第一次相遇到第二次相遇所行的时间：
（1200×
2+120×
1+80×
1.5）÷
（120+80）
=（2400+240）÷
200
=2640÷
=13.2（小时）
从第一次相遇到返回途中再相遇，一共经历了13.2小时。
假设甲、乙间的距离为a米。
小明和小华两人第一次相遇时，小华行的路程是（a+100）米，他从甲出发到追上小明所行路程应是（3a+300）米，这时小明所行路程是第一次相遇时所行路程的3倍。
同理小明被小华追上时所行路程（a+300）米，也是两人第一次相遇时，他所行路程（a-100）米的3倍。
由此可得：
a+300=（a-100）×
3，求得a的值，就是求得甲、乙两站间的距离。
设甲、乙两站间的距离为a米，那么乙丙两站间的距离也是a米。
（a-100）×
3=a+300
3a-300=a+300
2a=600
a=300
甲、乙两站间的距离是300米。
在一个环形跑道上，小明从A点，小强从B点同时出发反向而行，如下图所示。
6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟，小明到达B点，再过8分钟，小明与小强两次相遇，求小明环行一周要多少分钟？
小明走4分钟的路程，相当于小强走6分钟的路程，从他们两人第一次相遇，至两次相遇，小明走了4+8=12（分），那么小强同样走了12分钟，但是小强走的只相当于小明8分钟行的路程。
两人从第一次相遇到第二次相遇时，一共走了一圈路程，因此小明走一圈的路程就是12+8=20（分）
4+8+8=20（分）
小明环行一周要用20分钟。
1、甲、乙两车从相距470千米的两城相向而行，甲车每小时行38千米，乙车每小时行40千米，乙车先出发2小时，甲车才出发，甲车开出几小时后与乙车相遇？
2、甲、乙两人同时从A、B两地相对而行，甲每小时行12千米，乙每小时行10千米，两人在距中点3
升级会员 