FM理论基础.docx
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FM理论基础
FM理论基础
看下面的两个式子：
式子1：
式子2：
他们都是正弦形式的波形，他们的瞬时振幅A与他们的最大振幅a、频率w、时间t都有关系。
式子1和式子2分别有不同的最大振幅a1、a2，频率w1、w2，所以他们的瞬时振幅也不同，分别是A1和A2。
之后我们使用第二个波形的振幅（也就是第二个式子代表的波形）来调制第一个波形的振幅（式子1），可以写成下面的式子3：
式子3：
如果用第二个波形的振幅来调制第一个波形的频率会怎么样？
就变成了式子4那样。
式子4：
仔细对比式子3和式子4，差不多一样，只是A2变了个位置，式子3里A2用来调制式子1的振幅，这叫做振幅调制，而式子4里A2用来调制式子1的频率，这就是频率调制了。
如果用图来表示，就是下图那样，式子1发出的波形可以看作是一个振荡器（audioFrequencyoscillator）发出的波形，上面的图（Figure1）用式子2来调制式子1的振幅（振幅可以看作是一个压控放大器voltagecontrolledamplifier）这就是振幅调制，而下面的图（Figure2）表示式子2直接调制式子1的频率，这就是频率调制了。
之后我们将式子4里面的A2带成A2自己的形式，于是得到式子5（请仔细看，和式子4表示的一样）：
式子5：
FM简单说来就是非常快的震颤
看下图（Figure3），表示了一个被调制源（就是FM7里面的调制器）震来颤去的波形（FM7里的载波器，前面咱们讲过的，谢天谢地你还记得），仔细看红色的波形（一定要仔细看），比较稀的地方是颤音里的低音部分，比较密的地方就是颤音里的高音部分了。
我们图中演示的调制器的频率远远低于载波器的频率，所以这时声音听起来变成了颤音。
那么当调制器的频率慢慢增加，接近、等于继而超过载波器的频率后会发生什么？
为了清楚的说明这个问题，我们将没有经过调制的载波器的波形放大，放大到大约一个震动周期的八分之一，就是下图（Figure4）那样。
之后我们给这个载波器加上一个调制器，调制器使用几倍与载波器的频率，看下图（Figure5），载波器产生了大约7个弯曲，因为我们截取的是一个震动周期的八分之一，所以一个震动周期里产生了7X8大约60个左右的弯曲，这时反对声音就不是颤音了，那声音又变成了什么样呢？
无处不在的边带（SideBands）
我们再返回来看式子5，里面的w2（调制器的频率）和a2（调制器的最大振幅）在起作用。
JohnChowning发现FM就像AM一样都会发生边带，也就是波形额外的部分，在输出信号的频率光谱上和载波器、调制器的频率完全没有关系。
我们来看看FM是如何产生边带的。
假设我们有一个正弦波的载波器，频率为Wc，还有一个频率为Wm的调制器，见上图（Figure6）。
与AM只发生两侧的边带（Wc+Wm）和（Wc-Wm）所不同的是，FM产生了一系列的边带，可以表示为式子6：
式子6：
Wsb是FM产生的边带频率，实际上Wsb是一系列的数，因为n可以取任意的整数（0、1、2、3、4……）。
每个边带平均分布在Wc（载波器频率）的两侧，分别是Wm（调制器频率）的任意整数倍。
可以看到是调制器决定了边界的产生位置。
理论上说n可以取无限的整数，也就是当调制器对一个载波器进行调制时会产生无穷级数的边带，但是在实际应用中不可能有能够产生无穷级数的设备，所以边带的值都被制造商限制在他们认为有意义的数里面了。
下图（Figure7）形象的表示了边带的发生。
我们知道边带产生的位置了，那么边带的振幅又是怎么样的呢？
取决于a2。
我们引入一个新的概念--调值指数，或者直接称之为β值。
（注意是拉丁字母β，念作贝塔）
我们将β定义为载波器扫过的频率（变化了的频率）与调制器的频率的比值，就是式子7：
式子7：
这个式子理解起来可能困难一些，要用到一些非常恐怖的数学公式，我们举个例子来说明一下。
比如我们假定调值指数在0.1以下，边带的频率会非常接近载波器的频率，而且振幅较小，其他的边带都基本上没有振幅了，所以只剩下了一个边带。
见上图（Figure9）。
如果调制指数在5左右，那么会产生一系列的边带，而且频谱比较复杂，振幅有高有低。
见下图（Figure10）。
其实在调值指数为5时，边带不只6个，只是太多了画不过来。
再仔细看上图（Figure10），没发现载波器的振幅（蓝线）变小了吗？
哈哈真是奇怪，实际上取某个调值指数还能让载波器频率完全消失呢！
比如说你感觉Figure10里那个声音就是你想要的音色，你想像传统那样在键盘上从低音到高音弹出这个音色，这就取决于载波器和调制器在每个琴键上都平等的工作以便边带之间的谐波关系始终不变。
但是让我们再回到式子7，式子7决定了一旦调制频率增加，那么调制指数就要下降。
好比你由低到高弹一个八度，Wm增长了一倍，而β值变成了一半，那么声音可就全变了。
为了避免光谱的改变，调制振幅也要成比例的增加--也变成以前的一倍，这样β值就会保持不变了。
这实现起来并不难，用上图（Figure11）里的设备就可以实现。
这个东西看起来似乎不能很准确的校准，但实际上完全没问题。
FM与滤波器
让咱们继续，先说说带宽（bandwidth）的问题，其实在式子6里面已经涉及到他了。
上一讲提到的式子6，还没有忘吧：
当时我说了，理论上边带一直向两个方向延伸（因为n可以取任意的整数值），但实际应用上不可能实现无限的边带，也就是说带宽不可能是无限的，那么在现实的应用里FM的信号到底是什么样子的呢？
带宽就是波形发生后，波形所占据的频率范围。
比如说一个非常精确的100Hz的正弦波，他的带宽基本上可以忽略不计，但是如果我们给这个正弦波加上一个200Hz的谐波，那么这个正弦波就会产生100Hz的带宽。
同样的一个信号如果占用了100Hz到1500Hz，那么他的带宽就是1400Hz。
让我们带着这个概念来看看FM的输出。
假设载波器是一个500Hz的正弦波，调制器是一个300Hz的正弦波，你将他们使用调音台简单的混合在一起，使用上面的理论，那么他的带宽应该是200Hz。
如果我们用振幅调制的观念来看，他的三个特殊成分分别是Wc、Wc+Wm、Wc-Wm，那么数值应该分别是500Hz、800Hz、200Hz。
所以由此看来带宽又应该是最低频率与最高频率的差值：
600Hz。
那么FM信号的带宽是怎么样的？
虽然理论上说边带是无限的，但是调制指数使得n在取到比较大的数值之后的振幅可以忽略不计了。
这里有一个凭着经验得出的公式，这就是式子8：
式子8：
B表示被调制的带宽，Wm是调制频率，β是调制指数。
还是举上面的例子，假设载波器是一个500Hz的正弦波，调制器是一个300Hz的正弦波，β是一个很小的数（近似于0），那么带宽应该是2X300HzX（1+0）=600Hz。
所以说当β比较小时，带宽可以近似等于振幅调制的带宽。
但是如果β变大了，比如说β=5时，这时的带宽就是2X300HzX（1+5）=3600Hz。
很明显，β越大，带宽就越宽，FM信号就越复杂。
看下图（Figure12），红线表示带宽的宽度，蓝线表示输出中的特殊成分，看到了吧信号简单的混合的带宽最窄，振幅调制和当β=0.1（很小）频率调制拥有差不多宽的带宽，而β=5时的频率调制的带宽最长。
注意到特殊成分了吗？
β=5时的频率调制足足有24个离散的特殊成分（蓝线），想知道为什么吗？
我们下一讲再解释这个复杂的问题，毕竟这一讲我们的重点在FM的滤波问题上。
在减法合成器里，音量的变化通常都要使用振幅包络发生器，同样的任何音调的改变都要使用滤波器的截止频率包络发生器。
在FM里面，音量的变化同样由声音信号的音量包络决定，但是音调的改变却再也不需要滤波器。
因为调制器的振幅决定着输出信号的带宽，请看上图（Figure13）。
当图中的EG2（EnvelopGenerator包络发生器）使得VCA2（压控放大器）减小时，输出的振幅也减小了，也就是说输出的声音变的越来越小。
同时呢EG1的增加使得由VCO1（压控振荡器）带动的调制信号的最大振幅也增加了。
也就是说调制指数变大了，带宽更宽了，由此声音变的越来越明亮（这和自然生活里音量越大声音越明亮的现实完全相反）。
这样就会使声音的声调改变了，也许你还不甘心，非要使用滤波器来改变声音的音调，虽然为声音加上一个低通滤波器会使声音的声调改变，但是遇到频率调制的音色，滤波器会显得无能为力。
边带的振幅
OK经过前面的学习，我们对FM的合成方法基本上有了大致的了解了，但是你想在FM合成器（FM7或者是YAMAHA的DX系列）或是模块化的模拟合成器上弄出点好听的音色来，远比弄出一些奇怪的噪音要难的多。
因为我们还不了解边带和载波器之间的关系，这一讲我要告诉你如何控制边带的振幅，这非常有趣，好了咱们开始吧！
我们已经知道FM信号里边带的频率是如何分布的了（前面讲过的），复习一下，是载波器加或减去整数倍的调制器频率，见式子1：
式子1：
我们再引入一个新的概念，就是载波器频率与调制器频率的比值，载波器是Carrier，调制器是Modulator，所以我们简称为C：
M比率。
这个理解起来很简单，比如载波器是100Hz，调制器是200Hz，那么C：
M比率就是1：
2。
那么我们再看式子1，不管载波器的频率是多少，向上排列的边带就是C+M、C+2M、C+3M、C+4M……，向下排列的边带就是C-M、C-2M、C-3M、C-4M……。
假设C：
M比率是1：
1，那么也就是说载波器是1，向上的边带分别是2、3、4……，向下的边带就是0、-1、-2、-3、-4……。
我们给一个具体的数值，比如载波器和调制器都是100Hz（C：
M比率就是1：
1），向上的边带就是200Hz、300Hz、400Hz……。
这就是一个理想的100Hz的波形的谐波级数，换句话说1：
1的C：
M比率产生了一个谐波级数不管载波器的频率是多少。
但是向下的边带又是怎样的呢？
应该是0Hz、-100Hz、-200Hz、-300Hz……。
左右边带频率的位置都一样，而且声相相反，我们又知道异相信号会互相抵消，见下图。
所以1：
1的比率会造成100Hz与-100Hz抵消，200Hz与-200Hz抵消，一直抵消下去。
那我们可怎么计算边带的振幅呢？
使用贝塞尔函数（BesselFunctions）！
！
贝塞尔函数是特殊函数中应用最广泛的一种函数（就像我们熟知的π=3.1415926一样），他在理论物理研究、应用数学、大气科学以及无线电等工程领域都有广泛的应用（如果您想详细了解贝塞尔函数，建议您拜读奚定平写的《贝塞尔函数》一书），在FM领域贝塞尔函数也非常重要。
如果咱们知道了调制指数，你就可以通过贝塞尔函数计算出任何频谱成分的振幅。
贝塞尔函数看起来有些难度，不过我还是希望你能坚持看完，最好不要跳过这些有趣（还是恐怖？
）的数学知识。
我们定义载波器（简称为C）为你调制的信号的零点成分，那么C+M和C-M就是第一成分，C+2M和C-2M就是第二成分，C+3M和C-3M以此类推。
现在我可以告诉你每对边带的振幅就可以用贝塞尔函数的n值计算，使用下面的式子2：
式子2：
J（n）（β）就是当调制指数为β时的第n个贝塞尔函数，k是从0到正无穷的整数，k后面的感叹号表示k的阶乘（阶乘的意思就是假如k=3，那么k！
=3X2X1=6，当k=5时，k！
=5X4X3X2X1=120，注意0！
≠0，而是=1），Σ表示k从0开始取值，一直加到k=正无穷时的值的和。
别看他这么复杂，其实在你使用FM合成器时你无时无刻不在使用着这个式子，在你使用模拟合成器的交叉调制（CrossModulation）时也是这个式子在起作用，实际上交叉调制就是频率调制的另一个名字。
我们还是使用贝塞尔函数计算振幅吧，假设调制指数β为0.1，那么要计算载波器零点成分的振幅，n就等于0，之后我们要分、分步计算，先把k作为0带入（见式子3），再计算第二部分的数值k就代为1（见式子4）。
式子3：
式子4：
当然你还可以继续计算第三部分（k=2）第四部分（k=3）等的振幅，那么你会发现数值越来越小，可以说是非常小了，按理说我们要一直算到k等于正无穷时才可以，显然第三部分后面的微小数值我们都可以省略不算了。
我们将第一部分、第二部分、第三部分相加，最后的结果就是调制指数为0.1时，载波器零点成分的振幅，振幅的数值近似等于1。
OK我们继续计算边带的振幅，这时n就要等于1了，调制指数不变依然是0.1，之后分步计算，先让k=0计算出一个数值，然后计算k=1、k=2……时的数值，最后将他们相加，就得出了C+M和C-M的边带。
之后重复以上的步骤，只不过n变成了2，得出的是C+2M和C-2M的边带。
一直增加n的数值计算下去。
如果你有耐心你就算下去吧，直到地球爆炸……。
数学家不容易当吧，按照上面的做法真的是要累死，幸好我们有电脑啊！
微软的Excel可以帮助我们计算不同调制指数下的贝塞尔函数。
你可以看看下面几个不同调制指数下使用Excel制作出的图片，深蓝色是零点成分的振幅，绿色是周围边带的振幅。
调制指数为0时的振幅（自然没有边带产生）：
调制指数为0.1时的振幅：
调制指数为0.5时的振幅：
调制指数为1时的振幅：
调制指数为2时的振幅：
调制指数为5时的振幅：
注意看上图，调制指数为5时，零点成分变成负的了，就是说那部分的声音反相了。
再看一眼上面在1：
1的CM比下调制指数为1时的振幅。
载波器的振幅，也就是零点成分基本上保留了他原始的高度。
载波器右侧的振幅是2C、3C、4C和5C的谐波级数，它的左侧的第一个振幅是一个重要成分，这里是0Hz点（C是100Hz，M也是100Hz，所以C-M=0Hz，你可以把他当作是DC直流电点，因为在这一点震荡频率为零），在这个0点之后左侧分别是-C、-2C和-3C，那么他们就相当于反相位的C、2C和3C，请看下图（Figure8）：
正反频率可以表示为-->正频率+反相位的负的负频率（或者说减去负频率）=最后结果
如果我们忽略DC直流电（震荡频率为零的那个点），最后结果里的频谱包含了载波器的所有泛音。
（只有1：
1的CM比率是这样的），看最后结果的图像就像1/n谐波级数，他听起来就像锯齿波。
我们再来讨论当CM比率为1：
2调制指数为1时的情况，这时载波器左右的边带分别就是C、3C、5C、7C……和-C、-3C、-5C、-7C……。
他的图像和1：
1时差不多，这时的声音听起来就像方波。
那么当CM比为1：
3、1：
4这些整数的时候呢？
1：
3时边带分别是4C、7C、10C……和-2C、-5C、-8C……，1：
4时则是5C、9C、11C……和-3C、-7C、-11C……。
声音听起来都近似于方波。
顺便解释一下上一讲里留的一个“扣子”，为什么在3600Hz的带宽下有24个特殊成分，信号里有10个右侧边带，1个载波器，1个可以忽略的左侧边带（DC直流电点）和12个左侧边带，一共就是24个了。
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