第 6 章 图Word文档下载推荐.docx

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【解答】前序，栈，层序，队列

⑻对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal算法求最小生成树的时间复杂度为（）。

【解答】Ｏ（n2），Ｏ（elog2e）

【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；

Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。

⑼如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。

【解答】回路

2.选择题

⑴在一个无向图中，所有顶点的度数之和等于所有边数的（）倍。

A1/2B1C2D4

【解答】C

【分析】设无向图中含有n个顶点e条边，则

。

⑵n个顶点的强连通图至少有（　　）条边，其形状是（）。

AnBn+1Cn-1Dn×

（n-1）

E无回路　　　F有回路　　G环状　　　H树状

【解答】A，G

⑶含n个顶点的连通图中的任意一条简单路径，其长度不可能超过（）。

A1Bn/2Cn-1Dn

【分析】若超过n-1，则路径中必存在重复的顶点。

⑷对于一个具有n个顶点的无向图，若采用邻接矩阵存储，则该矩阵的大小是（）。

AnB（n-1）2Cn-1Dn2

【解答】D

⑸图的生成树（　　），n个顶点的生成树有（）条边。

A唯一　　　　B不唯一　　　C唯一性不能确定

DnEn+1Fn-1

【解答】C，F

⑹设无向图G=（V,E）和G'

=（V'

E'

），如果G'

是G的生成树，则下面的说法中错误的是（）。

AG'

为G的子图BG'

为G的连通分量

CG'

为G的极小连通子图且V=V'

DG'

是G的一个无环子图

【解答】B

【分析】连通分量是无向图的极大连通子图，其中极大的含义是将依附于连通分量中顶点的所有边都加上，所以，连通分量中可能存在回路。

⑺G是一个非连通无向图，共有28条边，则该图至少有（）个顶点。

A6B7C8D9

【分析】n个顶点的无向图中，边数e≤n（n-1）/2，将e=28代入，有n≥8，现已知无向图非连通，则n=9。

⑻最小生成树指的是（）。

A由连通网所得到的边数最少的生成树

B由连通网所得到的顶点数相对较少的生成树

C连通网中所有生成树中权值之和为最小的生成树

D连通网的极小连通子图

⑼判定一个有向图是否存在回路除了可以利用拓扑排序方法外，还可以用（）。

A求关键路径的方法　　　B求最短路径的方法

C广度优先遍历算法　　　D深度优先遍历算法

【分析】当有向图中无回路时，从某顶点出发进行深度优先遍历时，出栈的顺序（退出DFSTraverse算法）即为逆向的拓扑序列。

⑽下面关于工程计划的AOE网的叙述中，不正确的是（）?

br/>

A关键活动不按期完成就会影响整个工程的完成时间

B任何一个关键活动提前完成，那么整个工程将会提前完成

C所有的关键活动都提前完成，那么整个工程将会提前完成

D某些关键活动若提前完成，那么整个工程将会提前完

【分析】AOE网中的关键路径可能不止一条，如果某一个关键活动提前完成，还不能提前整个工程，而必须同时提高在几条关键路径上的关键活动。

3.判断题

⑴一个有向图的邻接表和逆邻接表中的结点个数一定相等。

【解答】对。

邻接表和逆邻接表的区别仅在于出边和入边，边表中的结点个数都等于有向图中边的个数。

⑵用邻接矩阵存储图，所占用的存储空间大小只与图中顶点个数有关，而与图的边数无关。

邻接矩阵的空间复杂度为Ｏ（n2），与边的个数无关。

⑶图G的生成树是该图的一个极小连通子图

【解答】错。

必须包含全部顶点。

⑷无向图的邻接矩阵一定是对称的，有向图的邻接矩阵一定是不对称的

有向图的邻接矩阵不一定对称，例如有向完全图的邻接矩阵就是对称的。

⑸对任意一个图，从某顶点出发进行一次深度优先或广度优先遍历，可访问图的所有顶点。

只有连通图从某顶点出发进行一次遍历，可访问图的所有顶点。

⑹在一个有向图的拓扑序列中，若顶点a在顶点b之前，则图中必有一条弧。

只能说明从顶点a到顶点b有一条路径。

⑺若一个有向图的邻接矩阵中对角线以下元素均为零，则该图的拓扑序列必定存在。

参见第11题的证明。

⑻在AOE网中一定只有一条关键路径?

AOE网中可能有不止一条关键路径，他们的路径长度相同。

4．n个顶点的无向图，采用邻接表存储，回答下列问题?

⑴图中有多少条边？

⑵任意两个顶点i和j是否有边相连？

⑶任意一个顶点的度是多少?

【解答】

⑴边表中的结点个数之和除以2。

⑵第i个边表中是否含有结点j。

⑶该顶点所对应的边表中所含结点个数。

5．n个顶点的无向图，采用邻接矩阵存储，回答下列问题：

⑶任意一个顶点的度是多少？

⑴邻接矩阵中非零元素个数的总和除以2。

⑵当邻接矩阵A中A[i][j]=1（或A[j][i]=1）时，表示两顶点之间有边相连。

⑶计算邻接矩阵上该顶点对应的行上非零元素的个数。

6．证明：

生成树中最长路径的起点和终点的度均为１。

【解答】用反证法证明。

设v1,v2,…,vk是生成树的一条最长路径，其中，v1为起点，vk为终点。

若vk的度为2，取vk的另一个邻接点v，由于生成树中无回路，所以，v在最长路径上，显然v1,v2,…,vk,v的路径最长，与假设矛盾。

所以生成树中最长路径的终点的度为1。

同理可证起点v1的度不能大于1，只能为1。

7．已知一个连通图如图6-6所示，试给出图的邻接矩阵和邻接表存储示意图，若从顶点v1出发对该图进行遍历，分别给出一个按深度优先遍历和广度优先遍历的顶点序列。

【解答】邻接矩阵表示如下：

深度优先遍历序列为：

v1v2v3v5v4v6

广度优先遍历序列为：

v1v2v4v6v3v5

邻接表表示如下：

8．图6-7所示是一个无向带权图，请分别按Prim算法和Kruskal算法求最小生成树。

【解答】按Prim算法求最小生成树的过程如下：

按Kruskal算法求最小生成树的过程如下：

9．对于图6-8所示的带权有向图，求从源点v1到其他各顶点的最短路径。

【解答】从源点v1到其他各顶点的最短路径如下表所示。

源点终点最短路径最短路径长度

v1v7v1v77

v1v5v1v511

v1v4v1v7v413

v1v6v1v7v4v616

v1v2v1v7v222

v1v3v1v7v4v6v325

10．如图6-9所示的有向网图，利用Dijkstra算法求从顶点v1到其他各顶点的最短路径。

v1v3v1v315

v1v5v1v515

v1v2v1v3v225

v1v6v1v3v2v640

v1v4v1v3v2v445

11．证明：

只要适当地排列顶点的次序，就能使有向无环图的邻接矩阵中主对角线以下的元素全部为0。

【解答】任意n个结点的有向无环图都可以得到一个拓扑序列。

设拓扑序列为v0v1v2…vn-1，我们来证明此时的邻接矩阵A为上三角矩阵。

证明采用反证法。

假设此时的邻接矩阵不是上三角矩阵，那么，存在下标i和j（i>

j），使得A[i][j]不等于零，即图中存在从vi到vj的一条有向边。

由拓扑序列的定义可知，在任意拓扑序列中，vi的位置一定在vj之前，而在上述拓扑序列v0v1v2…vn-1中，由于i>

j，即vi的位置在vj之后，导致矛盾。

因此命题正确。

12.算法设计

⑴设计算法，将一个无向图的邻接矩阵转换为邻接表。

【解答】先设置一个空的邻接表，然后在邻接矩阵上查找值不为零的元素，找到后在邻接表的对应单链表中插入相应的边表结点。

邻接矩阵存储结构定义如下：

constintMaxSize=10;

template

structAdjMatrix

{

Tvertex[MaxSize];

//存放图中顶点的数组

intarc[MaxSize][MaxSize];

//存放图中边的数组

intvertexNum,arcNum;

//图的顶点数和边数

};

邻接表存储结构定义如下：

structArcNode//定义边表结点

{

intadjvex;

//邻接点域

ArcNode*next;

structVertexNode//定义顶点表结点

Tvertex;

ArcNode*firstedge;

structAdjList

VertexNodeadjlist[MaxSize];

具体算法如下：

⑵设计算法，将一个无向图的邻接表转换成邻接矩阵。

【解答】在邻接表上顺序地取每个边表中的结点，将邻接矩阵中对应单元的值置为1。

邻接矩阵和邻接表的存储结构定义与上题相同。

⑶设计算法，计算图中出度为零的顶点个数。

【解答】在有向图的邻接矩阵中，一行对应一个顶点，每行的非零元素的个数等于对应顶点的出度。

因此，当某行非零元素的个数为零时，则对应顶点的出度为零。

据此，从第一行开始，查找每行的非零元素个数是否为零，若是则计数器加1。

⑷以邻接表作存储结构，设计按深度优先遍历图的非递归算法。

【解答】参见6.2.1。

⑸已知一个有向图的邻接表，编写算法建立其逆邻接表。

【解答】在有向图中，若邻接表中顶点vi有邻接点vj，在逆邻接表中vj一定有邻接点vi，由此得到本题算法思路：

首先将逆邻接表的表头结点firstedge域置空，然后逐行将表头结点的邻接点进行转化。

⑹分别基于深度优先搜索和广度优先搜索编写算法，判断以邻接表存储的有向图中是否存在由顶点vi到顶点vj的路径（i≠j）。

【解答】⑴基于深度优先遍历：

⑵基于广度优先遍历：

学习自测及答案

1．某无向图的邻接矩阵A=

，可以看出，该图共有（）个顶点。

A3B6C9D以上答案均不正确

【解答】A

2．无向图的邻接矩阵是一个（），有向图的邻接矩阵是一个（）

A上三角矩阵B下三角矩阵C对称矩阵D无规律

【解答】C，D

3．下列命题正确的是（）。

A一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示也唯一

B一个图的邻接矩阵表示是唯一的，邻接表表示不唯一

C一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示是唯一

D一个图的邻接矩阵表示不唯一的，邻接表表示也不唯一

4．十字链表适合存储（），邻接多重表适合存储（）。

【解答】有向图，无向图

5.在一个具有n个顶点的有向完全图中包含有（）条边：

An（n-1）/2Bn（n-1）Cn（n+1）/2Dn2

6．n个顶点的连通图用邻接矩阵表示时，该矩阵至少有（）个非零元素。

【解答】2（n-1）

7．表示一个有100个顶点，1000条边的有向图的邻接矩阵有（）个非零矩阵元素。

【解答】1000

8．一个具有n个顶点k条边的无向图是一个森林（n>

k），则该森林中必有（）棵树。

　Ak　Bn　Cn-k　D1

9．用深度优先遍历方法遍历一个有向无环图，并在深度优先遍历算法中按退栈次序打印出相应的顶点，则输出的顶点序列是（）。

　A逆拓扑有序B拓扑有序C无序　D深度优先遍历序列

10.关键路径是AOE网中（）。

A从源点到终点的最长路径B从源点到终点的最长路径

C最长的回路　D最短的回路

11.已知无向图G的邻接表如图6-10所示，分别写出从顶点1出发的深度遍历和广度遍历序列，并画出相应的生成树。

【解答】深度优先遍历序列为：

1，2，3，4，5，6

对应的生成树为：

1，2，4，3，5，6

12.已知已个AOV网如图6-11所示，写出所有拓扑序列。

【解答】拓扑序列为：

v0v1v5v2v3v6v4、v0v1v5v2v6v3v4、v0v1v5v6v2v3v4。