固体物理学答案(朱建国版).doc
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固体物理学·习题指导
2023年4月29日
配合《固体物理学（朱建国等编著）》使用
固体物理学·习题指导
第1章晶体结构 1
第2章晶体的结合 12
第3章晶格振动和晶体的热学性质 20
第4章晶体缺陷 32
第5章金属电子论 35
第1章晶体结构
1.1有许多金属即可形成体心立方结构，也可以形成面心立方结构。
从一种结构转变为另一种结构时体积变化很小.设体积的变化可以忽略，并以Rf和Rb代表面心立方和体心立方结构中最近邻原子间的距离，试问Rf/Rb等于多少？
答：
由题意已知，面心、体心立方结构同一棱边相邻原子的距离相等，都设为a：
对于面心立方，处于面心的原子与顶角原子的距离为：
Rf=a
对于体心立方，处于体心的原子与顶角原子的距离为：
Rb=a
那么，==
1.2晶面指数为（123）的晶面ABC是离原点O最近的晶面，OA、OB和OC分别与基失a1，a2和a3重合，除O点外，OA，OB和OC上是否有格点？
若ABC面的指数为（234），情况又如何？
答：
晶面族（123）截a1,a2,a3分别为1,2,3等份，ABC面是离原点O最近的晶面，OA的长度等于a1的长度，OB的长度等于a2长度的1/2，OC的长度等于a3长度的1/3，所以只有A点是格点。
若ABC面的指数为（234）的晶面族，则A、B和C都不是格点。
1.3二维布拉维点阵只有5种，试列举并画图表示之。
答：
二维布拉维点阵只有五种类型，两晶轴，夹角，如下表所示。
序号
晶系
基矢长度与夹角关系
布拉维晶胞类型
所属点群
1
斜方
任意
简单斜方（图中1所示）
1，2
2
正方
简单正方（图中2所示）
4，4mm
3
六角
简单六角（图中3所示）
3，3m，6，6mm
4
长方
简单长方（图中4所示）
有心长方（图中5所示）
1mm，2mm
1简单斜方
2简单正方
3简单六角
4简单长方
5有心长方
二维布拉维点阵
1.4在六方晶系中，晶面常用4个指数（hkil）来表示，如图所示，前3个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成120°的共平面轴a1，a2，a3上的截距a1/h，a2/k，a3/i，第四个指数表示该晶面的六重轴c上的截距c/l.证明：
i=-（h+k）并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
（001）（100）（010）
答：
证明
设晶面族（hkil）的晶面间距为d，晶面法线方向的单位矢量为n°。
因为晶面族（hkil）中最靠近原点的晶面ABC在a1、a2、a3轴上的截距分别为a1/h，a2/k，a3/i，因此
………
（1）
由于a3=–（a1+a2）
把
（1）式的关系代入，即得
根据上面的证明，可以转换晶面族为
（001）→（0001），→，→，→，（100）→，（010）→，→
1.5如将等体积的硬球堆成下列结构，求证球可能占据的最大面积与总体积之比为
（1）简立方：
（2）体心立方：
（3）面心立方：
（4）六方密堆积：
（5）金刚石：
。
答：
令Z表示一个立方晶胞中的硬球数，Ni是位于晶胞内的球数，Nf是在晶胞面上的球数，Ne是在晶胞棱上的球数，Nc是在晶胞角隅上的球数。
于是有：
边长为a的立方晶胞中堆积比率为
假设硬球的半径都为r，占据的最大面积与总体积之比为θ，依据题意
（1）对于简立方，晶胞中只含一个原子，简立方边长为2r，那么：
θ==
（2）对于体心立方，晶胞中有两个原子，其体对角线的长度为4r，则其边长为，那么：
θ==
（3）对于面心立方，晶胞中有四个原子，面对角线的长度为4r，则其边长为r，那么：
θ==
（4）对于六方密堆积
一个晶胞有两个原子，其坐标为（000）（1/3，2/3，1/2），在理想的密堆积情况下，密排六方结构中点阵常数与原子半径的关系为a=2r，因此
θ==
（5）对于金刚石结构
Z=8那么=.
1.6有一晶格，每个格点上有一个原子，基失（以nm为单位）a=3i，b=3j，c=1.5（i+j+k），此处i，j，k为笛卡儿坐标系中x，y，z方向的单位失量.问：
（1）这种晶格属于哪种布拉维格子？
（2）原胞的体积和晶胞的体积各等于多少？
答：
（1）因为a=3i，b=3j，而c=1.5（i+j+k）=1/2（3i+3j+3k）=1/2（a+b+c′）式中c′=3c。
显然，a、b、c′构成一个边长为3*10-10m的立方晶胞，基矢c正处于此晶胞的体心上。
因此，所述晶体属于体心立方布喇菲格子。
（2）晶胞的体积===27*10-30（m3）
原胞的体积===13.5*10-30（m3）
1.7六方晶胞的基失为：
，，
求其倒格子基失，并画出此晶格的第一布里渊区.
答：
根据正格矢与倒格矢之间的关系，可得：
正格子的体积Ω=a·（b*c）=
那么，倒格子的基矢为，，
其第一布里渊区如图所示：
1.8若基失a，b，c构成正交晶系，求证：
晶面族（hkl）的面间距为
答：
根据晶面指数的定义，平面族（hkl）中距原点最近平面在三个晶轴a1，a2，a3上的截距分别为，，。
该平面（ABC）法线方向的单位矢量是
这里d是原点到平面ABC的垂直距离，即面间距。
由|n|=1得到
故
1.9用波长为0.15405nm的X射线投射到钽的粉末上，得到前面几条衍射谱线的布拉格角θ如下
序号
1
2
3
4
5
θ/（°）
19.611
28.136
35.156
41.156
47.769
已知钽为体心立方结构，试求：
（1）各谱线对应的衍射晶面族的面指数；
（2）上述各晶面族的面间距；
（3）利用上两项结果计算晶格常数.
答：
对于体心立方结构，衍射光束的相对强度由下式决定：
考虑一级衍射，n=1。
显然，当衍射面指数之和（h+k+l）为奇数时，衍射条纹消失。
只有当（h+k+l）为偶数时，才能产生相长干涉。
因此，题给的谱线应依次对应于晶面（110）、（200）、（211）、（220）和（310）的散射。
由布喇格公式
得
同法得
应用立方晶系面间距公式
可得晶格常数
把上面各晶面指数和它们对应的面间距数值代入，依次可得a的数值*10-10m为
3.2456，3.2668，3.2767，3.2835，3.2897
取其平均值则得
1.10平面正三角形，相邻原子的间距为a，试给出此晶格的正格矢和倒格矢；画出第一和第二布里渊区.
答：
参看下图，晶体点阵初基矢量为
用正交关系式
求出倒易点阵初基矢量b1，b2。
设
由
得到下面四个方程式
（1）
（2）
（3）
（4）
由
（1）式可得：
由
（2）式可得：
由（3）式可得：
由（4）式可得：
于是得出倒易点阵基矢
补充习题：
1.11什么是晶体？
什么是非晶体？
试各举一例说明。
答：
晶体是原子、离子或分子按照一定的周期性，在结晶过程中，在空间排列形成具有一定规则的几何外形的固体，如铁；非晶体是其中的原子不按照一定空间顺序排列的固体，如玻璃。
1.12什么是原胞？
什么是晶胞？
答：
原胞是具有2维、3维或者其他维度平移对称性的简单点阵结构的最小重复单元，晶胞是为了反映晶体的周期性和对称性而选取的重复单元。
1.13什么是布拉维原胞？
什么是WS原胞？
答：
布拉维原胞就是晶胞，WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以改点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
1.14试计算面心立方和体心立方的堆垛因子
答：
设面心立方晶胞的边长为a，则堆垛成面心立方晶胞的原子半径最大为。
由于面心立方体晶胞中有个原子，所以面心立方的堆垛因子
设体心立方晶胞的边长为a，则堆垛成体心立方晶胞的原子半径最大为。
由于体心立方晶胞中有个原子，所以体心立方的堆垛因子
1.15绘出面心立方的晶胞和原胞示意图。
答：
面心立方的晶胞和原胞如下图所示，黑色-晶胞，蓝色-原胞。
1.16试绘出二维正方晶格的W－S原胞，设边长为a。
答：
1.17请列表给出简立方、体心立方、面心立方的最近邻（第一近邻）到第十近邻的原子数、原子间距。
答：
设简立方、体心立方、面心立方晶胞边长为。
第n近邻
简立方
体心立方
面心立方
原子数
原子间距
原子数
原子间距
原子数
原子间距
1
6
8
12
2
12
6
6
3
8
12
24
4
6
24
12
5
24
8
24
6
24
6
8
7
12
24
2472
8
30
24
6
9
24
24
12
10
24
24
24
1.18绘出金刚石结构的两个面心立方子晶格的套构情况。
答：
金刚石结构是由两个面心立方格子沿体对角线位移1/4的长度套构而成。
1.19绘出立方晶胞里的晶向与晶面：
答：
1.20绘出六方晶胞里的晶向与晶面：
答：
1.21按照WS原胞的构造法，如果BCC中一个原子的所有最近邻原子的连线的中垂面围成一个什么图形，体积为多少？
如果BCC中一个原子的所有次近邻原子的连线的中垂面又围成一个什么图形，体积为多少？
答：
原点和8个近邻格点连线的垂直平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角，形成的14面体——八个面是正六边形,六个面是正四边形。
1.22为什么晶体没有5次对称轴，而准晶体有5次对称轴？
答：
设在图中，是晶体中某一晶面上的一个晶列，AB是这晶列上相邻两个格点的距离。
晶体中某一晶面的晶列
（1）旋转角，通过A处的u轴顺时针方向转过后，使B1点转到B’，若通过B处u轴逆时针方向转过角后，A1点转到A’。
经过转动后，要使晶格能自身重合，则A’、B’点必须是格点，由于A’、B’和AB平行，A’B’必须等于AB的整数倍，即，于是。
（2）旋转角，同理，有，于是有
综上，旋转角改写为。
即晶体中只存在1、2、3、4、6次转轴。
另外一方面因为晶体的旋转对称性要受到内部结构中点阵无限周期性的限制，有限外形的旋转不能破坏点阵无限的周期排列，所以晶体没有5次对称轴，而准晶体是介于周期晶体和非晶玻璃之间的一种新的固态物质形态，即准晶体可以有5次对称轴。
1.23试写出沿x2轴有90°旋转轴的变换矩阵。
答：
（1）逆时针旋转
（2）顺时针旋转
1.24举例宏观对称元素与微观对称元素
宏观：
转动对称中心反演对称面反映
微观：
平移和平移轴螺旋旋转与螺旋轴滑移反映和滑移面
1.25对于立方晶系，晶体的介电常数矩阵简化为什么情况？
答：
在晶体中，电位移矢量与电场强度间的关系可以写为：
对于立方晶系，当把电场E同晶体一起转动时，电位移矢量也将作相同的转动。
用D’表示转动后的电位移矢量。
设电场E沿着立方轴y，这时
，，
但是，转动是以E为轴的，实际上电场并未改变。
而上述转动又是立方体的一个对称操作，所以转动前后晶体没有任何差别，电位移矢量D应不变，即
代入，可得：
，
即
如果取E沿z方向，并绕z轴转动，
同理，可得：
的非对角元都等于零，于是
，（）
再取电场沿立方体方向，则
绕轴转动，使z轴转到原x轴，x轴转到原y轴，y轴转到原z轴，则转动后的D’写为
与前论述的一样，电场实际是没变的，晶体所经历的又是一个对称操作，晶体也完全未变，所以，D’和D应相同。
10
第2章晶体的结合
2.1
解：
（1）离子键：
无方向性，键能相当强；
（2）共价键：
饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：
有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：
依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：
依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。
该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。
2.2
解：
2.3
解：
根据弹性模量的定义可知
…………………
（1）
上式中利用了的关系式。
设系统包含个原子，则系统的内能可以写成
……………
（2）
又因为可把个原子组成的晶体的体积表示成最近邻原子间距的函数，即
………………（3）
上式中为与晶体结构有关的因子（如面心立方结构，）。
又因为
………………（4）
……………（5）
考虑平衡条件，得，那么（5）式可化为
……（6）
将（6）式代入
（1）式得：
，所以
2.4
解：
在平衡位置时有
…………
（1）
…………
（2）
将离解能eV和nm,代入
（1）和
（2）式可得：
eV·m2，eV·m10。
2.5
解：
由题意有以下方程成立：
把，的具体数值代入上述方程组，即得：
由此可得：
，
该晶体的有效弹性模量为：
又∵
（上式中表示晶体中所含的原子个数，表示与晶体结构有关的因子）
故
＝＝=4.734×1010
2.6
解：
（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；
（2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；
（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积，故；
（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；
（5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积；故。
2.7
解：
2.8
解：
2.9
解：
NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为r0，晶胞基矢长为2r0
NaCl晶体中Na+和Cl-的最近距离为。
晶胞基矢长为2，一个晶胞中含有四对正负离子对。
一个原胞（一个NaCl分子）的体积为：
=
NaCl晶体中的正负离子的平衡间距为：
0.2818nm
由晶体体积弹性模量的公式：
=
=7.82
由平衡时离子晶体的内聚能公式：
，
将n=7.82代入得NaCl晶体的每对离子的内聚能为：
=
2.10
解：
（1）在平衡时，有下式成立
……………
（1）
由上式可得
（2）设该个惰性气体原子组成的一维单原子链的总的相互作用势能为，那么有
………………
（2）
设为2个原子间的最短距离，则有，那么
（2）式可化为
………………（3）
其中（3）式中，
。
那么每个原子的平均晶格能为
2.11
解：
.若NaCl晶体的马德隆常数Μ=1.75，晶格常数a=5.64，幂指数n=9。
晶体拉伸而达到稳定极限时，求：
（1）离子间距增加多少？
（2）负压强的理论值是多大？
解：
（1）设该NaCl晶体的含有个离子，则其相互作用势能为
………………
（1）
上式中的指NaCl晶体中相邻两离子间的距离。
又设NaCl晶体处于平衡状态时，相邻两离子间的距离为，则有。
由平衡条件可知
……………
（2）
由
（2）式可得：
。
当晶体拉伸而达到稳定极限时，此时相邻离子间的引力达到最大值，即有
……（3）
将代入（3）式可得
因而离子间距增加了
2.12试利用中性计算三维NaCl晶体的马德隆常数。
2.13试求出GaAs的离子键比例，Ga、As的电负性分别为1.5、2.0。
2.14Kr晶体是面心立方结构，满足勒纳-琼斯势，如果只计算到第三近邻，试求热平衡时Kr晶体的结合能。
解：
52
第3章晶格振动和晶体的热学性质
3.1试求由5个原子组成的一堆单原子晶格的格波频率，设原子质量m＝8.35×10－27kg，恢复力常数β＝15N·m－1
解：
一维单原子链的解为
据周期边界条件，此处N=5,代入上式即得
所以＝2（为整数）
由于格波波矢取值范围：
。
则
故可取－2，－1，0，1，2这五个值
相应波矢：
,0,,
由于，代入，m及q值
则得到五个频率依次为（以rad/sec为单位）
8.06×1013，4.99×1013，0，4.99×1013，8.06×1013
3.2求证由N个相同原子组成的一维单原子晶格格波的频率分布函数可以表示为
式中是格波的最高频率，并求证它的振动模总数恰为N
解：
对一维单原子链，
所以
（1）
由色散关系求得
（2）
而，则由
（1）式可得
由于，则总的振动模数为
令，则积分限为0到，故
3.3设晶体由N个原子组成，试用德拜模型证明格波的频率分布函数为
解：
由书上（3－69）式可得
（1）
由（3－71）可得
由此可得，代入
（1）式得
3.4对一堆双原子链，已知原子的质量m＝8.35×10－27kg，另一种原子的质量M＝4m，力常数β＝15N·m－1，试求
（1）光学波的最高频率和最低频率和；
（2）声学波的最高频率；
（3）相应的声子能量（以eV为单位）；
（4）在300K可以激发频率为，和的声子的数目；
（5）如果用电磁波来激发长光学波振动，电磁波的波长大小。
解：
（1）
（2）
（3）
，，
（4）光速，
3.5设有一维晶体，其原子的质量均为m，而最近邻原子间的力常数交替地等于和10，且最近邻的距离为，试画出色散关系曲线，并给出和处的。
解：
设标为奇数的原子和附近为偶数的原子所处的环境不同，参看图，
β10ββ10β
m
x2n-1x2nx2n+1x2n+2
原子的运动方程应是
即
求格波解，令
，
代入运动方程，可导出线性方程组为：
令，从A，B有非零解的系数行列式等于零的条件可得
可解出
色散关系见下图
时，，，
时，，，
3.6．在一维双原子链中，如，求证
[证]由书中（3.22）式知，双一维原子链声学支
，由近似式，
得
，
对，由于
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