机械振动张义民课后习题答案Word文档格式.docx
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所以固有频率为
（B）习题图2-1（B）所示系统可能有下面两种运动帖况：
①在机垂i⅛振动的整个过稈中•杆被约束保持水平位置（见图（b）■①）；
②在悬挂的铅垂面内，杆可以自由转动（见图（b"
②）。
①在杆保持水平的情况下，弹簧d和屜并联,有
怎q=血+缸
②当杆可以自由转动时•杆和质虽m的运动会出现非水平的一般状态。
设A点的位移为点的位移为H2，加的位移为工，则静力方程利静力矩方程为
ZIlXl+k2X3=AalH
QJrILl=k2xzL2
几何关系
又
LI十L2=L由以匕方程解得
=kλkz∖}
eqkiL↑±
kzLl
（C）系统简化过程如习题图2-1（C）所示。
等效弹簧刚度为
其中
2.2如习题图2・2所示的系统中均质刚杆AB的质帚为加，A端弹簧的刚度为仁求（）点铃链支座放在何处时系统的固有频率最高。
设&
坐标如习题图2-2所示。
系统的动能为
=-ym（nZ）2^l—++右片=-I-^eq（WZ^）2（I）
等效质量加“可以表示为
（3）
习题图2-3
山于固有频率与质量的平方根成反比，即3严厲、欲得最高的固有频率，必须使〃G为
最小，即
d叫_3”_2_dn3n3
得
2n=T
代入二阶导数•得
d'
/Meq_2（1—”）、∩
~lnr_~^√>
是极小值•故饺链应放在距A端彳L处。
2.3如习題图2-3所示为一个测低频振幅用的测振仪的倒置摆。
（1）试导出系统的鏗态稳定平衡条件。
'
WVA
⅛<
∙∙上
机械損动习題鮮答
（2）已知整个系统对转动轴O的转动惯帚Io=I.725X107N・m∙s?
及怡=24.5N∕m,Zn=O.0856kg«
/=4cm・h=5cm。
求系统的固有频率。
（1）设0坐标如习题图2・3所示。
系统的势能为
U=-∣-Λ（W）2-WgZd-COS9）
（1）
由理论力学可知，一个系统的静态平衡是稳定的还是不稳定的，决定于它的势能是极小值还是极大值。
由
第=kb2θ~rnglsinθ=0
0=0
（4⅛）=（bb'
—nifζlCOS^）β=0=kb2—mgl
∖GUer/9=q
=0.0276948（N∙m）>
0
（4）
故（畀LO=财一加以>
0时为稳定平衡。
在振动理论中，也可以山等效刚度的正负来判断。
因为系统的动能为
T=寺加
由£
（T+U〉=O,得系统的振动微分方程
Iijθ+Ckb2—TnliI）O=0
（6）
由此得固冇频率
kb2—mgl
VlO
式中keii=kb2-7nfζl>
0为静态稳定平衡条件•即等效刚度为正值时•系统是静态稳定平衡的；
反之•等效刚度为负值（称为负刚度）时•将导致系统静态不稳定平衡。
（2）系统的频率为
=0.6377（HZ）
f_3n_1
2π2π
2.4某测振仪结构如习题图2-4所示。
摆重量为Q•由扭转刚度为爲的弹簧连接.并维持与铅垂方向成α角的位置。
摆对（）点的转动惯量为几摆的重心到转动轴O点的距离为几求此测振仪的白拆周期。
设坐标华如习题图Z-4所示。
在静平衡时
為卩=QSina式中卩为弹簧為的初始转角。
微振动时・由动量矩定理•有
（8）
Iφ=—IZIfI（P—P）—QVSin（α+甲）将式
（1）代入式
（2）•并使COS卩"
1.sin严卩得
Iφ+（爲+QCoSα）φ=0
故
^jkf÷
QSCOSa
2.5用能量法求习题图2-5所示均质圆柱体的f⅛∣有频率。
已知圆柱体的质量为加・半径为r与固定水平面无相对滑动，弹簧刚度为八连接点A距圆柱体质心O的距离为a。
系统的动能和势能分别为
^mr2θ2+ymr2⅛2
乙
U=2[y^（x+αsin抄卜2Γy^（r÷
α）2^]
（2）
g（T+U）=0（3）
dr
O••••
^nιr2θθ+2k（r÷
α）2^=O（4）
或
Q+"
Y+f>
2-O（5）
3zzιro
市此得固有频率为
机械振动习题鮮答
在摇杆摆到最大角位移久叽处时，系统的最大势能包括的部分。
弹簧变形后储存的弹性势能为
UZ=2×
y^α2l9Lx=ka2&
质量块加的重心下降后的重力势能为
S"
=—WgZ（I—COSOmaQQ-τnfξl苧=—Tngly
ω_丄2kg2—γngl
2π2π∖Io
代入数据•得
1/2×
0.03×
3∙542一0.0856X4
2π√1.76XIO"
2
由此看到传感器的敏感系统的固有频率很低•因而可以用来测最约在2〜80HZ频率范围的低频振动。
2.7某仪器中一元件为等截面的悬臂梁，质最可以忽略不计•如习题图2-7所示。
在梁的口由端有两个集中质⅛tE与m•由电磁铁吸住。
若在梁静止时打开电磁铁开关,使g突然释放。
试求m的振幅。
习题图2-7
方法1把梁门由端只有如时的静平衡位置设为原点•设工坐标如习题图2・7所示。
振动微分方程为
代入解（10）可得
机械振动习題鮮答
则梁的动能为
机水平方向的刚度至少应达何值？
衰减次数
>
=⅛ln⅛=δ⅛lnV=3O（Jk）（I）
衰减时间
I=jT=2町買
（2）
k=号工利Wl=4卅X*驚24500=139.28×
104（N∕m）（3）
2.1（）如习题图2-10所示的系统由一质呆为刃、长为Z的均匀杆及弹簧趴阻尼器C组成。
试导出系统的自由振动微分方程•并求岀其衰减振动时的频率。
设0为从胖平衡位詈摆动的角度。
对镀支点O取矩•用动最矩定理导出振动微
分方程
2O+cl2b+ka20=O
∙∙3r∙3Zv√2
o十屯&
十^re=O
（2）
于是
a[3kω'
∙=T√^Γ
∕13cil2
ωdωn√1Manai
2.11利用习题图2-11所示装登测某液体的粘度系数;
z。
一等厚薄板重城为W•而积为A・悬挂于弹赞怡上。
先使系统在空气中口由振雨，测得周期为「（空气阻力忽略不
计）。
然后放入被测液体中作衰减振动•测得周期为儿，已知薄板受到的阻力F=2μAv（P为相对速度）・试证明
在空气中
在液体屮
—X+ZtlAX+&
=0g
从中得
结合⑴和（3）两式，即得
½
）2[⅛）,-m>
ι降）普）=皿fμ=MlVr2"
r
2.12一重为5N的重物，挂于刚度系数为2N/cm的弹黄上，山于系统具有粘性阻尼•故重物经过4次振动后•振幅减到原来的试求该系统的对数减幅系数和周期。
对数减幅系数久固有频率©
、相对阻尼系数<
衰减振动的周期'
几可以分别表示为
2π
2〃如2
γ∙=2开=
d√∏rξrωn19.799√T≡ζj
联立式
（1）和式
（2）,解得衰减振动的周期为
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