等腰三角形三线合一专题练习Word文档下载推荐.docx
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CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？
根据等腰三角形的性质寻求规律
11
例1.在△ABC中，AB=AC，/1=2/ABC,/2=y/ACB,BD与CE相交于点0,如图，/BOC
的大小与/A的大小有什么关系？
若/1=-/ABC,/2=-/ACB，则/B0C与/A大小关系如?
33
若/1=/ABC,/2=/ACB，则/BOC与/A大小关系如?
nn
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
分，求这个三角形的腰长及底边长.
例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC,一腰上的中线BD?
将这个等腰三角形长分成15和6两部
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3.如图，P是等边三角形ABC的一点，连结PA、PB、PC,?
以BP为边作/PBQ=60°
，且BQ=BP,连结CQ.
（1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.
PB:
PC=3:
4:
5，连结PQ，试判断厶PQC的形状，并说明理由.
例1、等腰三角形底边长为5cm，腰上的中线把三角形长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
例2、已知ADABC的高，AB=AC,△ABC长为20cm,△ADC的长为14cm，求AD的长。
例3、如图，已知BC=3，/ABC和/ACB的平分线相交于点O,0E//AB,0F//人6求厶OEF的长。
例4、如图，已知等边厶ABC中，D为AC上中点，延长BC到E,使CE=CD,连接DE,试说明DB=DE。
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°
，则这个三角形是（）
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
例6、
（1）等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为。
（2）直角三角形的长为12cm，斜边的长为5cm，则其面积为
（3）若直角三角形三边为1，2，c，则c=。
222例7、下列说法：
①若在△ABC中a+b丰c,则厶ABC不是直角三角形；
0222
2若△ABC是直角三角形，/C=90，贝Ua+b=c;
3若在△ABC中，a+b=c，则/C=90;
4若两直角边的平和等于斜边的平，可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有（把你认为正确的序号填在横线上）。
例8正三角形ABC所在平面有一点P,使得△PAB、APBC、APCA都是等腰三角形，则这样的P点有（）
（A）1个（B）4个（C）7个（D）10个
例9.四边形ABCD中，AB=BC,/ABC=/CDA=90°
BEXAD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=（）
B.3
h
例10.已知△ABC为正三角形，P为其一点，且AP=4,BP=2,3,CP=2，则△ABC的边长为（）
（A）2.5
（B）2.7
（C）4
（D）42
三•巩固练习
1、
2、
3、
4、
5、
已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于9,求它的长。
在厶ABC中，AB=AC,/B=40°
，则/A=
等腰三角形的一个角是700，则它的顶角为
有一个角为40°
的等腰三角形的另外两个角的度数为
.140
6、
如图，在RtAABC中，/C=105o，直线BD交AC于D,
把直角三角形沿着直线BD翻折,
如果△ABD是等腰三角形，那么/
（C）25°
o
（A）40
（B）30
点C恰好落在斜边AB上,
A等于
（D）15
呢
若厶ABC三边分别为a、
（A）等腰三角形（B）
判定两个等腰三角形全等的条件可以是
7、
A、有一腰和一角对应相等
b、c，且满足a+b2+^+50=6a+8b+10c
直角三角形（C）等腰直角三角形
（）。
有两边对应相等
，则△ABC的形状为（
（D）等边三角形
8、
9、
B、
C、有顶角和一个底角对应相等等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（
A、顶角B、底角C、顶角的一半
在等腰三角形ABC中，/A与/B度数之比为
A、100°
B、75°
C、150°
有两角对应相等）
D、底角的一半
5:
2，则/A的度数是（
D、75°
或00°
10、如图，P、Q是厶ABC边BC上的两点，且QC=AP=AQ=BP=PQ,则/BAC=-（
00—0
B、130C、90
D、120
A、125
11、
11题图
0一..
10题图
AB=AC,AE=EC,/ACE=28“，则/B的度数是
12、如图,
12题图
A、60
B、70
C、76°
45
A、C除外），设甲虫P到
13、如图是一个等边三角形木框，甲虫P在边框AC上（端点
另外两边距离之和为d，等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是（）
【解题法指导】
例1.已知，如图，AB=AC=CD,求证：
/B=2/D
例2.已知，如图，△ABC是等边三角形,
AD//BC,AD丄BD,BC=6，求AD的长。
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30。
角的直角三角形是应用非常广泛的图形【典型例题分析】
例1.如图，等腰三角形ABC的顶角为120°
，腰长为10，则底边上的高AD=
例2.已知，如图，△ABC中，/C=90°
AB的垂直平分线交30°
求CD的长。
AB于E,交AC于D,AD=8,/A=
B
例3.已知，如图，△ABC是等边三角形,
E是AB上一点，D是AC上一点，且AE=CD，又BD与
CE交于点F,试求/BFE的度数。
【综合测试】
1.已知，如图,
C
AB=AC，/ABD=/ACD，求证：
DB=DC
2.已知，如图,
3.已知，如图，△ABC中，DE//BC,AB=AC,求证：
AD=AE
D、E是BC上两点，AB=AC,AD=AE,求证：
BD=CE
4.已知，如图，△ABC中，AB=AC,D是AB上一点，E是AC延长线上一点，DE交BC于F,又BD
=CE,求证：
DF=EF
，E
5.已知，如图，D是BC上一点，△ABC、ABDE都是等边三角形，求证：
AD=CE
6.已知，如图，△ABC中，/B=90°
AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E,又/C=15°
EC=10,求AB的长。
例6、如图11，在△ABC中，/A=90°
AB=AC,D为BC边中点，E、F分别在AB、AC上，且DE
丄DF,求证：
AE+AF是一个定值.
证明：
连接AD,
•/AB=AC,D为BC中点，•••AD丄BC,
•••/BAC=90°
AB=AC,/-ZB=ZC=45°
•••/BAD=45°
ZCAD=45°
/•AD=BD=CD,
vZEDF=90°
/.ZEDA+ZADF=90°
又由AD丄BC得ZBDE+ZADE=90°
BDE=ZADF,
在厶BDE和厶ADF中，ZB=ZDAF,BD=AD,ZBDE=ZADF,BDE^AADF,
•BE=AF,•AE+AF=AE+BE=AB（定值）.
思考：
四边形AEDF的面积是否也是定值呢？
为什么？
例4、如图9，已知ADABC的高，E为AC上一点,
BE交AD于F,且有BF=AC,FD=CD,你认
为BE与AC之间有怎样的位置关系？
你能证明它吗？
线段BE丄AC,理由如下：
•/AD丄BC,./ZADB=ZADC=90°
•ZFBD+ZBFD=90°
°
在Rt△BDF和RtAADC中，BF=AC,FD=CD,
•RtABDFBRt△ADC,
•ZBFD=ZC,./ZFBD+ZC=90°
•
例5、如图10,在厶ABC中，ZACB=90°
AC=BC,M是AB上一点，求证:
AM2
BM2
2
2CM.
ZBEC=°
-（ZFBD+ZC）=。
一90°
=90°
即BE丄AC.
图10
22
2（DM2CD2）2CM
过C作CD丄AB于点D,
vZACB=90°
AC=BC,CD丄AB,
•ZA=ZB=45°
ZACD=ZBCD=45°
•ZA=ZACD,ZB=ZBCD,
•/AD=BD,BD=CD,即AD=BD=CD,
222
vCD丄AB,•DMCDCM,
2222
•AM2BM2（ADDM）2（BDDM）2
请同学们试试用另外的法来证明本题•
例1、如图5,在厶ABC中，AB=AC,点O在厶ABC,OB=
图5
OC,求证：
AO丄BC.
延长AO交BC于点D,
•/AB=AC,OB=OC,OA=OA，：
•△ABO^AACO,
•••/BAO=ZCAO，即/BAD=ZCAD,
•••AD丄BC,即卩AO丄BC.
例2、如图6，在等边厶ABC中，D、E分别在边BC、BA的延长线上，且AE=BD,求证：
CE=DE.
过E作EF丄CD于点F,
•/△ABC是等边三角形，•/B=60°
BEF=30°
•BE=2BF,即卩BA+AE=BC+BD=2BC+CD=2（BC+CF）,
•CD=2CF,•CF=DF,
在厶CEF和厶DEF中，CF=DF,/CFE=ZDFE=90°
EF=EF,
•△CEF^ADEF,•CE=DE.
PD丄AB于点D,PE丄AC于点E,
例3、如图7,已知在△ABC中，AB=AC,P为底边BC上任意一点,
PD+PE是一个定值.
解：
连接AP,过点C作CF丄AB于点F,
1
由S
ABC
-AB
CF,
SPAB
ABPD,
S
PAC
1AC
PE
1AB
PE,
SABCSPABSPAC,
得:
1AB
CF
PD
图7
即，PDPECF（定值）
说明：
本例的结论可用文字语言叙述为：
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高
拓展：
如果点
P不是在边BC上，而是在
BC的延长线上，其它条件保持不变，那么
PD与PE之间又有
连接AP,过点C作CF丄AB于点F,（如图8）
由SABC
-ABCF,
SPAC
-ACPE
怎样的关系呢?
P
SABCSpabSpac,
-ABPE,
PD与PE之差为一定值
得：
一ABCF—ABPD
即，PDPECF（定值）.
即，当点P在BC延长线上时,基础训练：
1、填空题：
（1）等腰三角形中，如果底边长为6，一腰长为8，那么长是。
（2）如果等腰三角形有一边长是6，另一边长是8，那么它的长是;
如果等腰三角形的两边
长分别是4、8,那么它的长是。
（3）等腰三角形的对称轴最多有条。
2、填空题：
（1）如果△ABC是等腰三角形，那么它的边长（或长）可以是（）
A、三条边长分别是5，5，11B、三条边长分别是4，4，8
C、长为14，其中两边长分别是4，5D、长为24，其中两边长分别是6，12
（2）等腰三角形一边长为2,长为5，那么它的腰长为（）
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍，长为35cm，求等腰三角形各边的长。
4、已知：
如图，AD平分/BAC，AB=AC，请你说明△DBC是等腰三角形。
5、已知等腰三角形的底边和一腰长是程组求这个三角形的各边长。
x+2y=4
{3x+y=7的解,
（1）等腰三角形的顶角平分线、、互相重合。
（2）等腰三角形有一个角是120。
，那么其他两个角的度数是和。
（3）△ABC中，/A=/B=2/C，那么/C=。
（4）在等腰三角形中，设底角为x°
，顶角为y°
，则用含x的代数式表示y，得y=_;
用含y的代数
式表示X，得x=。
2、选择题：
（1）等腰三角形的一个外角为140。
，那么底角等于（）
A、40°
B、100°
C、70°
D、40°
或70°
（2）等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于（）
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
（3）在等腰三角形ABC中，/A与/B度数之比为5:
2，则/A的度数是（）
D、75。
或00°
（4）等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD丄BC，②BD=DC，
③/B=/C，④/BAD=/CAD”中，结论正确的个数是（）
A、4B、3C、2D、1
3、如图，已知△ABC中，D在BC上,AB=AD=DC，/C=20°
，求/BAD。
4、如图，已知△ABC中，点D、E在BC上,
AB=AC,AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
1、填空题:
（1）在厶ABC中，/A的相邻外角是110。
，要使厶ABC是等腰三角形，则/B=
（2）在一个三角形中，等角对;
等边对
（3）如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等，则它的各角的度数是
（4）如图，AB=AC,BD平分/ABC，且/C=2/A,则图中等腰三角形共有个。
2、选择题：
BC
DE平分/ADB，则图中等腰三角形的个数是（
B、4
C、5
如图，在△ABC中，AB=AC，/BAC=108°
ZADB=72
3、如图，在△ABC中，/B和/C的平分线相交于点0,且0B=0C，请说明AB=AC的理由。
4、如图，已知/EAC是厶ABC的外角，/1=/2,AD//BC,请说明AB=AC的理由。
5、如图，AB=AC,ZABD=/ACD，请你说明AD是BC的中垂线。
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