等腰三角形三线合一.docx

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等腰三角形三线合一

一．选择题（共11小题）

1．（2017•绵阳）下列图案中，属于轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称图形的定义求解可得．

【解答】解：

A，此图案是轴对称图形，有5条对称轴，此选项符合题意；

B、此图案不是轴对称图形，此选项不符合题意；

C、此图案不是轴对称图形，而是旋转对称图形，不符合题意；

D、此图案不是轴对称图形，不符合题意；

故选：

A．

【点评】本题主要考查轴对称图形，掌握其定义是解题的关键：

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

2．（2017•重庆）下列图形中是轴对称图形的是（　　）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称图形的概念求解．

【解答】解：

A、不是轴对称图形，不合题意；

B、不是轴对称图形，不合题意；

C、是轴对称图形，符合题意；

D、不是轴对称图形，不合题意．

故选：

C．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

3．（2017•呼和浩特）图中序号

（1）

（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是△ABC这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（　　）

A．

（1）B．

（2）C．（3）D．（4）

【分析】轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，据此判断出通过轴对称得到的是哪个图形即可．

【解答】解：

∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，

∴通过轴对称得到的是

（1）．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：

轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，进行分析判断．

4．如图，已知点P到AE，AD，BC的距离相等，有下列说法：

①点P在∠BAC的平分线上；

②点P在∠CBE的平分线上；

③点P在∠BCD的平分线上；

④点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上．

其中正确的是（　　）

A．①②③④B．①②③C．④D．②③

【分析】根据角平分线的性质定理进行判断即可．

【解答】解：

∵点P到AE，AD的距离相等，

∴点P在∠BAC的平分线上，①正确；

∵点P到AE，BC的距离相等，

∴点P在∠CBE的平分线上，②正确；

∵点P到AD，BC的距离相等，

∴点P在∠BCD的平分线上，③正确；

∴点P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分线的交点上，④正确，

故选：

A．

【点评】本题考查的是角平分线的判定，掌握到角的两边的距离相等的点在的平分线上相等是解题的关键是解题的关键．

5．如图，△ABC中，∠B=90°，两直角边AB=3，BC=4，AC=5．三角形内有一点P到各边的距离相等，则这个距离为（　　）

A．1B．3C．4D．5

【分析】连接AP，BP，CP，设PE=PF=PD=x，根据直角三角形的面积列出方程，即可求得该距离的长．

【解答】解：

连接AP，BP，CP．

设PE=PF=PD=x，则S△ABC=

AB×x+

AC×x+

BC×x=

（AB+BC+AC）•x=

×12×x=6x，

∵S△ABC=

×AB×CB=6，

∴6x=6，

解得x=1．

故选（A）

【点评】本题主要考查了三角形的面积以及角平分线，解题的关键是构造辅助线，且直角三角形的面积有两种表示方法：

一是整体计算；二是等于三个小三角形的面积和，这也是列方程的依据．

6．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，则

∠BDE的度数是（　　）

A．15°B．30°C．45°D．60°

【分析】由在△ABC中，∠C=90°，AD是∠CAB的平分线，DE是AB的垂直平分线，易得∠B=∠DAB=∠CAD，继而求得∠B的度数，则可求得∠BDE的度数．

【解答】解：

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AD=BD，

∴∠DAB=∠B，

∵AD是∠CAB的平分线，

∴∠CAD=∠DAB，

∵在△ABC中，∠C=90°，

∴3∠B=90°，

∴∠B=30°，

∴∠BDE=90°﹣∠B=60°．

故选D．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

7．如图，线段AC，AB的中垂线交于点O，已知OC=2cm，则OB等于（　　）

A．1cmB．2cmC．4cmD．不能确定

【分析】首先连接OA，由线段AC，AB的中垂线交于点O，根据线段垂直平分线的性质，可得OA=OC=OB．

【解答】解：

连接OA，

∵线段AC，AB的中垂线交于点O，

∴OA=OC，OA=OB，

∴OB=OC=2cm．

故选B．

【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

8．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，已知BC=20，AB=18，AC=16，则△ADE的周长是（　　）

A．30B．32C．34D．36

【分析】根据DE∥BC，FB，FC分别平分∠B和∠C，可得：

∠DBF=∠FBC=∠DFB，进而得出DF=DB，同理得出EF=EC，所以△ADE的周长为AB+AC，然后根据AB和AC的长度即可求出结果．

【解答】解：

∵DE∥BC，

∴∠BFD=∠FBC，∠EFC=∠BCF，

∵FC分别平分∠B和∠C，

∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，

∴∠BFD=∠DBF，∠EFC=∠ECF，

∴DF=DB，EF=EC，

∵△ADE的周长=AD+AE+DE，DE=DF+EF，

∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC，

∵AB=18，AC=16，

∴△ADE的周长=34．

故选C．

【点评】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的周长，关键在于根据相关的性质定理推出DF=DB，EF=EC，然后进行正确的等量代换求出∴△ADE的周长=AD+BD+AE+EC=AB+AC．

9．同学们都玩过跷跷板的游戏，如图，是一个跷跷板的示意图，立柱OC与地面垂直，OA=OB，当跷跷板的一头着地时，∠OAC=25°，则当跷跷板的另一头B着地时∠AOA′等于（　　）

A．25°B．50°C．60°D．130°

【分析】欲求∠A′OA的度数，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可知∠A′OA=∠OAC+∠OB′C，又OA=OB′，根据等边对等角，可知∠OAC=∠OB′C=20°．

【解答】解：

∵OA=OB′，

∴∠OAC=∠OB′C=25°，

∴∠A′OA=∠OAC+∠OB′C=2∠OAC=50°．

故选B．

【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及等腰三角形的性质．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．

10．如图，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底边BC上截取BD=AB，过D作DE⊥BC交AC于E，连接AD，则图中等腰三角形的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

【分析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等腰三角形共4个．

【解答】解：

∵三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

∵DE⊥BC，

∴∠EDB=∠EDC=90°

∴∠DEC=∠C=45°，

∴△EDC是等腰三角形，

∵BD=AB，

∴△ABD是等腰三角形，

∴∠BAD=∠BDA，

而∠EAD=90°﹣∠BAD，∠EDA=90°﹣∠BDA，

∴∠EAD=∠EDA，

∴△EAD是等腰三角形，

因此图中等腰三角形共4个．

故选D．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和判定及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答本题的关键．

11．如图，点O是△ABC中∠ABC与∠ACB的平分线的交点，OD∥AB交BC于D点，OE∥AC交BC于E点，若BC=20cm，则△ODE的周长为（　　）

A．16cmB．18cmC．20cmD．22cm

【分析】△ODE的周长=OD+DE+OE，可以先证明BD=OD，CE=OE，则OD+DE+OE=BC得出．

【解答】解：

∵OD∥AB

∴∠ABO=∠BOD

∵OB平分∠ABC

∴∠ABO=∠OBD

∴∠ABO=∠BOD

∴BD=OD

则同理可得CE=OE

∴△ODE的周长=OD+DE+OE=BD+DE+EC=20cm．

故选C．

【点评】本题利用了：

①两直线平行，内错角相等；②角的平分线的性质；③等边对等角．

二．解答题（共8小题）

12．（2016秋•宝塔区期中）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=42°，求∠BED的度数．

【分析】已知AE平分∠BAC，ED∥AC，根据两直线平行同旁内角互补，可求得∠DEA的度数，再由三角形外角和为360°求得∠BED度数．

【解答】解：

∵BE⊥AE∴∠AEB=90°

∵AE平分∠BAC∴∠CAE=∠BAE=42°

又∵ED∥AC∴∠AED=180°﹣∠CAE=180°﹣42°=138°

∴∠BED=360°﹣∠AEB﹣∠AED=132°

【点评】此题考查平行线的性质和三角形外角和定理．两直线平行，同旁内角互补．

13．在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，交AC于D，AE⊥BD，垂足为E．求证：

AC=2BE．

【分析】首先过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，由在△ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，易证得△ADF，△ABF，△DBC是等腰三角形，又由三线合一，可证得BF=2BE，即可证得AC=2BE．

【解答】证明：

过点A作AF∥BC，交BD的延长线于点F，

∴∠F=∠DBC，∠FAD=∠C，

∵∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠DBC=∠C，

∴∠F=∠FAD=∠ABD，BD=CD，

∴AD=DF，AB=AF，

∵AE⊥BD，

∴BE=EF=

BF，

∵AC=AD+CD=DF+BD=BF，

∴AC=2BE．

【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．

14．如图所示．△ABC中，AE是∠A的平分线，CD⊥AE于D．求证：

∠ACD＞∠B．

【分析】延长CD交AB于F点，可证明△ACD与△AFD全等．根据∠AFC是△BCF的外角可证结论．

【解答】证明：

延长CD交AB于F点．

∵AE是∠A的平分线，CD⊥AE，

∴∠FAD=∠CAD，∠ADC=∠ADF=90°．

又AD公共，

∴△ADC≌△ADF，

∴∠ACD=∠AFD．

∵∠AFC是△BCF的外角，

∴∠AFC＞∠B．

∴∠ACD＞∠B．

【点评】此题考查三角形全等的判定和性质及三角形外角的性质．作出辅助线建立两角的联系是难点．

15．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F分别是边AB、AC上的点，且EF∥BC．

（1）试说明△AEF是等腰三角形；

（2）试比较DE与DF的大小关系，并说明理由．

【分析】

（1）首先利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C，再结合平行线的性质得到∠AEF=∠AFE，利用等角对等边即可证得；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得AD是线段EF的垂直平分线，然后根据线段的垂直平分线的性质即可证得．

【解答】解：

（1）∵EF∥BC，

∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C．

又∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∴∠AEF=∠AFE，

∴AE=AF，即△AEF是等腰三角形；

（2）DE=DF．理由如下：

∵AD是等腰三角形ABC的底边上的高，

∴AD也是∠BAC的平分线．

又∵△AEF是等腰三角形，

∴AG是底边EF上的高和中线，

∴AD⊥EF，GE=GF，

∴AD是线段EF的垂直平分线，

∴DE=DF．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，以及线段的垂直平分线的性质，正确证明AD是线段EF的垂直平分线是关键．

16．如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是BC和AC上的点，且DE∥AB，EA=ED，请你说明AD垂直平分BC．

【分析】由平行线的性质、等腰△AED的性质推知AD平分∠BAC，则由“等腰三角形‘三合一’的性质”证得结论．

【解答】证明：

如图，∵EA=ED，

∴∠2=∠3．

又∵DE∥AB，

∴∠1=∠3，

∴∠1=∠2．即AD平分∠BAC．

又∵AB=AC，

∴AD是边BC的中垂线，即AD垂直平分BC．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．难度不大，属于基础题．

17．（2017春•蓝田县期末）如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点F是BC延长线上一点，连接DF，交AC于点E，连接BE，∠A=∠ABE．

（1）求证：

DF是线段AB的垂直平分线；

（2）当AB=AC，∠A=46°时，求∠EBC及∠F的度数．

【分析】

（1）根据到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上证明；

（2）根据等腰三角形的性质求出∠ABE，结合图形计算即可．

【解答】

（1）证明：

∵∠A=∠ABE，

∴EA=EB，

∵AD=DB，

∴DF是线段AB的垂直平分线；

（2）解：

∵∠A=46°，

∴∠ABE=∠A=46°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=67°，

∴∠EBC=∠ABC﹣∠ABE=21°，

∠F=90°﹣∠ABC=23°．

【点评】本题考查的是线段垂直平分线的判定、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握到线段的两个端点的距离相等的点在垂直平分线上是解题的关键．

18．（2017•平谷区二模）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，DE∥BC交AB于点E，EF⊥BD于点F．求证：

∠BEF=∠DEF．

【分析】根据角平分线的定义得到∠ABD=∠CBD，根据平行线的性质得到∠EDB=∠CBD，等量代换得到∠EDB=∠ABD，于是得到结论．

【解答】证明：

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=∠CBD，

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠CBD，

∴∠EDB=∠ABD，

∴EB=ED，

∵EF⊥BD于点F，

∴∠BEF=∠DEF．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．

19．（2017春•文登区期中）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M，AD平分∠MAC，交BC于点D，AM交BE于点G．

（1）求证：

∠BAM=∠C；

（2）判断直线BE与线段AD之间的关系，并说明理由．

【分析】

（1）根据余角的性质即可得到结论；

（2）由AD平分∠MAC，得到∠3=∠4，根据三角形的外角的性质得到∠BAD=∠ADB，推出△BAD是等腰三角形，于是得到结论．

【解答】解：

（1）∵AM⊥BC，

∴∠ABC+∠BAM=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠ABC+∠C=90°，

∴∠BAM=∠C；

（2）BE垂直平分AD，

理由：

∵AD平分∠MAC，

∴∠3=∠4，

∵∠BAD=∠BAM+∠3，

∠ADB=∠C+∠4，

∠BAM=∠C，

∴∠BAD=∠ADB，

∴△BAD是等腰三角形，

又∵∠3=∠4，

∴BE垂直平分AD．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和，线段垂直平分线的性质，熟练正确等腰三角形的判定和性质是解题的关键．