高等代数课本提纲文档格式.docx
《高等代数课本提纲文档格式.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高等代数课本提纲文档格式.docx(10页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
多项式
16
2
行列式
12
3
线性方程组
4
矩阵
5
二次型
6
线性空间
7
线性变换
20
8
-矩阵
9
欧氏空间
10
双线性函数与辛空间
五、教学方式
讲授;
辅导;
多媒体;
批改作业。
六、考核方式
闭卷
七、教材及教学参考书
1.张禾瑞,郝炳新.高等代数(第四版),北京:
高等教育出版社,2004。
2.张贤科,许哺华.高等代数学,北京:
清华大学出版社,1998,3。
3.王正文,高等代数分析与研究,济南:
山东大学出版社,1994,6。
4.陈文灯,黄先开.线性代数复习指导,北京:
世界图书出版公司,1998,6。
5.李志慧,李永明.高等代数分析与选讲,西安:
陕西师范大学出版社,2006,8。
6.
蓝以中.高等代数简明教程(上下册),北京:
北京大学出版社,2002,8.
7.
杨子胥.高等代数习题解(上下册),济南:
山东大学出版社,2001,9.
八、教学基本内容及要求
第一章多项式
1.教学基本要求:
熟悉数域上一元多项式的概念、运算及带余除法,并能熟练地运算;
能正确理解和应用多项式整除的概念和性质;
掌握最大公因式的概念和性质、互素的概念和性质,并能熟练地求出两个多项式的最大公因式以及证明有关互素的习题;
掌握不可约多项式的概念和性质,正确理解因式分解定理;
掌握重因式的概念以及运用多项式的导数来判断重因式的方法;
掌握多项式根的概念和性质;
掌握整系数多项式有理根的求法,并能熟练地求出有理系数多项式的有理根。
2.教学内容:
§
1.1一元多项式
一元多项式定义,运算规则和算律,一元多项式的次数。
1.2多项式的整除性
整除定义和基本性质,带余除法。
1.3多项式的最大公因式
最大公因式概念,辗转相除法,互素的定义和重要性质.
1.4多项式的分解
不可约多项式的定义和基本性质,分解定理,利用典型分解式求最大公因式,重因式的定义,判定重因式的判定定理.
1.5多项式函数
余式定理,多项式的根,因式定理,重根,非零多项式根的最多个数.
1.6复数域与实数域上的多项式
代数基本定理,根与系数的关系,实系数多项式的根的定理,实数域上不可约多项式的定理,实数域上多项式的因式分解.
1.7有理数域上的多项式
本原多项式,Gauss引理,整系数多项式在有理数域上的可约性问题,艾森施坦因判别法,有理数域上多项式的有理根.
第二章行列式
掌握行列式的定义,会用定义计算低阶的行列式以及一些比较特殊的n阶行列式;
掌握行列式的基本性质,并能熟练应用这些性质;
掌握计算行列式的基本方法和技巧,并能灵活地应用它们来计算n阶行列式;
掌握克莱姆法则,并能应用它来解线性方程组.
2.教学内容:
2.1排列
2.2n级行列式定义
(1)复习中学数学中二阶、三阶行列式的定义及计算方法;
2归纳、总结行列式定义和性质;
二、三阶行列式的计算式,代数余子式概念,二、三阶行列式的抽象定义。
(3)n行列式定义.
2.3n阶行列式的基本性质
2.3行列式的计算
具体的三、四阶行列式计算,范德蒙行列式及三角行列式,对角行列式和一般n阶行列式的计算方法.
2.4行列式的一行(列)展开
2.5克莱姆法则
给出利用行列式求解线性方程组的方法;
克莱姆法则及应用(联系中学二元一次方程组求解问题);
给出利用行列式求解线性方程组的方法.
2.6拉普拉斯定理行列式的乘法规则
给出拉普拉斯定理的介绍并将其应用于得到行列式的乘法规则.
第三章线性方程组
理解n维向量空间的定义;
掌握n维向量的线性相关性,向量组的极大线性无关组的概念。
理解向量组的秩的概念;
理解并掌握线性方程组的解法、有解的判别原理、解的结构。
3.1概念、性质与定理
1.向量组的线性关系;
2.向量组的秩和矩阵的秩;
3.线性方程组的概念;
4.线性方程组解的判定;
5.非齐次与齐次线性方程组解的关系;
6.线性方程组解的性质.
3.2
重要公式与结论
3.3典型题型与例题
1判断向量组的线性相关性;
2已知一组向量线性无关,讨论另一组向量线性相关性;
3把一个向量用一组向量线性表示;
4求向量组的极大线性无关组;
5求向量组的秩与矩阵的秩;
6矩阵秩的不等式证法;
7含参数的线性方程组解的求解;
8抽象线性方程组解的求解;
9线性方程组有关命题的证明.
第四章矩阵
熟练掌握矩阵的概念、矩阵的运算;
理解逆矩阵的概念并熟练掌握逆矩阵的求法;
理解并会熟练应用矩阵乘积的行列式的公式;
掌握初等矩阵的概念并会熟练应用初等变换。
掌握分块矩阵及其初等变换的有关结果及其应用;
4.1-2矩阵概念及其运算
矩阵定义,矩阵的运算和算律,矩阵与行列式的区别及其作用.
4.3矩阵乘积的行列式
矩阵乘积的行列式;
矩阵乘积的秩
4.4矩阵的逆
可逆阵定义及性质,可逆的充要条件,求逆矩阵的方法.
4.5矩阵的分块
矩阵关于加法、乘法、转置等运算的分块原则;
分块矩阵在乘法运算中表现出的优点.
4.5初等矩阵
初等矩阵及其性质;
初等变换;
矩阵的等价及其判定;
利用初等变换求矩阵的逆.
4.6分块乘法的初等变换及其应用举例
第五章二次型
通过二次型和正定二次型的概念的讲解,全面讨论二次型化标准形的方法和正定二次型的判定。
熟悉二次型的概念及其矩阵表示,能掌握二次型的标准型的概念而且能熟练的化二次型为标准形、理解二次型的唯一性的概念,能判定一个二次型是否为正定二次型以及对正定矩阵的判定。
5.1二次型及其矩阵表示
二次型概念介绍;
二次型的矩阵表示
5.2标准型
二次型的标准形;
化二次型为标准形的方法:
配方法、合同法.
5.3唯一性
复数域上二次型的规范形;
实数域上二次型的规范形.
5.4正定二次型
正定二次型及其例子;
正定二次型的判定方法;
正定矩阵及其性质;
利用二次型的矩阵判定二次型的正定性.;
有关概念介绍.
第六章线性空间
深刻理解集合、映射、线性空间的定义与性质。
掌握基、维数与坐标、基变换与坐标变换等概念并会灵活应用;
深刻理解线性子空间的定义及判定方法;
掌握子空间的交与和以及直和的定义并会应用;
理解线性空间同构的定义及判定方法。
6.1-2定义及例子
线性空间定义、例子及其性质.
6.3维数、基与坐标
基、维数与坐标的定义.
6.4基变换与坐标变换
过度矩阵及其性质;
坐标变换公式.
6.5线性子空间
线性子空间及其判定,生成子空间的概念,一般n维空间表示成生成子空间,基的扩充定理.
6.6子空间的交与和
子空间的交与和;
维数公式.
6.7子空间的直和
子空间的直和及其判别,子空间的补.
6.8线性空间的同构
线性空间的同构、例子及其判定方法.
第七章线性变换
深刻理解线性变换的概念,掌握它的运算及基本性质;
理解线性变换矩阵表示的意义并会计算;
掌握线性变换的特征根和特征向量的定义;
掌握线性变换可对角化的判定方法.掌握不变子空间的定义并会灵活应用;
理解不变子空间的作用.
7.1线性变换的定义和例子
线性变换的概念,线性变换的判别,例子
7.2线性变换的运算
线性变换运算的加法、数乘、乘法、幂、逆运算的定义及其运算律。
(二)主要内容:
7.3线性变换的矩阵
线性变换和矩阵之间的关系;
象向量坐标的计算公式;
线性变换在不同基下矩阵之间的关系.
7.4特征根和特征向量
特征根和特征向量的定义;
特征根和特征向量的求法;
特征子空间;
特征多项式;
Hamilon-Cayley介绍.
7.5对角矩阵
线性变换可对角化的判定方法.
7.6线性变换的值域,线性变换的核
线性变换的值域和线性变换的核的定义;
线性变换的值域和核维数之间关系
7.7不变子空间
不变子空间的定义;
不变子空间的作用.
7.8若当标准形介绍
若当标准形的定义
第八章
熟练掌握
-矩阵的定义、运算以及
-矩阵可逆的判定方法.能对低阶的
-矩阵求其标准形;
掌握初等因子、行列式因子、不变因子的定义,并能给予区别;
掌握矩阵相似的几个判定方法;
对数字矩阵会求其若当标准形.
8.1
-矩阵的定义、运算、可逆的判定方法.
8.2
-矩阵在初等变换下的标准型
-矩阵意义下的初等变换;
标准形及其求法.
8.3不变因子
行列式因子的定义;
标准形的唯一性;
不变因子的定义及其求法
8.4矩阵相似的条件
矩阵相似的几个判定方法.
8.5初等因子
初等因子的定义;
初等因子、行列式因子、不变因子的区别与联系.
8.6若当标准形理论推导
若当块、若当矩阵的定义;
若当标准形理论推导.
第九章欧几里得空间
在实线性空间引入内积,得到欧几里得空间,进而对欧几里得空间的结构及变换进行了讲解。
深刻理解内积、欧氏空间定义,向量的长度,向量的夹角等概念;
度量矩阵的概念及其性质;
理解和掌握标准正交基的概念及其性质,并能熟练求出标准正交基;
理解和掌握对称变换及其性质以及与对称矩阵之间关系;
理解和掌握正交变换及其性质以及与正交矩阵之间关系;
理解和掌握欧氏空间同构的定义,欧氏空间同构的判定方法
9.1定义和例子
内积、欧氏空间定义;
欧氏空间的性质;
向量的夹角;
度量矩阵及其性质.
9.2标准正交基
标准正交基及其性质;
标准正交基的求法;
正交矩阵.
9.3同构
欧氏空间同构的定义,欧氏空间同构的判定方法.
9.4正交变换
正交变换的定义;
正交变换的刻画;
正交变换的几种性质.
9.5子空间
正交的子空间及其性质;
正交补.
9.6对称矩阵的标准形
对称变换及其性质;
对称矩阵及其性质;
实对称矩阵正交对角化的方法.
9.7向量到子空间的距离,最小二乘法
向量到子空间的距离;
最小二乘法
第十章双线性函数与辛空间
掌握线性函数,对偶空间,双线性函数的概念及其有关结果,了解辛空间的概念。
10.1定义和例子
线性函数的定义及其有关例子
10.2对偶空间
对偶空间定义及其特性
10.3双线性函数
双线性函数的定义及其例子,反双线性函数的定义及其有关结果
10.4辛空间
了解辛空间的概念