矩阵理论的论文作业.doc

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矩阵论文2023/4/29

矩阵分解在数值计算中的应用

【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。

由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具．在广义逆矩阵问题和统计学方面都有重要应用。

关键词：

矩阵分解对角化逆矩阵范数条件数斜量法

引言

矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。

在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍；了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。

最后就是介绍了斜量法运用，并对其进行了些许改进。

1.矩阵的三角分解

数值求解线性方程族的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。

其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。

矩阵的一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。

考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵是可逆的，

（1-1）

设矩阵的第一列中至少有一个是非零元素（否则就是奇异矩阵）不妨设为若一般的记初等矩阵

（1-2）

根据矩阵理论的知识我们知道矩阵左乘矩阵，作用就是对换的第和第行，右乘的作用是对换第和第列。

因此通过取，则矩阵中的。

用第一行与其他行的线性组合可以将第一列对角线以下部分全部变为0。

这一过程写成矩阵形式即

（1-3）

其中

（1-4）

这里，注意到

（1-5）

并且该矩阵仍然是可逆矩阵。

所以中至少有一个不为0，设。

同理取，令如此逐步消元可得到

（1-6）

若再假设，取对换行，即可得该矩阵的形状为

（1-7）

在（1-6）中，这里，如果记则

（1-8）

很显然对任意的看，都有

，

所以他们都是非奇异的矩阵，而且他们的逆矩阵分别是

（1-9）

（1-10）

经过步消元法的得到矩阵

（1-11）

是一个上三角矩阵。

如果记

（1-12）

则显然线性方程组

（1-13）

与原方程组同解的。

通过以上变换实质上就是矩阵的分解假设消去过程中不实施矩阵行的交换，这时

（1-14）

由（1-11）经过消去过程后，矩阵就是一个上三角矩阵记则

（1-15）

而由（1-10）可知每个都是一个下三角矩阵。

容易验证

（1-16）

是一个下三角矩阵，如果记则可验证（1-16）的矩阵为

（1-17）

最后得到

（1-18）

其中是一个下三角矩阵，是一个上三角矩阵这样线性方程组就等价于依次求解方程组

（1-19）

这样就可以得到原方程组的解。

2.线性方程组的解的稳定性判定

线性方程组解的稳定性。

对于线性方程组

，（1-20）

如果解关于问题（即矩阵和向量）的微小变化（即舍入误差）不敏感，则（1-5）就是一个“好”问题，反之就是“坏”的或病态的问题。

而对求解上述方程组的一个算法，如果关于问题的“微小”变化（即误差的传播在一个可以接受的范围内），则算法成为稳定的算法（即好的），反之就是一个不稳定的算法。

有了范数的工具，就可以讨论线性方程组的“好坏”以及求解线性方程组的优劣问题。

定义1设是可逆矩阵，称是矩阵相对矩阵范数的条件数。

考虑到

（1-21）

即由于右端的扰动引起解的变化，比较它与原有问题

（1-22）

解的差异。

由（1-6）和（1-7）两式相减可以得到

（1-23）

记为上的向量范数及与它相容的矩阵范数，由（1-7）和（1-8）可得

（1-24）

（1-25）

综合上述两式，有

（1-26）

显然可以知道右端的扰动可能引起解扰动的上界。

显然越小右端的变化就越小。

对于第二种情况

（1-27）

（1-28）

故有

（1-29）

这也就是说

（1-30）

事实上进一步分析可以知道

（1-31）

可见由于问题扰动引起的解得扰动的是同一个因子。

故称为条件数。

记为cond（）当条件大就是病态矩阵，反之就是良态的。

因此了解条件数是必要的。

他可以帮助判断所得的数值解的可信度与合理性。

3.斜量法

设是实对称矩阵、正定矩阵。

考虑到线性方程组

（1-32）

的求解向量。

其中是未知向量，是已知向量。

该方程组的求解问题可以等价于下列泛函的求极值问题：

即（1-33）

即使式子（1-33）达到极小的向量即为式（1-32）的解，反之式（1-32）的解就是使使式子（1-33）达到极小的向量。

证：

记

由于是正定的故只有当时，才能使上式中的等号成立，否则就是“>”成立。

这就证明了式（1-32）问题等价于式（1-33）的极小问题。

斜量法就是一种求式（1-33）具体的实现方法。

它的规则是：

从，有，如果，那么就是式（1-33）的解；如果，那么令当变动时，表示一条过的直线，它的方向跟相同。

这条直线上找一点，使

（1-34）

也即在这条直线上使达到最小。

因为

有:

>0

因此取的到的就是

即

因而故有：

上面的是通过得出的。

求得了可以构造出于是可以在直线上求一点使得

对任意的的实数成立，这样的以此类推就有计算方程式：

给定，

（1-35）

从（1-35）中构造出来的的方法称为斜量法。

因为最小是在的方向上取得，而

（1-36）

因此称为斜量法。

斜量又称梯度，它的几何意义是使在某点的临近变化最快的方向，因此从求极小比其他方向上求极小下降得更快一些。

以上的斜量法只是从直线上找的，我们同样可以从上，甚至从一个n维空间中找，以二维空间也即，并且不等式对一切实数，都成立。

因此构造方程组：

（1-37）

只要，线性无关上书房成就可以唯一确定，。

特别的取，为另一个与线性无关的向量时，，有可能比斜量法中确定的要好，不可能差。

4.结束语

矩阵理论这门课程在工程中的应用是多方面的，在这里只选取了在求解线性方程组的的应用进行了简要的介绍。

矩阵计算问题看似简单，但要获得好的数值结果并不容易。

近年来随着电磁学的发展，计算电磁学的兴起，矩阵理论在计算感应场和远区场方面有了进一步的深入并随之出现的各种新的算法比如：

快速多极子方法，多层快速多极子法，共轭梯度与快速傅立叶法。

上面提到的快速算法，计算时间仍会很长。

为了减少迭代步数，就必须改善阻抗矩阵的条件数，于是有些学者将预条件技术进来。

常用的预条件技术有不完全LU预条件，稀疏近似逆预条件以及基于物理特性的预条件等。

预条件技术能或多或少减少迭代步数，但对于大目标来说，CPU时间依旧很大。

5.参考文献

【1】白峰杉数值计算分析引论[M]高等教育出版社

【2】黄廷祝,成孝予[M]线性代数与空间解析几何高等教育出版社

【2】黄廷祝,钟守铭,李正良矩阵理论[M]高等教育出版社

【3】蒋尔雄矩阵计算[M]高等教育出版社

自评:

详细的介绍了关于矩阵分解的应用以及矩阵范数在数值计算中的应用,最后引入了斜量法的计算,在向量的选择方面进行了进一步的分析由于所学理论知识有限不能进行详细的分析故.评分:

19。

8