微分方程教案docx.docx
《微分方程教案docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《微分方程教案docx.docx（92页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
微分方程教案docx
第七章微分方程
教学目的：
1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。
2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。
3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。
4．会用降阶法解下列微分方程：
y（n）f（x），yf（x,y）和yf（y,y）
5．理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分
方程。
7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。
9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。
教学重点：
1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法
2、可降阶的高阶微分方程y（n）f（x），yf（x,y）和yf（y,y）
3、二阶常系数齐次线性微分方程；
4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微
分方程；
教学难点：
1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程；
2、线性微分方程解的性质及解的结构定理；
3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。
§71微分方程的基本概念
函数是客观事物的内部联系在数量方面的反映利用函数关系又可以对客观事物的规
律性进行研究因此如何寻找出所需要的函数关系在实践中具有重要意义在许多问题中
往往不能直接找出所需要的函数关系但是根据问题所提供的情况有时可以列出含有要
找的函数及其导数的关系式这样的关系就是所谓微分方程微分方程建立以后对它进行
研究找出未知函数来这就是解微分方程
例1一曲线通过点（12）且在该曲线上任一点M（xy）处的切线的斜率为2x求这
曲线的方程
解设所求曲线的方程为yy（x）根据导数的几何意义可知未知函数yy（x）应满足关
系式（称为微分方程）
dy2x
（1）
dx
此外未知函数yy（x）还应满足下列条件
x
1时
y2
简记为y|x12
（2）
把
（1）式两端积分
得（称为微分方程的通解
）
y
2xdx
即y
x2
C
（3）
其中C是任意常数
把条件“x
1时
y
2”代入（3）
式
得
2
2
C
1
由此定出
C
1
把C
1
代入（3）
式
得所求曲线方程（称为微分方程满足条件
y|x12
的
解）
y
x2
1
例
2列车在平直线路上以
20m/s（相当于72km/h）的速度行驶
当制动时列车获得加速度
0
4m/s2
问开始制动后多少时间列车才能停住
以及列车在这段时间里行驶了多少路程
?
解设列车在开始制动后
t秒时行驶了s米
根据题意
反映制动阶段列车运动规律的函
数s
s（t）应满足关系式
d2s
0.4
（4）
dt2
此外
未知函数s
s（t）还应满足下列条件
t
0时
s
0
v
ds
20
简记为s|t0=0
s|t0=20
（5）
dt
把（4）式两端积分一次
得
v
ds
0.4t
C
（6）
dt
1
再积分一次
得
s
0
2t
2
1
2
（7）
Ct
C
这里C1C2都是任意常数
把条件v|t0
20代入（6）得
20C1
把条件s|
t0
0代入（7）
得0C
2
把C
C的值代入（6）及（7）
式得
1
2
v04t20（8）
s
0
2
t2
20
t
（9）
在（8）式中令v0
得到列车从开始制动到完全停住所需的时间
20
50（s）
t0.4
再把t50代入（9）
得到列车在制动阶段行驶的路程
s
0
2
502
2050
500（m）
几个概念
微分方程
表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程
叫微分方程
常微分方程
未知函数是一元函数的微分方程
叫常微分方程
偏微分方程
未知函数是多元函数的微分方程
叫偏微分方程
微分方程的阶
微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数
叫微分方程的阶
x3y
x2y
4xy
3x2
y（4）
4y
10y
12y
5y
sin2x
y（n）
1
0
一般n阶微分方程
F（x
y
y
y（n）
）
0
y（n）
f（x
y
y
y（n1））
微分方程的解
满足微分方程的函数
（把函数代入微分方程能使该方程成为恒等式
）叫做该
微分方程的解
确切地说
设函数y
（x）在区间I上有n阶连续导数
如果在区间I上
F[x
（x）
（x）
（n）
（x）]0
那么函数y
（x
）就叫做微分方程
F（x
y
y
y
（n）
0在区间I上的解
）
通解
如果微分方程的解中含有任意常数
且任意常数的个数与微分方程的阶数相同
这样的解叫做微分方程的通解
初始条件用于确定通解中任意常数的条件称为初始条件如
x
x0时
y
y0y
y
0
一般写成
yxx0y0
yxx0y0
特解
确定了通解中的任意常数以后
就得到微分方程的特解
即不含任意常数的解
初值问题
求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题
如求微分方程
y
f（x
y）满足初始条件y
xx
y的解的问题
记为
0
0
y
f（x,y）
yx
x0y0
积分曲线
微分方程的解的图形是一条曲线
叫做微分方程的积分曲线
例3验证
函数
x
1cos
kt
2sin
kt
是微分方程
d2x
2
x
0
的解
C
C
dt2
k
解求所给函数的导数
dx
kC1sinkt
kC2coskt
dt
d2x
2
C1
cos
2
sin
ktk
2（
C1
cos
sin
kt
）
dt2
k
ktkC2
ktC2
将
d2x
及x的表达式代入所给方程
得
dt
2
k
2
（
1cos
kt
2sin
kt
）
k
2（
1cos
kt
2sin
kt
）
0
C
C
C
C
这表明函数
x
C1coskt
C2sinkt
满足方程d2x
k2x
0
因此所给函数是所给方程的解
dt2
例4已知函数xCcoskt
Csinkt（k
0）是微分方程
d2x
2
x
0的通解
求满足初始
k
1
2
dt2
条件
x|t0Ax|t00
的特解
解由条件x|t0A及xC1cosktC2sinkt得
C1A
再由条件x|t00及x（t）kC1sinktkC2coskt得
C20
把C1、C2的值代入xC1cosktC2sinkt中得
xAcoskt
作业：
P298：
4
§7
2
可分离变量的微分方程
观察与分析
1
求微分方程
y
2的通解
为此把方程两边积分
得
x
y
x2
C
一般地
方程y
f（x）的通解为
y
fxdx
C（此处积分后不再加任意常数）
（）
2
求微分方程y
2xy2
的通解
因为y是未知的
所以积分
2xy2dx无法进行
方程两边直
接积分不能求出通解
为求通解可将方程变为
1
dy
2
xdx
两边积分
得
y2
1
x2C
或y
1
C
y
x2
可以验证函数
y
1
是原方程的通解
x2
C
一般地
如果一阶微分方程y
（x,y）能写成
g（y）dyf（x）dx
形式则两边积分可得一个不含未知函数的导数的方程
G（y）F（x）C
由方程G（y）F（x）C所确定的隐函数就是原方程的通解
对称形式的一阶微分方程
一阶微分方程有时也写成如下对称形式
（
）
dx
（
）
dy
0
Px
y
Qx
y
在这种方程中
变量x与y是对称的
若把x看作自变量、y看作未知函数
则当Q（x,y）
0时
有
dy
P（x,y）
dx
Q（x,y）
若把
y
看作自变量、
x
看作未知函数
则当（,
y
）0时
有
Px
dx
Q（x,y）
dy
P（x,y）
可分离变量的微分方程
如果一个一阶微分方程能写成
g（y）dy
f（x）dx（
或写成
y
（x）
（y））
的形式
就是说
能把微分方程写成一端只含
y的函数和
dy
另一端只含
x的函数和
dx
那
么原方程就称为可分离变量的微分方程
讨论下列方程中哪些是可分离变量的微分方程？
（1）
y
2xy
是
y1dy
2xdx
（2）3
x
2
5
xy
0
是
dy
（3
x
2
5）
xdx
（3）（
x
2
2
dx
xydy=0
不是
y
）
（4）
y
1
x
y
2
xy
2
是
y
（1
x）（1
2
y）
（5）
y
xy
是
10
y
x
dx
10
dy
10
（6）
y
x
y
不是
y
x
可分离变量的微分方程的解法
第一步
分离变量
将方程写成g（y）dy
f（x）dx的形式
第二步
两端积分
g（y）dy
f（x）dx
（
）
（
）
C
设积分后得Gy
Fx
第三步
求出由G（y）
F（x）
C所确定的隐函数y
（x）或
x
（y）
（
）
（
）
C
y
（
x
）或
x
（
y
）都是方程的通解
其中
（
）（
）
C
称为隐式（通）
Gy
Fx
Gy
Fx
解
例1求微分方程dydx2xy的通解
解此方程为可分离变量方程分离变量后得
1dy2xdx
y
两边积分得
1
dy2xdx
即ln|y|x2C1
从而
y
ex2C1
eC1ex2
因为
eC1仍是任意常数
把它记作C
便得所给方程的通解
y
Cex2
例2铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比已知t0时铀的含量为M0求
在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律
解铀的衰变速度就是
M（t）对时间t的导数dM
dt
由于铀的衰变速度与其含量成正比
故得微分方程dM
M
dt
其中
（>0）是常数
前的曲面号表示当t增加时M单调减少
即dM
0
dt
由题意
初始条件为M|
t0M0
将方程分离变量得
两边积分得
即lnM
dMdt
M
dM
（）dt
M
tlnC也即MCet
由初始条件
得M0Ce0
C
所以铀含量M（t）随时间t
t
变化的规律MM0e
例3
设降落伞从跳伞塔下落后
所受空气阻力与速度成正比
并设降落伞离开跳伞塔时
速度为零求降落伞下落速度与时间的函数关系
解设降落伞下落速度为v（t）降落伞所受外力为Fmgkv（k为比例系数）根据牛
顿第二运动定律Fma得函数v（t）应满足的方程为
mdvmgkv
dt
初始条件为
v|t
0
0
方程分离变量
得
dv
dt
mg
kv
m
两边积分
得
dv
dt
mgkv
m
1ln（mg
kv）
t
C1
k
m
即
mg
kt
ekC1
）
v
Cem（C
k
k
将初始条件v|t0
0代入通解得
C
mg
k
vmg
kt
于是降落伞下落速度与时间的函数关系为
（1em）
k
例4
求微分方程dy1x
y2
xy2的通解
dx
解方程可化为
dy（1x）（1y2）
dx
分离变量得
1dy（1x）dx
1y2
两边积分得
1
即
y
1
x
2
xC
1y2dy
（1x）dx
arctan
2
于是原方程的通解为
ytan（1x2
xC）
2
作业：
P304：
1
（1）
（2）（3）（7）（9）（10），2
（2）（4），3
§73齐次方程
齐次方程
如果一阶微分方程
dyf（x,y）中的函数f（x,y）可写成
dx
y的函数
即
（,
）
（
y
）则称这方程为齐次方程
fxy
x
x
下列方程哪些是齐次方程？
（1）xy
yy2
x2
0
是齐次方程
dy
y
y2
x2
dy
升级会员 