高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书文苏教版.docx

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高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语11集合及其运算教师用书文苏教版

1.1集合及其运算

1.集合与元素

（1）集合中元素的三个特征：

确定性、互异性、无序性.

（2）元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示.

（3）集合的表示法：

列举法、描述法、图示法.

（4）常见数集的记法

集合

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*（或N＋）

Z

Q

R

2.集合间的基本关系

关系

自然语言

符号语言

Venn图

子集

如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若a∈A则a∈B）

A⊆B

（或B⊇A）

真子集

如果A⊆B，并且A≠B

AB

（或BA）

集合相等

如果两个集合所含的元素完全相同（即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素）

A＝B

3.集合的基本运算

运算

自然语言

符号语言

Venn图

交集

由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

并集

由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合

A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}

补集

设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集

∁SA＝{x|x∈S，且x∉A}

【知识拓展】

1.若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.

2.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.

3.A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U（∁UA）＝A.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）任何一个集合都至少有两个子集.（　×　）

（2）{x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{（x，y）|y＝x2＋1}.（　×　）

（3）若{x2，1}＝{0，1}，则x＝0，1.（　×　）

（4）{x|x≤1}＝{t|t≤1}.（　√　）

（5）对于任意两个集合A，B，关系（A∩B）⊆（A∪B）恒成立.（　√　）

（6）若A∩B＝A∩C，则B＝C.（　×　）

1.（教材改编）设A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则A∪B＝__________.

答案　{－1，1，5}

解析　∵A＝{－1，5}，B＝{－1，1}，∴A∪B＝{－1，1，5}.

2.已知集合A＝{x|x2－6x＋5≤0}，B＝{x|y＝

}，则A∩B＝__________.

答案　{x|3≤x≤5}

3.（教材改编）设全集U＝R，A＝{x|x<1}，B＝{x|x≥m}.若A∩B＝∅，A∪B＝R，则m＝________.

答案　1

解析　∵A∩B＝∅，A∪B＝R，∴B＝∁UA，故m＝1.

4.（2016·天津改编）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则A∩B＝________.

答案　{1，4}

解析　因为集合B中，x∈A，所以当x＝1时，y＝3－2＝1；

当x＝2时，y＝3×2－2＝4；

当x＝3时，y＝3×3－2＝7；

当x＝4时，y＝3×4－2＝10；

即B＝{1，4，7，10}.

又因为A＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，4}.

5.（2016·苏州模拟）已知集合A＝{1，3，m}，B＝{3，4}，A∪B＝{1，2，3，4}，则m＝________.

答案　2

解析　∵A∪B＝{1，3，m}∪{3，4}＝{1，2，3，4}，

∴2∈{1，3，m}，∴m＝2.

题型一　集合的含义

例1　

（1）已知集合A＝{x|x∈Z，且

∈Z}，则集合A中的元素个数为________.

（2）若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________.

答案　

（1）4　

（2）0或

解析　

（1）∵

∈Z，

∴2－x的取值有－3，－1，1，3，

又∵x∈Z，∴x值分别为5，3，1，－1，

故集合A中的元素个数为4.

（2）若a＝0，则A＝

，符合题意；

若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝

.

综上，a的值为0或

.

思维升华　

（1）用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型是数集、点集还是其他类型的集合；

（2）集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意.分类讨论的思想方法常用于解决集合问题.

（1）（2016·盐城模拟）已知A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是________.

①－1∉A②－11∈A

③3k2－1∈A（k∈Z）④－34∉A

（2）设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝

，则b－a＝________.

答案　

（1）③　

（2）2

解析　

（1）∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.

（2）因为{1，a＋b，a}＝

，a≠0，

所以a＋b＝0，得

＝－1，

所以a＝－1，b＝1，所以b－a＝2.

题型二　集合的基本关系

例2　

（1）设A，B是全集I＝{1，2，3，4}的子集，A＝{1，2}，则满足A⊆B的B的个数是________.

（2）已知集合A＝{x|x2－2017x＋2016<0}，B＝{x|x

答案　

（1）4　

（2）[2016，＋∞）

解析　

（1）∵{1，2}⊆B，I＝{1，2，3，4}，

∴满足条件的集合B有{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}，共4个.

（2）由x2－2017x＋2016<0，解得1

故A＝{x|1

又B＝{x|x

可得a≥2016.

引申探究

本例

（2）中，若将集合B改为{x|x≥a}，其他条件不变，则实数a的取值范围是____________.

答案　（－∞，1]

解析　A＝{x|1

思维升华　

（1）空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；

（2）已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题.

（1）已知集合A＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，B＝{x∈R|ax－1＝0}，若B⊆A，则实数a的值为____________.

（2）（2016·连云港模拟）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1

答案　

（1）－

或

或0　

（2）（－∞，4]

解析　

（1）由题意知A＝{2，－3}.

当a＝0时，B＝∅，满足B⊆A；

当a≠0时，ax－1＝0的解为x＝

，

由B⊆A，可得

＝－3或

＝2，

∴a＝－

或a＝

.

综上，a的值为－

或

或0.

（2）当B＝∅时，有m＋1≥2m－1，则m≤2；

当B≠∅时，若B⊆A，如图，

则

解得2

综上，m的取值范围为（－∞，4].

题型三　集合的基本运算

命题点1　集合的运算

例3　

（1）（2017·江苏前黄中学月考）设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}，则（∁UA）∩B＝________.

（2）设全集U是实数集R，M＝{x|x＜－2或x＞2}，N＝{x|1≤x≤3}.如图所示，则阴影部分所表示的集合为________.

答案　

（1）{7，9}　

（2）{x|－2≤x＜1}

解析　

（1）U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，画出Venn图，如图所示，阴影部分就是所要求的集合，即（∁UA）∩B＝{7，9}.

（2）阴影部分所表示的集合为∁U（M∪N）＝（∁UM）∩（∁UN）＝{x|－2≤x≤2}∩{x|x＜1或x＞3}＝{x|－2≤x＜1}.

命题点2　利用集合的运算求参数

例4　

（1）设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x

（2）集合A＝{0，2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0，1，2，4，16}，则a的值为________.

答案　

（1）（－1，＋∞）　

（2）4

解析　

（1）因为A∩B≠∅，所以集合A，B有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a>－1.

（2）由题意可得{a，a2}＝{4，16}，∴a＝4.

思维升华　

（1）一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.

（2）运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化.

（1）已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x>5}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为________.

（2）已知集合A＝{x|x2－x－12≤0}，B＝{x|2m－1

答案　

（1）a≤2或a>3　

（2）[－1，＋∞）

解析　

（1）要使A∩B＝∅，则

或2a>a＋3，

∴a≤2或a>3.

（2）由x2－x－12≤0，得（x＋3）（x－4）≤0，即－3≤x≤4，所以A＝{x|－3≤x≤4}.又A∩B＝B，所以B⊆A.

①当B＝∅时，有m＋1≤2m－1，解得m≥2.

②当B≠∅时，有

解得－1≤m<2.

综上，m的取值范围为[－1，＋∞）.

题型四　集合的新定义问题

例5　若对任意的x∈A，

∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝{－1，0，

，1，2}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________.

答案　7

解析　具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和

共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，{

，2}，{－1，1}，{－1，

，2}，{1，

，2}，{－1，1，

，2}，共7个.

思维升华　解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点

（1）紧扣新定义.首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；

（2）用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质.

　定义一种新的集合运算△：

A△B＝{x|x∈A，且x∉B}.若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算△，B△A＝____________.

答案　{x|3≤x≤4}

解析　A＝{x|1

1.集合关系及运算

典例　

（1）已知集合A＝{1，3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝____________.

（2）设集合A＝{0，－4}，B＝{x|x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0，x∈R}.若B⊆A，则实数a的取值范围是________.

错解展示

解析　

（1）由A∪B＝A得B⊆A，∴m＝3或m＝

，

故m＝3或m＝0或m＝1.

（2）∵B⊆A，讨论如下：

①当B＝A＝{0，－4}时，

解得a＝1.

②当BA时，由Δ＝0得a＝－1，

此时B＝{0}满足题意，

综上，实数a的取值范围是{1，－1}.

答案　

（1）1或3或0　

（2）{1，－1}

现场纠错

解析　

（1）A＝{1，3，

}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝

，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3.

（2）因为A＝{0，－4}，所以B⊆A分以下三种情况：

①当B＝A时，B＝{0，－4}，由此知0和－4是方程x2＋2（a＋1）x＋a2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得

解得a＝1；

②当B≠∅且BA时，B＝{0}或B＝{－4}，

并且Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）＝0，

解得a＝－1，此时B＝{0}满足题意；

③当B＝∅时，Δ＝4（a＋1）2－4（a2－1）<0，

解得a<－1.

综上所述，所求实数a的取值范围是（－∞，－1]∪{1}.

答案　

（1）0或3　

（2）（－∞，－1]∪{1}

纠错心得　

（1）集合的元素具有互异性，参数的取值要代入检验.

（2）当两个集合之间具有包含关系时，不要忽略空集的情况.

1.（2016·江苏苏州暑期检测）已知集合A＝{0，1}，B＝{－1，0}，则A∪B＝________.

答案　{0，－1，1}

解析　由集合并集的定义可得A∪B＝{0，－1，1}.

2.（2017·扬州月考）已知集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝__________.

答案　{1}

解析　因为A＝{x|0

所以A∩B＝{1}.

3.（2016·盐城模拟）已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{1，3，5，7，9}，C＝A∩B，则集合C的子集的个数为________.

答案　8

解析　因为A∩B＝{1，3，5}，所以C＝{1，3，5}，故集合C的子集的个数为23＝8.

4.已知全集U＝R，集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{x∈R|x≥2}，则下图中阴影部分所表示的集合为__________.

答案　{1}

解析　因为A∩B＝{2，3，4，5}，而图中阴影部分为A去掉A∩B，所以阴影部分所表示的集合为{1}.

5.若集合A＝{（1，2），（3，4）}，则集合A的真子集的个数是________.

答案　3

解析　集合A中有两个元素，则集合A的真子集的个数是22－1＝3.

6.已知集合A＝{（x，y）|x，y∈R，且x2＋y2＝1}，B＝{（x，y）|x，y∈R，且y＝x}，则A∩B的元素的个数为_____________________________________________________________.

答案　2

解析　集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线y＝x，易知直线y＝x和圆x2＋y2＝1相交，且有2个交点，故A∩B中有2个元素.

7.已知集合A＝{x|y＝lg（x－x2）}，B＝{x|x2－cx<0，c>0}，若A⊆B，则实数c的取值范围是__________.

答案　[1，＋∞）

解析　由题意知，A＝{x|y＝lg（x－x2）}＝{x|x－x2>0}＝（0，1），B＝{x|x2－cx<0，c>0}＝（0，c）.由A⊆B，画出数轴，如图所示，得c≥1.

8.（2015·浙江改编）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1＜x≤2}，则（∁RP）∩Q＝__________.

答案　{x|1

解析　∵P＝{x|x≥2或x≤0}，∁RP＝{x|0＜x＜2}，

∴（∁RP）∩Q＝{x|1＜x＜2}.

9.设集合Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}，且P⊆Q，则满足条件的集合P的个数是________.

答案　8

解析　因为Q＝{x|2x2－5x≤0，x∈N}＝{x|0≤x≤

，x∈N}＝{0，1，2}，

所以满足P⊆Q的集合P的个数是23＝8.

10.设集合M＝

，N＝

，且M，N都是集合{x|0≤x≤1}的子集，如果把b－a叫做集合{x|a≤x≤b}的“长度”，那么集合M∩N的“长度”的最小值是________.

答案　

解析　由已知，可得

即0≤m≤

；

即

≤n≤1，取m的最小值0，n的最大值1，可得M＝

，N＝

，所以M∩N＝

∩

＝

，此时集合M∩N的“长度”的最小值为

－

＝

.

11.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__________.

答案　－

解析　∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3.

当m＋2＝3，即m＝1时，2m2＋m＝3，此时集合A中有重复元素3，不符合集合的互异性，舍去；

当2m2＋m＝3时，解得m＝－

或m＝1（舍去），

当m＝－

时，m＋2＝

≠3，符合题意，

∴m＝－

.

12.（2016·南通模拟）设全集U＝R，集合A＝{x|y＝

}，B＝{y|y＝ex＋1}，则A∪B＝__________.

答案　（－∞，－1]∪（1，＋∞）

解析　因为A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{y|y>1}，

所以A∪B＝{x|x>1或x≤－1}.

13.（2016·江苏无锡新区期中）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P*Q＝{z|z＝ab，a∈P，b∈Q}，若P＝{－1，0，1}，Q＝{－2，2}，则集合P*Q中元素的个数是________.

答案　3

解析　按P*Q的定义，P*Q中元素为2，－2，0，共3个.

14.已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是________.

答案　5

解析　当x＝0，y＝0时，x－y＝0；

当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；

当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；

当x＝1，y＝0时，x－y＝1；

当x＝1，y＝1时，x－y＝0；

当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；

当x＝2，y＝0时，x－y＝2；

当x＝2，y＝1时，x－y＝1；

当x＝2，y＝2时，x－y＝0.

根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个.

15.已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________.

答案　（－∞，－2]

解析　集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}

＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，

因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，

即实数a－b的取值范围是（－∞，－2].