小学五年级奥数题型专项突破附答案.docx
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小学五年级奥数题型专项突破附答案
小学五年级奥数
题型专项突破
（一）
图形问题
专题1长方形、正方形的周长
一、专题解析
同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
那么如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长呢？
还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的图形转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
二、精讲精练
【例题1】
有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
【思路导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。
因此，所求周长是18×4=72厘米。
练习1
1、右图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
2、右图由1个正方形和2个长方形组成，下方长方形长为50cm，求这个图形的周长。
3、
有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
【例题2】
一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？
【思路导航】把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。
把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。
176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。
练习2
1、有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
2、有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？
3、有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。
求划去的绿化带的面积是多少平方米？
【例题3】
已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？
【思路导航】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。
三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。
所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。
练习3
1、有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
2、一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成右图所示长方形，求所拼长方形的周长。
3、求右面图形的周长（单位：
厘米）。
【例题4】
右图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
【思路导航】我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和正好是4厘米。
把下面的线段全部平移到下面，其和正好是4厘米。
因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。
练习4
1、在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的周长（）乙的周长
2、右图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。
【例题5】
如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。
因为BC=EF，CF=DE，所以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。
因此，最大长方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。
练习5
1、下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？
（单位：
厘米）
2、右面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。
这个零件的周长是多少厘米？
3、有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如右图重叠着，求重叠图形的周长。
专题2长方形、正方形的面积
一、专题解析
同学们都知道，长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。
这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的图形转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
二、精讲精练
【例题1】
已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。
求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
【思路导航】从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。
因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。
求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。
练习1
1、有一块长方形草地，长20米，宽15米。
在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
2、正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。
原正方形的面积是多少平方厘米？
3、把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。
求这个正方形的边长是多少分米？
【例题2】
一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。
【思路导航】因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
练习2
1、右
图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
2、右面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：
平方厘米），求A和B的面积。
3、右图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。
【例题3】
把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
【思路导航】我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。
两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。
如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。
因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米）
练习3
1、一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350平方米。
这块地原来的面积是多少平方米？
2、一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。
原来正方形的面积是多少平方厘米？
3、有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。
求草坪的面积。
【例题4】
有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。
【思路导航】由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。
我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。
以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。
练习4
1、四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。
2、正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。
如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？
3、正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。
【例题5】
有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。
一个正方形的面积是多少平方厘米？
【思路导航】三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。
练习5
1、五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？
2、有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。
从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？
3、有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如右图），已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。
求原来小长方形的面积。
专题3长方体和正方体
（一）
一、专题解析
在数学竞赛中，有许多有关长方体、正方体的问题。
解答稍复杂的立体图形问题要注意几点：
1、必须以基本概念和方法为基础，同时把构成几何图形的诸多条件沟通起来；
2、依赖已经积累的空间观念，观察经过割、补后物体的表面积或体积所发生的变化；
3、求一些不规则的物体体积时，可以通过变形的方法来解决。
二、精讲精练
【例题1】
一个零件形状大小如下图：
算一算，它的体积是多少立方厘米？
表面积是多少平方厘米？
（单位：
厘米）
【思路导航】
（1）可以把零件沿虚线分成两部分来求它的体积，左边的长方体体积是10×4×2=80（立方厘米），右边的长方体的体积是10×（6－2）×2=80（立方厘米），整个零件的体积是80×2=160（立方厘米）；
（2）求这个零件的表面积，看起来比较复杂，其实，朝上的两个面的面积和正好与朝下的一个面的面积相等；朝右的两个面的面积和正好与朝左的一个面的面积相等。
因此，此零件的表面积就是（10×6＋10×4＋2×2）×2=232（平方厘米）。
想一想：
你还能用别的方法来计算它的体积吗？
练习1
1、一个长5厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体，被切去一块后（如图），剩下部分的表面积和体积各是多少？
2、把一根长2米的长方体木料锯成1米长的两段，表面积增加了2平方分米，求这根木料原来的体积。
3、有一个长8厘米，宽1厘米，高3厘米的长方体木块，在它的左右两角各切掉一个正方体（如图），求切掉正方体后的表面积和体积各是多少？
【例题2】
有一个长方体形状的零件，中间挖去一个正方体的孔（如图），你能算出它的体积和表面积吗？
（单位：
厘米）
【思路导航】
（1）先求出长方体的体积，8×5×6=240（立方厘米），由于挖去了一个孔，所以体积减少了2×2×2=8（立方厘米），这个零件的体积是240－8=232（立方厘米）；
（2）长方体完整的表面积是（8×5＋8×6＋6×5）×2=236（平方厘米），但由于挖去了一个孔，它的表面积减少了一个（2×2）平方厘米的面，同时又增加了凹进去的5个（2×2）平方厘米的面，因此，这个零件的表面积是236＋2×2×4=252（平方厘米）。
练习2
1、有一个形状如右图的零件，求它的体积和表面积。
（单位：
厘米）。
2、有一个棱长是4厘米的正方体，从它的一个顶点处挖去一个棱长是1厘米的正方体后，剩下物体的体积和表面积各是多少？
3、如果把上题中挖下的小正方体粘在另一个面上（如图），那么得到的物体的体积和表面积各是多少？
【例题3】
一个正方体和一个长方体拼成了一个新的长方体，拼成的长方体的表面积比原来的长方体的表面积增加了50平方厘米。
原正方体的表面积是多少平方厘米？
【思路导航】一个正方体和一个长方体拼成新的长方体，其表面积比原来的长方体增加了4块正方形的面积，每块正方形的面积是50÷4=12.5（平方厘米）。
正方体有6个这样的面，所以，原来正方体的表面积是12.5×6=75（平方厘米）。
练习3
1、把两个完全一样的长方体木块粘成一个大长方体，这个大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积的和减少了46平方厘米，而长是原来长方体的2倍。
如果拼成的长方体的长是24厘米，那么它的体积是多少立方厘米？
2、一根长80厘米，宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少了多少平方厘米？
3、把4块棱长都是2分米的正方体粘成一个长方体，它们的表面积最多会减少多少平方分米？
【例题4】
把11块相同的长方体砖拼成一个大长方体。
已知每块砖的体积是288立方厘米，求大长方体的表面积。
【思路导航】要求大长方体的表面积，必须知道它的长、宽和高。
我们用a、b、h分别表示小长方体的长、宽、高，显然，a=4h，即h=1/4a,2a=3b即b=2/3a，砖的体积是a*2/3a*1/4a=1/6a3。
由1/6a3=288可知，a=12，b=2/3*12=8,h=1/4*12=3。
大长方体的长是12×2=24厘米，宽12厘米，高是8＋3=11厘米，表面积就不难求了。
练习4
1、一块小正方体的表面积是6平方厘米，那么，由1000个这样的小正方体所组成的大正方体的表面积是多少平方厘米？
2、一个长方体的体积是385立方厘米，且长、宽、高都是质数，求这个长方体的表面积。
3、有24个正方体，每个正方体的体积都是1立方厘米，用这些正方体可以拼成几种不同的长方体？
用图画出来。
【例题5】
一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘为为单位的数都是质数。
这个长方体的体积和表面积各是多少？
【思路导航】长方体的前面和上面的面积是长×宽＋长×高=长×（宽＋高），由于此长方体的长、宽、高用厘米为单位的数都是质数，所以有209=11×19=11×（17＋2），即长、宽、高分别为11、17、2厘米。
知道了长、宽、高求体积和表面积就容易了。
练习5
1、有一个长方体，它的前面和上面的面积和是88平方厘米，且长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少？
2、一个长方体的长、宽、高是三个连续偶数，体积是96立方厘米，求它的表面积。
3、一个长方体和一个正方体的棱长之长相等，已知长方体长、宽、高分别是6分米、4分米、25分米，求正方体体积。
专题4长方体和正方体
（二）
一、专题解析
在长方体、正方体问题中，我们还会常常遇到这样一些情况：
把一个物体变形为另一种形状的物体；把两个物体熔化后铸成一个物体；把一个物体浸入水中，物体在水中会占领一部分的体积。
解答上述问题，必须掌握这样几点：
1、将一个物体变形为另一种形状的物体（不计损耗），体积不变；
2、两个物体熔化成一个物体后，新物体的体积是原来物体体积的和；
3、物体浸入水中，排开的水的体积等于物体的体积。
二、精讲精练
【例题1】
有两个无盖的长方体水箱，甲水箱里有水，乙水箱空着。
从里面量，甲水箱长40厘米，宽32厘米，水面高20厘米；乙水箱长30厘米，宽24厘米，深25厘米。
将甲水箱中部分水倒入乙水箱，使两箱水面高度一样，现在水面高多少厘米？
【思路导航】由于后来两个水箱里的水面的高度一样，我们可以这样思考：
把两个水箱并靠在一起，水的体积就是（甲水箱的底面积+乙水箱的底面）×水面的高度。
这样，我们只要先求出原来甲水箱中的体积：
40×32×20=25600（立方厘米），再除以两只水箱的底面积和：
40×32＋30×24=2000（平方厘米），就能得到后来水面的高度。
练习1
1、有两个水池，甲水池长8分米、宽6分米、水深3分米，乙水池空着，它长6分米、宽和高都是4分米。
现在要从甲水池中抽一部分水到乙水池，使两个水池中水面同样高。
问水面高多少？
2、有一个长方体水箱，从面量长40厘米、宽30厘米、深35厘米，箱中水面高10厘米。
放进一个棱长20厘米的正方体铁块后，铁块顶面仍高于水面。
这时水面高多少厘米？
3、一段钢材长15分米，横截面面积是1.2平方分米。
如果把它煅烧成一横截面面积是0.1平方分米的钢筋，求这根据钢筋的长。
【例题2】
将表面积分别为54平方厘米、96平方厘米和150平方厘米的三个铁质正方体熔成一个大正方体（不计损耗），求这个大正方体的体积。
【思路导航】因为正方体的六个面都相等，而54=6×9=6×（3×3），所以这个正方体的棱是3厘米。
用同样的方法求出另两个正方体的棱长：
96=6×（4×4），棱长是4厘米；150=6×（5×5），棱长是5厘米。
知道了棱长就可以分别算出它们的体积，这个大正方体的体积就等于它们的体积和。
练习2
1、有三个正方体铁块，它们的表面积分别是24平方厘米、54平方厘米和294平方厘米。
现将三块铁熔成一个大正方体，求这个大正方体的体积。
2、将表面积分别为216平方厘米和384平方厘米的两个正方体铁块熔成一个长方体，已知这个长方体的长是13厘米，宽7厘米，求它的高。
3、把8块边长是1分米的正方体铁块熔成一个大正方体，这个大正方体的表面积是多少平方分米？
【例题3】
有一个长方体容器，从里面量长5分米、宽4分米、高6分米，里面注有水，水深3分米。
如果把一块边长2分米的正方体铁块浸入水中，水面上升多少分米？
【思路导航】铁块的体积是2×2×2=8（立方分米），把它浸入水中后，它就占了8立方分米的空间，因此，水上升的体积也就是8立方分米，用这个体积除以底面积（5×4）就能得到水上升的高度了。
练习3
1、有一个小金鱼缸，长4分米、宽3分米、水深2分米。
把一块假山石浸入水中后，水面上升0.8分米。
这块假山石的体积是多少立方分米？
2、有一个正方体容器，边长是24厘米，里面注满了水。
有一根长50厘米，横截面是12平方厘米的长方形的铁棒，现将铁棒垂直插入水中。
问：
会溶出多少立方厘米的水？
3、有一块边长是5厘米的正方体铁块，浸没在一个长方体容器里的水中。
取出铁后，水面下降了0.5厘米。
这个长方体容器的底面积是多少平方厘米？
【例题4】
有一个长方体容器（如下图），长30厘米、宽20厘米、高10厘米，里面的水深6厘米。
如果把这个容器盖紧，再朝左竖起来，里面的水深应该是多少厘米？
【思路导航】首先求出水的体积：
30×20×6=3600（立方厘米）。
当容器竖起来以后，水流动了，但体积没有变，这时水的形状是一个底面积是20×10=200平方厘米的长方体。
只要用体积除以底面积就知道现在水的深度了。
练习4
1、有两个长方体水缸，甲缸长3分米，宽和高都是2分米；乙缸长4分米、宽2分米，里面的水深1.5分米。
现把乙缸中的水倒进甲缸，水在甲缸里深几分米？
2、有一块边长2分米的正方体铁块，现把它煅造成一根长方体，这长方体的截面是一个长4厘米、宽2厘米的长方形，求它的长。
3、像例题中所说，如果让长30厘米、宽10厘米的面朝下，这时的水深又是多少厘米？
【例题5】
长方体不同的三个面的面积分别为10平方厘米、15平方厘米和6平方厘米。
这个长方体的体积是多少立方厘米？
【思路导航】长方体不同的三个面的面积分别是长×宽、长×高、宽×高得来的。
因此，15×10×6=（长×宽×高）×（长×宽×高），而15×10×6=900=30×30。
所以，这个长方体的体积是30立方厘米。
练习5
1、一个长方体，不同的三个面的面积分别是25平方厘米、18平方厘米和8平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？
2、一个长方体，不同的三个面的面积分别是35平方厘米、21平方厘米和15平方厘米，且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少立方厘米？
3、一个长方体的体积是48立方厘米，并且长、宽、高是三个连续的偶数。
这个长方体的表面积是多少平方厘米？
专题5组合图形面积
（一）
一、专题解析
组合图形是由两个或两个以上的简单的几何图形组合而成的。
组合的形式分为两种：
一是拼合组合，二是重叠组合。
由于组合图形具有条件相等的特点，往往使得问题的解决无从下手。
要正确解答组合图形的面积，应该注意以下几点：
1、切实掌握有关简单图形的概念、公式，牢固建立空间观念；
2、仔细观察，认真思考，看清所求图形是由哪几个基本图形组合而成的；
3、适当采用增加辅助线等方法帮助解题；
4、采用割、补、分解、代换等方法，可将复杂问题变得简单。
二、精讲精练
【例题1】
一个等腰直角三角形，最长的边是12厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？
【思路导航】由于此三角形中只知道最长的边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式来计算它的面积。
我们可以假设有4个这样的三角形，且拼成了下图正方形。
显然，这个正方形的面积是12×12，那么，一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
练习1
1、求四边形ABCD的面积。
（单位：
厘米）
2、已知正方形ABCD的边长是7厘米，求正方形EFGH的面积。
3、有一个梯形，它的上底是5厘米，下底7厘米。
如果只把上底增加3厘米，那么面积就增加4.5平方厘米。
求原来梯形的面积。
【例题2】
正图正方形中套着一个长方形，正方形的边长是12厘米，长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段，其中长的一段是短的2倍。
求中间长方形的面积。
【思路导航】图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形，两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。
这两个正方形的边长分别是12÷（1＋2）=4（厘米）和4×2=8（厘米）。
中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。
即：
12×12-（4×4＋8×8）=64（平方厘米）
练习2
1、（如右图）已知大正方形的边长是12厘米，求中间最小正方形的面积。
2、正图长方形ABCD的面积是16平方厘米，E、F都是所在边的中点，求三角形AEF的面积。
3、求右图长方形ABCD的面积（单位：
厘米）。
【例题3】
四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，已知三角形AFH的面积是7平方厘米。
三角形CDH的面积是多少平方厘米？
【思路导航】设大正方形的边长是a，小正方形的边长是b。
（1）梯形EFAD的面积是（a+b）×b÷2，三角形EFC的面积也是（a+b）×b÷2。
所以，两者的面积相等。
（2）因为三角形AFH的面积=梯形EFAD的面积－梯形EFHD的面积，而三角形CDH的面积=三角形EFC的面积－梯形EFHD的面积，所以，三角形CDH的面积与三角形AFH的面积相等，也是7平方厘米。
练习3
1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，求阴影部分的面积。
2、右图中两个完全一样的三角形重叠在一起，求阴影部分的面积。
（单位：
厘米）
3、右图中，甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米？
【例题4】
右图中正方形的边长为8厘米，CE为20厘米，梯形BCDF的面积是多少平方厘米？
【思路导航】要求梯形的面积，关键是要求出上底FD的长度。
连接FC后就能得到一个三角形EFC，用三角形EBC的面积减去三角形FBC的面积就能得到三角形EFC的面积：
8×20÷2－8×8÷2=48平方厘米。
FD=48×2÷20=4.8厘米，所求梯形的面积就是（4.8＋8）×8÷2=51.2平
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