《应用概率统计》复习题及答案.docx
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《应用概率统计》复习题及答案
工程硕士《应用概率统计》复习题
考试要求：
开一页；题目类型：
简答题和大题；考试时间：
100分钟。
1.已矢卩P（A）=0.3,P（B）=0.4,P（AB）=0.5,求P（A一B）。
解：
因为P（A）=1-P（A）=1-0.3=0.7,
又因为AB二A-B二A-AB,ABA,
所以P（AB）二P（A）-P（AB）二0.7-0.5二0.2,
故P（A一B）=P（A）P（B）-P（AB）=0.70.4-0.2=0.9.
5
2•设随机变量X~b（2,p）,Y~b（4,p）,并且P（X_1）,求P（Y_1）。
9
解：
X〜b（2,p）,且P（X_1）二5,而P（X_1）=1-P（X=0）=1-（1-p）29
所以（1-p）2,解得p=1,从而Y〜b（4,1）,故
933
P（Y_1）=1-P（Y=0）=1-（1-）4.
381
3•随机变量X与Y相互独立，下表中给出了X与Y的联合分布的部分数值，请将表中其
12
4.设随机变量Y服从参数的指数分布，求关于x的方程x2Yx2Y-0没有
2
实根的概率。
解：
因为当厶二Y2-4（2Y-3）：
：
：
0时，即Y2-8Y-12：
：
：
0时没有实根，故所求的概率为P{Y2-8Y•12：
：
：
0}二P{2:
:
:
丫:
:
:
6}，而Y的概率密度
丄-》c
f（y）=12e,y0，从而p{2y
I0,y"
:
:
6}二
661
2f（y）dyJ2e
1
9y
2dy二
5.设离散型随机变量
X的可能取值为
-1,0,
1,3，相应的概率依次为
1357
?
?
?
3
16161616
求概率P（X|<2）。
解：
由题意可知P{X
35
石p{X「八荷p{X=3}
9
16
10
6.设X1,X2,…,X10是来自正态总体
N（0,0.32）的样本，求P］送X2〉1.44；>的概率。
解：
由定理可知1ax2
0.09◎
1
0.32y
10
x2~2（10），
所以P（|X|_2）=P{X=-1}P{X=0}P{X=1}二仁P{X=3}=1-^
查表可得3；.10（10）=15.987，
10
所以P丿瓦X：
a1.44》=P』
丄£X；>162
.0.09-’
0.10.
7.设XY相互独立，X〜N［-2,4］，Y服从参数v-1的指数分布，求E（XY），D（X-2Y）。
解：
因为X~N［-2,4］，Y服从参数-1的指数分布，由书上例题的结论可知
E（X）=」=-2,D（X）=:
；2=4,
11
E（Y）=：
=1,D（Y）叮2珂由因为XY相互独立，所以
E（XY）二E（X）E（Y）=-2,
D（X-2Y）=D（X）-D（2Y）=D（X）-4D（Y）=0.
8.设Xi,X2,X3,X4是总体X~N0,匚
的样本，求—
X1—X2_的分布。
22
3X4
2
X1+X2~N（0,2b）,解：
由题意可知
A（x2+x：
）~32
（2）,
CT
Xf2〜N（0,1）,
2二
所以X1X2
（X1X2）/Z~t
（2）.
X：
/2
—2x3
◎
9.现有两箱同类产品，第一箱装50件，其中有10件一等品；第二箱装30件，其中有18
件一等品。
现从两箱中任取一箱，再从取出的箱中任取一件产品，求：
（1）取到的产品是一等品的概率；
（2）已知取到的是一等品，问它来自第一箱的可能性有多大？
解：
设A表示"这个产品是一等品”，
B1表示“这个产品来自第一箱”，B1表示“这个产品来自第一箱”
1011831
贝煬得P（A|BJ,P（A|B2）,P（B1）=P（E2）
5053052
（1）由全概率公式有
11312
P（A）二P（A|BJP（B1）P（A|B2）P（B2）
52525
（2）由贝叶斯公式有
11
P（B1|A）
P（A|BJP（BJ2
P（A）2
10.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）
ke«x七y）
0,
x0,y0
其它
（1）求常数k的值；
（2）求（X,Y）的分布函数F（x,y）;
（3）判断X与Y是否相互独立；（4）求P（X-2Y<1）。
解：
（1）利用概率密度的性质
1「-；.-；f（x,y）dxdy
■be-be2x3y
00kedxdy二
6,得k=6,从而
k
f（x,y）=」
6eX2x3y）
o,
0,y0
其它
（2）由定义
F（x,y）=jJf（u,v）dvdu=«
xy-2u-3v,,
…6edvdu,
0,
x0,y0,
其它.
2x-3y\
（1-e）（1-e）,x
0,
0,y-0,
其它.
（3）（X,Y）关于X和Y
的边缘概率密度分别为
fx（x）=\
〔12e",x
0,
其它,.,fy（y）「
】18严知y>0,
其它.
0,
（4）（X,Y）的取值区域如图所示,
dy=13e-2-4e
x2yi1
11.设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，X~N（A®2），怜
:
0.5135.
X1
X2Xs
44
X1
显然f（x,y）=fx（x）fy（y），所以X与Y不相互独立。
XXX
236
（1）判断?
1,?
2,?
3中哪些是「的无偏估计;
（2）上述的无偏估计量中哪个更有效?
解⑴设D（X）=；「2由于
卷0X3^!
j1j1j_J
236236
E代）二E（®匹
24
XiX2X3
E（?
3^E（-7〒〒）
333
故?
1,?
2,?
3都是总体均值
iii
333
J的无偏估计量；
D（?
i）=D（&居“）
236
2<1-<1仁7「2
4936i8
X
D（?
2）讪亍
2丄_2丄_2
4i6i6
32
—CT
8
D（?
3）=dQ严今）
333
2i2i2i2
=ff+9993
因为D（?
3rD（?
2）D（?
）,所以
i2.设总体X的分布律如图所示，
、？
3更有效。
X
1
2
3
Pk
e
6
1-2日
其中参数二＞0未知,
试求二的矩估计和最大似然估计。
今有样本，1,1,1,3,2,1,3,2,2,1,2,2,3,1,12
17
解：
（1）E（R-v2=3（1-2"=3-3、£=丄（716233）=7
164
令E（R二乂得3-3二=~，解得二的矩估计为.
412
⑵设似然函数L（T713（1-2二）3,则dL^712（1-2二）2（13-32旳，
因为二.0,1-2二.0,令dLU）=0得，二的最大似然估计为？
二昱.
d日32
13.某灯泡生产车间为考察灯泡的寿命（单位：
小时），从生产的一批灯泡中随机抽取25
只，测得平均寿命x=1980小时，样本方差S2=3600小时。
假设灯泡的寿命X服从正
2
态分布N[.丄,；二，求：
（1）总体方差二2的置信水平为95%的置信区间；
⑵在显著性水平>-0.05条件下能否认为这批灯泡的平均寿命为2000小时?
解：
（1）因为n=25，X=1980,S=60,..=1-0.95=0.05，
t：
/2（n-1）=t0.025（24）=2.0639，
（n-1）,X
所以，的置信水平为95%的置信区间为
s
t/.2（n-1）
\n
60
1980-——2.0639,、一v'25
60
1980——2.0639
V25
=（1955.2332,2004.7668）
（2）设该批灯泡的寿命为X，其均值为J，
检验假设H0：
」=1980出：
」-1980
x-1998
该检验假设的拒绝域为冲=x笄％Z畑，
s/Jn
由题设条件有n=25，X=2000，S=60，=Z0.025=1.96，
2000-1998
60/125
1
显然卩=—<1.96，接受假设H0:
卩=1980，拒绝假设出：
卩式1980，
6
即在显著性水平二-0.05条件下能认为这批灯泡的平均寿命为2000小时。
《难得的是有份清闲时光，难得的是有种知途迷返，知之为知之，不
知为不知，知你冷暖，懂你悲欢，把你放在了心头上的人。
难得的是面对片深山广林、教你为人，怎样处事，面对人生；淡泊世事，践行伯乐，
明镜心扉。
心似无物化有物，道似无情渡有情，佛似无边胜有边，儒似学而不思厌也，山高不止于流水，流水不止于小桥，除非去哪里在看看，除非去哪里在历历，除非去哪里在观光！
一路走马观花，沐浴星星的乐园，想哪，念那。
白若溪在月牙泉唱着：
每当太阳落下西边的阳，也有美丽的月牙泉，它是天的镜子，也是沙漠的眼。
就在那片天的很远很远，从那年我月牙泉边走过，从此以后魂牵梦绕，也许是你们不懂得这种爱恋，除非也去那里看看。
我们都是追梦的人，有些人，有些事，该忘的那就都忘了吧。
这世界即没平白无故的付出，也没有平白无故的缘分，那我们就因更当珍惜，当你的眼泪忍不住快要流出来的时候。
睁大眼睛千万别眨眼，或许会让你看到世界由清晰、变模糊的全过程，在你心泪落下的那一瞬间，至此变得清澈明晰。
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