完整版平行四边形性质和判定习题答案详细可编辑修改word版.docx
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完整版平行四边形性质和判定习题答案详细可编辑修改word版
平行四边形性质和判定习题
L如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE1BD于E-CF丄BD于F.
（1）求证：
BE=DF：
X_勒
（2）若N分别为边AD、BC±的点，且DM=BN.试判断四边形MENF的形状——
必说明理由）.
2.如图所示，UAECF的对角线相交于点0,DB经过点O分別与AE,CF”p交于B.D.
求证：
四边形ABCD是平行四边形•
3・如图，在四边形ABCD中，AB=CD,BF=DE,AE丄BD・CF丄BD,垂足分别为E,F.
（1）求证JaABE=aCDF：
（2）若AC与BD交于点0,求证：
AO=CO.
4・已知：
如图，他ABC中，^BAC=90\DE.DF是△ABC的中位线，连接EF、
EF=AD・
5・如图，已知D是aABC的边AB上一点，CEIIAB,
DE交AC于点0,且OA=0C,猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关并加以证明・
6・如图，已知，UABCD中，AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证：
四边形MFNE是平行四边形•
7・如图，平行四边形ABCD,E、F两点在对角线BD上，且BE=DF,连接AE.EGCF,FA・求证：
四边形AECF是平行四边形•
&在UABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE.DF・求证：
四边形BEDF是平行四边形・
DBIIAC,且DB丄AC.E是AC的中点，求证：
BC=DE・
2
如图，在梯形ABCD中，ADIIBC,AD=24cm.BC=30cm,点P自点A向D以IcmZs的速度运动，到D点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形•问当P.Q同时
13.如图，已知四边形ABCD中，点E,F.G,H分别是AB、CD、AC.BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上.
求证：
EF和GH互相平分・
14.如图JoABCD中，MNIIAC.试说明MQ=NP.
15.已知：
如图所示「平行四边形ABCD的对角线AC,BD柑交于点6EF经过点0并且分别和AB.CD相交于点E,F,点G,H分别为OA,0C的中点.求证：
四边形EHFG是平行四边形.
-4
6如制已知的ABCD中,E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH.连接GE、EH、HF、FG.
（1）求证：
四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，尖余条件不变，则
（1）中的结论是否成立？
（不用说明理由）
17.如图，在aABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE、CF.
（1）求证JAF=CE：
（2）如果AC=EF,且ZACB=135\试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论・
18,如图平行四边形ABCD中.mBC=6（几点E、F分別在CD.BC的延长线上，AE||BD・EEhBB垂足为点F,DF=2
（1）求证：
D是EC中点；
（2）求FC的长.
19.如图，已知aABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB匕厶EFB=60。
，DC=EF・
（1）求证：
四边形EFCD是平行四边形：
（2）若BF=EF,求证：
AE=AD・
（1）
（2）
20.如图，四边形ABCD,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点•
请判断四边形EFGH的形状？
并说明为什么：
若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？
（1）
（2）
21.如图，aACD.aABE.aBCF均为直线BC同侧的等边三角形.
当ABhAC时，证明：
四边形ADFE为平行四边形：
当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？
直接写出构成图形的类型和柑应的条件.
24.如图LP为RtAABC所在平而内任意一点（不在直线AC上人厶ACBTO。
.M为AB边中点.操作：
以PA、PC为邻边作平行四边形PADC.连续PM并延长到点E.使ME=PM.连接
DE・
（1）
（2）
（3）
探究5
请猜想打线段DE有关的三个结论：
请你利用图2.图3选择不同位置的点P按上述方法操作：
经历
（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明:
如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；
（注意：
错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）
（4）若将"RkiABC”改为"任意AABC\K他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）.
C
25.在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个
27.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为0（0,0）、A（2,0）、B（1,1）,则第四个顶点C的坐标是多少？
28.已知平行四边形ABCD的周长为36am过D作AB.BC边上的髙DE、DF.
DF=5V3cir.求平行四边形ABCD的而积•
D
C
29.如图,在平而直角坐标系中，已知0为原点，四边形ABCD为平行四边形ABC的坐标分别是AC3,B（-2,3
V2）.C（2.3>/2）.点D在第一象限.
（1）求D点的坐标：
（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移伍个单位长度所得的四边形AiBiCiDi四个顶点的坐标是多少？
（3）求平行四边形ABCD与四边形A,B,C,D,重叠部分的面积？
30.如图所示.uaBCD中，AF平分乙BAD交BC于F,DEIAF交CB于E・求证：
BE=CF・
答案与评分标准
I.如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE1BD于E,CF1BDPF.
（1）求证JBE=DF：
N分别为边AD、BCI;的点，且DM=BN＞试判断四边形MENF的形状（不必说明理
由）.考点：
平行四边形的判是与性质：
全等三角形的判定与性质。
分析：
（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明△ABE竺aCDF即可得到BE=DF；
（2）根据平行四边形的判宦方法：
有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状.解答：
（l）v四边形ABCD是平行四边形，
•••AB=CD,ABIICD,
az.ABD=zCDB.
・・・AE丄BD于E,CFlBD于F,
•・/AEBnCFD=90°,
aaABE=aCDF（A.A.S・）,
•••BE=DF；
（2）四边形MENF是平行四边
形.证明：
有
（1）可知：
BE=DF,
•••四边形ABCD为平行四边行，
•••ADIIBC,
••/MDB=MBD,
vDM=BNr
aaDNF^aBNE,
aNE=MF,厶MFD=〔NEB,
uMFEnNEF,•••MFIINE,
四边形MENF是平行四边形.
点评：
本题考査了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质.
2・如图所示，oAECF的对角线相交于点0.DB经过点0,分别与AE,CF^D交于B.D.求证：
四边形ABCD是平行四边形.
考点：
专题：
分析：
边形.
证明：
•四边形AECF是平行四边形
解答：
aOE=OF,OA=OC,AEllCFr
AZ.DF0=z.BEOtz.FDO=z.EBOr
aaFDO^aEBO,
•••OD=OB,
•••0A=0C,
四边形ABCD是平行四边形.
点评：
本题考查平行四边形的性质企理和判泄圧理，以及全等三角形的判圧和性质.
3・如图，在四边形ABCD中，AB=CDrBF=DE.AE丄BD.
（1）求证JaABE=aCDF；
（2）若AC与BD交于点O,求证：
AO=CO.
考点：
平行四边形的判是与性质：
全等三角形的判楚与性质。
专题：
证明题.
分析：
⑴由BF=DE・町得BE=CF,由AE丄BD.CF丄BD.nT^kAEB=zCFD=90\又由AB=CD>在宜角三角形中利用HLR卩可证得：
aABE^aCDF：
（2）由aABE^aCDF,即可得乙ABE=zCDF,根据内错角相等，两直线平行，即可得AB||CD.又由AB=CD.根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO.解答：
证明：
（1）vBF=DE.
•••BF・EF=DE・EF,
即BE=DE,
vAE丄BD.CF丄BD.
••/AEBnCFD=90°,
・・・AB=CD,
/.RtAABE^RtACDF（HL）：
⑵•••△ABE纠CDF,
AZ.ABE=z.CDFt
•••ABIICD,
vAB=CD,
四边形ABCD是平行四边形，
aAO=CO.
点评：
此题考查了全等三角形的判世与性质与平行四边形的判是与性质.此题堆度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用•
5AD・求
但难度不大,
4・已知：
如图，在aABC中，rBAC=90\DE、DF是aABC的中位线，连接EF.
证：
EF=AD.
考点：
平行四边形的判世与性质：
三角形中位线立理。
专题：
证明题。
分析：
由DE、DF是aABC的中位线，根摇三角形中位线的性质，即可求得四边％AEDF是平行四边形，又乙BAC=90。
，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩角线相等即可得EF=AD.
解答：
证明：
•••DE.DF是△ABC的中位线，
•••DEIIAB,DFIIAC,
四边形AEDF是平行四边形，
又••2BAC=9O°,
•••平行四边形AEDF是矩形，
•••EF=AD・
点评：
此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判立与矩形的判楚与性质.此题综合性较强,解题的关键是注意数形结合思想的应用•5・如图，已知D是aABC的边AB上一点，CEIIAB,DE交AC于点O,且OA=OC.猜想线段CD勺线段AE的大小关系和位置关系，井加以证明.考点：
平行四边形的判立与性质。
专题：
探究型。
分析：
根据CEIIAB,DE交AC于点O,且OA=OC,求证△ADO卓aECO,然后求证四B形ADCE是平行四边形，即可得出结论.
解答：
解：
猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：
平行且相等.证明:
vCEllAB,
•••Z.DAO=zECO»
vOA=OC>
•••△ADO崟△ECO,
aAD=CE,
四边形ADCE是平行四边形，
.-.cdXae.
点评池题主要考査了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证aADO二△ECO,然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论.
6.如图，已知，uABCD中，AE=CF,M、N分别是DE、BF的中点.求证：
四边形MFNE是平行四边形.
考点：
平行四边形的判是打性质：
全等三角形的判楚与性质。
专题：
证明题。
分析：
平行四边形的判泄方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方而的
条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置，可选择利用"一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决.
解答：
证明：
由平行四边形可知，AD=CB.乙DAEnFCB,
又"AE=CF,竺△BCF,
aDE=BF»z.AED=z.CFB
又tM、N分别是DE、BF的中点…•.ME=NF
又由ABIIDC.得厶AEDu^EDC
••厶EDO厶BFC,•••MEIINF
四边形MFNE为平行四边形.
点评：
平行四边形的判左方法共有五种，应用时要认貞•领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
7・如图，平行四边形ABCD.E、F两点在对角线BD上，
且BE=DF・连接AE,EC,CF>FA.
求证：
四边形AECF是平行四边
形.考点：
平行四边形的判世与性
质。
专题：
证明题。
分析：
根据两条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形.解答：
证明：
连接AC交BD于点O,
•••四边形ABCD为平行四边形，
•••OA=OC,OB=OD.
・・・BE=DF,•••OE=OF・
「.四边形AECF为平行四边形.
点评：
平行四边形的判立方法共有五种，应用时要认真领
别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法.
&在uABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF,连接BE、DF.求证：
四边形BEDF是平行四边形.
考点：
平行四边形的判主与性质：
全等三角形的判定与性质：
等边三角形的性质。
专题：
证明题。
分析：
由题意先证zDAE=zBCF=60*,再由SASiiEaDCF^aBAE,继而题目得证.解答：
证明：
•「四边形ABCD是平行四边形，
•••CD=AB,AD=CB»z.DAB=z.BCD.
又made和△cbf都是等边三角形，
•••DE=BF,AE=CF・
厶DAE=zBCF=60°・•nDCFnBCD•厶BCF,
z.BAE=z.DAB-Z.DAEraz.DCF=z.BAE.
aaDCF^aBAE（SAS）.
•••DF=BE・
四边形BEDF是平行四边形.
点评：
本题考查了平行四边形的判左打性质，熟练掌握性质定理和判楚楚理是解题的关键.平行四边形的五种判左方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系.
9・如图所示，DBIIAC,且DB誌AC,E是AC的中点，求证：
乙
BC=DE.考点：
平行四边形的判宦与性质。
专题：
证明题。
分析：
可根抵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE是平行四边
形，即可证明BC=DE.
解答：
证明：
•••E是AC的中点，
•••EC—AC,
2
又•••DB=i\C,
2
•••DB=EC・
又vDBllEC.
四边形DBCE是平行四边形.
•••BC=DE・
点评：
本题考查了平行四边形的判迫与性质，熟练掌握性质立理和判立楚理是解题的关键.平行四边形的五种判左方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区別与联系•
10.醐TO.的彫ABCD中，ADIIBC.AD=24cm,BC=30cm,点P自点A向D以Icm/s的速度运动，到D点即停止.点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形.问当P.Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？
B
考点：
平行四边形的判楚与性质：
梯形。
专题：
动点型。
分析：
若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ,根据这个结论列出方程就可以求出时间.
解答：
解设P.Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t,PD=244,CQ=2t.
BQ=30-2t.
（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ,A244=2tAt=8A8秒后四边形PDCQ是平行四边形:
（2）若四边形APQB是平行四边形，贝IJAP=BQ,At=30-2tAt=10Al0秒后四边形APQB是平行四边形
点评：
此题主要考査了平行四边形的性质与判崔，不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应.
II.如图：
已知D、E、F分別是aABC边的中点,求证：
AEyDF互相平分.
专题：
证明题。
分析：
要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判泄，就必须先四边形ADEF为
平行四边形.
解答：
证明：
2、E、F分别是aABC%边的中点，根据中位线宦理知：
DEIIAC,DE=AF,
EFIIAB.EF=AD.
四边形ADEF为平行四边
形.故AE'jDF互相平分.
点评：
本题考查了平行四边形的判左与性质，熟练掌握性质定理和判楚楚理是解题的关键.三角形的中位线的性质运理，为证明线段相等和平行提供了依据.
12.己知：
如图.在“BCD中，对角线AC交BD于点0,四边形A0DE是平行四边形.
求证：
四边形ABOE、四边形DC0E都是平行四边
形.考点：
平行四边形的判宦与性质。
专题：
证明题。
分析：
因为uABCD,OB=OD.又AODE是平行四边形，AE=0D＞所以AE=0B.
又AEII0D.根据平行四边形的判宦，可推出四边形AB0E是平行四边形.同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形.
解答：
证明：
"oABCD中，对角线AC交BD于点0,
•••0B=0D,
又•••四边形A0DE是平行四边形，
•••AEII0D且AE=OD,
•••AEII0B且AE=OB・
「.四边形ABOE是平行四边形，
同理可证，四边形DC0E也是平行四边形.
点评：
此题要求掌握平行四边形的判;^定理：
有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
13.如图，已知四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD的中点，
并且点E、F、G、H有在同一条直线
上.求证：
EF和GH互相平分.
考点：
平行四边形的判楚与性质。
专题：
证明题。
分析：
要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：
平行四边形的对角线互相平分即可证明.
解答：
证明：
连接EG、GF、FH,HE,点E、F、G、H分别是
AB、CD、AC、BD的中点.
在aABC中，EG）BC：
在aDBC中，HF）BC,
22
aEG=HF.
同理EH=GF・
四边形EGFH为平行四边形.
.•.EF仃GH互相平分.
点评：
本题考査的是综合运用平行四边形的性质和判立楚理.熟练掌握性质宦理和判世理是解题的关键.平行四边形的五种判圧方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系•
14.如性boABCD中，MNIIAC,试说明MQ=NP・考点：
平行四边形的判泄与性质。
专题：
证明题。
分析：
先证AMQC为平行四边形，得AC=MQ.再证APNC为平行四边形，得AC=NP.进而求解.解答：
证明：
•••四边形ABCD是平行四边形，
.•.AMIIQC,
APIINC.又
•■•MNIIAC,
四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形.
.•.AC=MQAC=NP.
.■.MQ=NP.
点评：
本题考查的知识点为：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
15.已知：
如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC.BD相交于点0,EF经过点0并且分别和AB,CD相交于点E,F,点G,H分別为OA,0C的中点.求证：
四边形EHFG是平行四边形.
考点：
平行四边形的判主与性质：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题。
可分别由四边形ABCD是平行四边形和^OEB竺△OFD
分析：
要证四边形EHFG是平行四边形，需uEOG=OH.OE=OF,
得出.
解答：
证明：
如答图所示，
【•点0为平行四边形ABCD对角线AC.BD的交点，
•••OA=OC,OB=OD.
•••G,H分别为OA,OC的中点，
A,OH占C,
2
•••OG=OH・
又vABllCD,
•••厶1=z2•
在aOEB和△OFD中，
z.I=z2TOB=OD»z3=z4»
•••△OEB卓△OFD,
aOE=OF.
四边形EHFG为平行四边形.
点评：
此题主要考査平行四边形的判;^^:
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
16.如图，已知在"BCD中,E、F是对角线BD上的两点，BE=DF,点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH,连接GE、EH、HF、FG.
（1）求证：
四边形GEHF是平行四边形；
（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则
（1）中的结论是否成立？
（不用说明理由）考点：
平行四边形的判楚打性质：
全等三角形的判定与性质。
专题：
证明题：
探究型。
分析：
（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD,ABIICD,根据两直线平行内错角相等得乙GBEnHDF.再由SAS可iiE^GBE兰△HDF,利用全等的性质，证明zGEF=rHFE.从而得GE||HF,又GE=HF.运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得证.
（2）仍成立.可仿照
（1）的证明方法进行证
明.解答：
（1）证明：
•••四边形ABCD是平行四
边形，
•••AB=CD,ABIICD,
••厶GBE=^HDF・又•••AG=CH,
aBG=DH.
又•••BE=DF,•••△GBE崟aHDF.
aGE=HF,zGEB=zHFD-a^GEF=^HFE,
•••GEIIHF.•••四边形GEHF是平行四边形.
（2）解：
仍成立.（证法同上）
点评：
本题考査的知识点为：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
17.如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线打线段ED的延长线交于点F.连接AE、CF.
（1）求证：
AF=CE：
（2）如果AC=EF,且乙ACB=135。
，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结
论.考点：
平行四边形的判是与性质：
正方形的判立。
专题：
证明题。
分析：
（1）由AFIIEC，根摇平行线的性质得到乙DFAnDEC,乙DAFnDCE,而DA=DC,易证得△DAF^^DCE,得到结论；
（2）由AFIIEC,AF=CE.根据平行四边形的判立得到四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线相等即AC=EF.可判断平行四边形AFCE是矩形，则^FCE=zCFA=90\通过
ZACB=135%可得到乙FCA=135°・90°=45°・则易判断矩形AFCE是正方
形-解答：
（1）证明:
vAFHEC.az.DFA=z.DECtz.DAF=zDCEr•••D是AC的中点，
•••DA=DC»
aaDAF^aDCE,
aAF=CE；
（2）解：
四边形AFCE是正方形•理由如下:
•••AFIIEC,AF=CE.
「.四边形AFCE是平行四边形，
XvAC=EF,
•••平行四边形AFCE是矩形，azFCE=zCFA=90\
而ZACB=135\azFCA=135W=45\a^FAC=45\
•••FOFA.
矩形AFCE是正方形.
点评：
本题考查了平行四边形的判定与性质：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.也考查了矩形、正方形的判是方法.
18,如图平行四边形ABCD中，^ABC=6（r,点E、F分别在CD、BC的延长线上，AE||BD.EELBF,垂足为点F,DF=2
（1）求证：
D是EC中点；
（2）求FC的长.
考点：
平行四边形的判楚与性质。
分析：
（1）根据平行四边形的对边平行可以得到ABIICD.又AEIIBD.可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以AB=DE,故D是EC的中点；
（2
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