数学建模 人口迁移的动态分析.docx
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数学建模人口迁移的动态分析
数学建模期末考查题
数学建模期末考查是检验我们学习情况，也是培养我们的数学建模能力，团队合作能力，也有助于我们思考能力的锻炼，所以数学建模期末题我们会认真对待，用我们所学、尽我们所能的完成它。
我们选择的题是：
人口迁移的动态分析。
参与成员：
日期：
2010年12月15日
摘要
本文主要是计算A1、A2、A3三地区经过迁移后的人口及人口比例的变化，经过分析列出方程组，利用C程序计算出10年后、100年后三地区的人口数。
由计算所得绘制出人口数量的走势图，加以数据的分析，进而对时间无限的增长各地区人口比例的稳定性进行了很好的分析。
通过对该问题的数学模型建立，培养了团队合作能力，锻炼了我们的发散思维能力，增强了用数学方法解决实际问题的能力。
关键词：
人口迁移模型，研究性学习，VC++，递归方法
问题重述
在工业化的进程中，经济欠发达地区的人口会向经济发达地区迁移，形成一个稳定的朝向城市的人口流动趋势。
假设有三个地区
、
、
，第一年初三个地区的总人口为1亿人，各个地区人口在总人口中的比例分别是25％、35％、40％。
地区
每年有人口的1％流向地区
，有人口的1％流向地区
；地区
每年有人口的1％流向地区
，有人口的2％流向地区
；地区
每年有人口的3％流向地区
，有人口的2％流向地区
。
（1）假如三个地区的总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，问10年以后三个地区的人口各是多少？
100年以后呢？
时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。
（2）设地区
的人口自然增长率5‰；地区
的人口自然增长率为7‰；地区
的人人口自然增长率为11‰。
并且假定人口迁移是在每年初或年末一次完成的，问10年以后三个地区的人口各是多少？
100年以后呢？
时间无限增大各地区人口比例是否会稳定在某一个水平。
问题分析：
（1）、我们需要建立一个描述这3个地区人口流动的模型，并求出在多少年后A1、A2、A3地区的人口。
问题假设
1、A1、A2、A3地区是相对封闭的地区，人口的流动只发生在这3个地区。
2、问题中提过3个地区的总人口不变，所以假设该3个地区的出生率等于死亡率。
在问
（2）中则不是，A1、A2、A3地区的人口是增长的，没个地区的增长率不一样，而迁移的时候是在增长了人口后。
3、假设人口的迁移时是一次性完成的，在每年末完成。
4、每个地区的迁入、迁出的比例不变。
5、符号的说明：
Aij（i=1、2、3，j=1、2、3…..）：
Ai地区在j年后的人口数。
ri（i=1、2、3）：
为Ai地区的自然增长率。
问题的解决
问题
（1）我们从问题中获得的信息可以列出数学表达式如下：
设x为总人口数，则:
第一年：
A11=*x+*x*+*x*A21=*x+*x*+*x*A31=*x+*x*+*x*第二年则在第一年的基础上迁移：
A12=*A11+*A21*+*A31*A11*
A22=*A21+*A11*+*A31*A21*
A32=*A31+*A11*+*A21*A31*
第三年则在第二年的基础上迁移…以此类推，用递归的方法可求出某年的A1、A2、A3地区的人口。
问题（2:
）：
从问题中分析可知：
每个地区每年增长了人口后，则迁移人口数则与问题
（1）有所不同，用已知的数据和条件求A1、A2、A3地区迁移过后的人口。
设A1、A2、A3地区未增长时的总人口数是x,则：
第一年：
A11=*x*（1++*x*（1+*+*x*（1+*第二年则在第一年的基础上迁移，同时也有人口的增长：
A12=*A11*（1++*A21*（1+*+*A31*（1+*第三年在第二年的基础上迁移，同时也有人口的增长…..运用递归的方法就可求出某年的A1、A2、A3地区的人口。
对于我们来说求解问题时，首先想到的是运用MicrosoftVisualC++来编程:
问题
（1）的解：
运用C程序求出，在人口总数不变的情况下：
10年后地区人口数为:
A1=，A2=，A3=；
100年后地区人口数为：
A1=，A2=，A3=；
当时间无限增长时，用C++程序可求的3个地区的人口趋于稳定了，则人口比例也趋于稳定，也可作出人口—时间的曲线图，可看出曲线到后面已趋于稳定。
问题
（2）的解：
10年后地区的人口数:
A1=，A2=，A3=；
100年后地区人口数：
A1=0，A2=，A3=；
当时间无限增长时，用C++程序运算可求出A1与A2、、A2与A3的人口比例趋于~之间，则可知人口比例趋于稳定。
模型的结果分析
1、在总人口保持不变时，随着时间的推移，各地区的人口数量会趋于一个稳定值。
2、在人口自然增长率固定时，随着时间的推移，各地区的人口数量虽然不会达到一个稳定值，会不断地上升，但最终各地区的人口比例也会趋于一个稳定水平。
模型的优缺点：
优点：
人口迁移在有限年内找到其规律，建立模型，虽然模型求解要用到计算机帮助，但程序原理简单，求解方便。
缺点：
人口迁移局限在了一个很小的地方，忽略了其他地区的迁入和迁出到其他地区的情况，假定了3个地区的总人口不变和人口自然增长率不变，这是与实际不太相符的。
程序清单
#include<>
#include<>
voidcount_p（）
{
doublea,b,c;
inti;
intp;
doubleA1,A2,A3;
A1=;
A2=;
A3=4e7;
printf（"请输入需要计算的时间（以年为单位）:
"）;
scanf（"%d",&p）;
if（p<0）
{
while（p<0）
{
printf（"输入错误!
请重新输入!
\n"）;
scanf（"%d",&p）;
}
}
for（i=1;i<=p;i++）
{
a=A1;
b=A2;
c=A3;
A1=a+b*+c***;
A2=b+a*+c***;
A3=c+a*+b***;
}
printf（"%d年后个地区人口数统计如下：
\n",p）;
printf（"A1地区人口数：
%g\n",A1）;
printf（"A2地区人口数：
%g\n",A2）;
printf（"A3地区人口数：
%g\n",A3）;
}
count_p2（）
{
doublea,b,c;
inti;
intp;
doubleA1,A2,A3;
A1=;
A2=;
A3=4e7;
printf（"请输入需要计算的时间（以年为单位）:
"）;
scanf（"%d",&p）;
if（p<0）
{
while（p<0）
{
printf（"输入错误!
请重新输入!
\n"）;
scanf（"%d",&p）;
}
}
for（i=1;i<=p;i++）
{
a=A1;
b=A2;
c=A3;
A1=（a+A1*+（b+A2**+（c+A3**（a+A1**（a+A1**;
A2=（b+A2*+（a+A1**+（c+A3**（b+A2**（b+A2**;
A3=（c+A3*+（a+A1**+（b+A2**（c+A3**（c+A3**;
}
printf（"%d年后个地区人口数统计如下：
\n",p）;
printf（"A1地区人口数：
%g\n",A1）;
printf（"A2地区人口数：
%g\n",A2）;
printf（"A3地区人口数：
%g\n",A3）;
}
main（）
{
intj;
while
（1）
{
printf（"\t\t\t人口动态分析人口计算\n"）;
printf（"\t\t\t1流动趋势人口计算\n"）;
printf（"\t\t\t2考虑增长率在内的人口计算\n"）;
printf（"\t\t\t3退出程序\n"）;
printf（"请输入选择:
"）;
scanf（"%d",&j）;
if（j<0||j>3）
{
while（j<0||j>3）
{
printf（"\n"）;
printf（"输入错误！
请重新输入！
\n"）;
printf（"请输入选择:
"）;
scanf（"%d",&j）;
}
}
printf（"\n"）;
switch（j）
{
case1:
count_p（）;
break;
case2:
count_p2（）;
break;
case3:
system（"cls"）;
printf（"\n\n\n\n\n\n\t\t\t\t谢谢使用!
!
\n"）;
exit（0）;
}
}
}
附录：
问题
（1）100年内人口数目曲线：
问题
（2）100年内人口数目曲线：
参考文献
数学建模（第二版）徐全智杨晋浩编著
数学模型（第三版）姜启源谢金星叶俊编著
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