复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx
《复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复数的三角形式及乘除运算Word格式文档下载.docx（25页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
贝|Jargz/=ZAY?
z/=O\
argZ2=Zxoz2=“2
argz（z?
—z?
）=argz=Zxoz="
3）复数运算的几何意义
主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化如（cos0i+/sin〃］）Z2=/'
2（cos“2十isin”2）
①乘法：
z=zi•zi=n*n［cos（^2）+/sin（〃2）］
如图：
其对应的向量分别为OZ］oz2oz
T7
V1>
若〃2>
0则由OZ］逆时针旋转“2角模变为OZ］的门
<
2>
若〃2<
0则由向量o石顺时针旋转怏|角模变为门5所得向疑便是积Zl*Z2=Z的向量OZ。
为此，若已知复数乙的辐角为U，22的辐角为B求U+B时便可求岀Z1-Z2=ZaZ对应的辐角就是«
+P这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。
②除法才=召*6=色=±
[cos（q-02）+isin（&
]-&
2）]（其中0工0）
Z2r2
除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下：
1洱>
0时云顺时针旋转&
2角。
02V0时石逆时针旋转角。
例1・下列各式是否是三角形式，若不是，化为三角形式：
（1）Z1=-2（cos0+isin0）
（2）Z2=cos0-isiii0（3）Z3=-sm0-ricos0
（4）Z4=-sinO-icos0（5）Z5=cos60°
+isin30°
分析:
由三角形式的结构特征，确定判断的依据和变形的方向•变形时，可按照如下步骤进行:
首先确左复数z对应点所在象限（此处可假左e为锐角），其次判断是否要变换三角函数名称，最后确左辎角•此步骤可简称为“立点-泄名-定角"
•这样，使变形的方向更具操作性，能有效提高解决此类问题的正确率.
解：
（1）由“模非负”知，不是三角形式，需做变换:
Zi=Z（-cos6-ism0）
复平Zi（-2cose,-2sm0）在第三象限（假左0为锐角），余弦“-cosh已在前，不需再变换三角函数爼称，因此可用诱导公式％+旷将e变换到第三象限.AZ1=Z（-cosO-isin0）=2[cos（^e）+ism（7r+e）]
（2）由“加号连“知，不是三角形式
复平而上点Z2（cos0.-sinO）在第四象限（假定6为锐角），不需改变三角函数统称，可用诱导公式“2心旷或詬“将G变换到第四象限.
:
.Z2=cosG-isin0=cos（-O）+isin（-6）或Zf=cos0-isinG=cos（27r-0）-Hsin（2n-0）
考虑到复数辐角的不唯一性，复数的三角形式也不唯一.
（3）由“余弦前“知，不是三角形式
复平而上点Z3（-sm0,cosO）在第二象限（假立8为锐角），需改变三角函数名称，可用诱导公式
同理（4）
7t-0）-risin（
乙1=・sin0-icos0=cos（
7T-0）
（5）
Z5=cos60°
=
SOO）
=（叶1）
UISI+
••
=1
）
小结:
对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点•有了“左点一>
定冬T定角“这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.
例2.求复数Z=l+cos0+ism0（7r<
0<
27r）的模与辐角主值.
式子中多3个TS只有将消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消T：
v"
乙>
e>
”•••
（i）……（
=-2cos
（-cos
-isin
/•r=-2cos
ArgZ=7r+
+2kn（kGZ）
h<
tc+
2tt»
argZ=7r+
r=2cos
小结：
（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式•不少同学认为
argZ=
ArgZ=
错误之处在于他们没有去考虑8角范圖因此一泄要用“模非负，角相同，余弦前，加号连'
來判断是否为三角形式•看了这道例题，你一左能解决如Zi=l-cosO+isin0（jr<
27r）iZ2=l+cos0-isinO（7r<
27r）等类似问题.
例3.将
Z=（7T<
37T）化
为三角形式，并求其辐角主值.
三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦：
下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.
=cos20+isiii20
7i<
3n,・：
20<
6tt,
H<
20-47r<
2ni/.argZ=20-4^
掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一立要明确，即要分析式子结构•比较苴与三角形式的异同，从而决左变形的方向，采用正确的方法•要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如i-itge,tg0-i,i-ctge等.
2.复数Z的模IZI的几何意义是:
复平而上点Z到原点距离，复数模IZ「Z2l的几何意义是:
复平面上两点乙，
Z2之间距离.辐角几何意义是:
以X轴正半轴为角始边，以向量
在射线为终边的角记为Arg乙在［0,2町范围内的辐角称辐角主值，记为arg乙要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.
例4.若ZGc,IZ-2|wl,求IZI的最大,最小值和argZ范围.
解:
法一，数形结合
由IZ-2|<
1,知Z的轨迹为复平面上以（2,0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），IZI表示圆而上任一点到原点的距离.
显然1<
|Z|<
3,.-.121^=3,IZImin=l,
期设圆的两条切线为OA,OB,A,B为切点，由ICAI=1,IOCI=2知
兀,2兀）
【0,〕U[
法二:
用代数形式求解IZI的最大，最小值，设Z=x+yi（x,yGR）则由IZ-2|<
1得（x-2）2+y2<
L
V（x-2）2+y2<
l,/.（x-2）2<
l,A-1<
x-2<
1,A1<
x<
3,
•••l<
4x-3<
9,A1<
3.
在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择•务种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.
例5•复数Z满足arg（Z+3）=兀
求lz+6l+lz-3il最小值.
由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个左点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.
x0A=7T,而
IZ+6l+IZ-3il=l（z+3）-（-3）l+l（Z+3）-（3+3i）l
将B（・3,0）与C（3,3）连结，BC连线与0A交点为D,取Z+3为D点，表示复数时,
，•:
所求最小值
IZ+6l+IZ-3il=IBDI+IDCI=IBCI=3
应是平行于0A,且过点（-3,0）的射线BM,
・•.IZ+6l+IZ-3il就表示射线BM上点到点P（-6,0）和点Q（0,3）距离之和，连结PQ与射线BM交于点N,取E为N点表示复数时，
IZ+6l+IZ-3il=IPNI+INQI=IPQI=3
・•・所求最小值=3
两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.
例6.已知IZ・2i$l,求arg（Z-4i）M大值.
点Z轨迹是以（0,2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点乙连Z与点（0,4）得一以（0,4）为起点，Z为终点的向屋，将起点平移到原点，则8为其对应的辐角主值，显然arg（Z-4i）最大
值为7T.
3.两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，英几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.
由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形,平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.
复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.
例7.若
分别表示复数Zi=l+2
Z2=7+
i,求ZZ2OZi并判断AOZ亿2的形状.
欲求ZZQ乙，可计算
•••ZZ2OZ1=
由余弦左理，设lOZil二k.
k.
IOZ2l=2k（k>
0）IZiZ2l2=k2+（2k）2-2k.2k-cos
•••IZ1Z2』
而k?
+（
k）L（2k）2,•••△OZZ为有一锐角为60。
的直角三角形.
此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.
例&
已知直线/过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-l.O）和B（0.8）关于/的对称点都在C上，求直线/与抛物线C的方程.
如图，建立复平面xOy,设向量
对应复数分别为
xi+yii,xz+yzi.
由对称性，IOAl=IOAI=l,IOB1=IOBI=8,
X2+yzi=（xi+yii）8i=-8yi+8xii
设抛物线方程为y2=2px（p>
0）则有yr=2pxb
yz2=2px2.
yF=p2,XIOA1=L
）2+p2=l,•••
或・
（舍）
x,直线方程
・•・抛物线方程为y2=
为:
y=x.
对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效•尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.
五、易错点
1.并不是每一个复数都有唯一确左的辐角主值•如复数零的模为o,辐角主值不确左.
2.注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.
ArgZ=argZ+2kH（kGZ）,argZG[0,2tt）,辐角主值是[0.2町内的辐角，但辐角不一泄是辐角主值.
3.复数三角形式的四个要求:
模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.
4.注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.
六、练习
1.写岀下列复数的三角形式
（sinG-icosO）
2•设
Z=（-3+3i）YnG
N,当ZGR时，n为何值？
IdE
3.在复平面上A,B表示复数为a,p（a#O）,且片（l+i）s判断AAOB形状，并证明
Saaob=
参考答案:
1.
（1）ai=
[cos（
n-0）+isin
（3）
（sm0-icos0）=
[C
+0）-risiii（
+9）]
2.n为4的正整数倍
3.法一:
•••（!
◎卩=（l+i）a
AOB=
分别表示复数a,p-a,
由p-a=ai,得
+isin
=i=cos
•••ZOAB=90°
•••AAOB为等腰直角三角形.
Tl
1*1，
|=|p-a|=|ai|=|a|,A
|=|p|=|（l+i）a|=
l2+l
l2=|a|2+|a|2=
AAAOB为等腰直角三角形，•••
I-1
1=
在线测试
选择题
则实数a的值是（）
1.若复数z=（a+i）2的辐角是
D.
2.已知关于x的实系数方程x：
+x+p二0的两虚根/b满足a-b二3,则p的值是（）
A、一2
D、1
3.设兀〈0<
，则复数
的辐角主值为（）
A、2—30
B、30-2n
C、30
D、3（）-n
4.复数
cos+isin经过n
次乘方后，所得的幕等于它的共辄复数，则n的值等于（）
CA.3「B、12「C、6k-l（kGZ）「D.6k+l（kGZ）
5.z为复数，
广的图形是（）
A、直线
B、半实轴长为1的双曲线
C、焦点在X轴，半实轴长为的双曲线右支D、
不能确泄
答案与解析
答案：
1、B
2、C3.B4、C5、C
解析:
1・•/z=（a+i）==（a'
-l）+2ai,argz=
/.4pT二9,p=
故本题应选C・
=cos3
3・
（）+isin3（）・
故本题应选B・
4.由题意，得
）n=co
=cos
由复数相等的左义,得
解得
=2kn
（kGZ）,An=6k-1.故本题应选C・
a=的双曲线右支，故本题应选C.
复数三角形式的运算•疑难问题解析
1.复数的模与辐角：
（1）复数模的性质：
Izrz2I=Iz,I•Iz2I
（2）辐角的性质：
积的辐角等于各因数辐角的和.商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.一个复数n次幕（nWN）的辐角等于这个复数辐角的n倍.
注意：
（1）辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点.如下而两个问题:
若arg（2-i）=a,arg（3-i）=p,求a邙的值.（a+pG（3;
r,4町）
若arg（2-i）=a,arg（3-i）=p,求arg[（2-i）（3-i）]的值.
（2）两个复数乘积的辐角主值不一怎等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一泄等于辐角主值的差.
2.关于数的开方
（1）复数的开方法则：
r（cose+isui0）的n次方根是
几何意义:
对应
所以，复数Z的】】次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点.
（2）复数平方根的求法.
求・3・4i的平方根.
解法一利用复数代数形式.设的平方根为x+yi（x>
yGR）,则有
（x+yi）2=3・4L即（x2・y2）+2xyi=3・4i,由复数相等条件,得
A-3-4i的平方根是±
（l-2i）.法二利用复数的三角形式.
3・复数集中的方程.
关于实系数的一元二次方程的解法:
设ax2+bx+c=0（aRa,b,cER,XuX2为它的两个根）可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程.已知方程x2-4x+p=0两虚数根为a、卩，fi|a-p|=2求实数p的值.
解法1•••实系数一元二次方程虚根共馳设a=a+bn
p=a-bi»
（a,b£
R）/.a+p=2a=4,•：
a=2
又V|a-p|=2,AI2bil=2得5=±
1
即两根为2+i,2・i由韦达定理得:
p=（2+i）（2-i）=5
法2由芾达定理可得：
a+p=4,a0=p
于是a-p|2=|（a-p）2|=|（a+P）2-4ap|=|42-4pl=4,即l4-pl=l
又VA=42-4p<
0p>
4,Ap-4=1,得p=5
说明注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别.
一等式成立.若有两个虚根则上述等式不成立.因为丨a-卩IV（a-P）2.因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰.
已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值.
分析已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论.
解⑴若所给方程有实根则厶=（3a）2-4x2（a2-a）=a2+8a>
0,即a<
-8或a>
由条件得根必为1或-1，
①将x=l代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解.
即a2-a-2=0t/.a=-l或a=2（舍）
己知方程x2-（2i-l）x+3ni-i=0有实数根，求实数in.
分析求实数m的范用，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数.
利用求根公式或用韦达圮理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以.现仅介绍一种方法.解Vx»
mER,方程变形可得，（x2+x+3m）-（2x+l）i=0
复数例题讲解与分析
例1.已知x,y互为共轨复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i,求x,y.
［思路1］：
确圧一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。
［解法1］：
设x=a+bi（a.beR）,则y=a・bi,代入原等式得:
（2a）2-3（a2+b2）i=4-6i.
［思路2］：
*y互为共IT含义?
Tx+yGR,xyGR,则（x+y）2・3xyi=4・6i
•••由韦达立理可知：
x,y同是方程：
z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根.分别解两个一元二次方程则得x,y……（略）。
例2.已知zecjzl=l且z?
知,则复数（）
A、必为纯虚数B、是虚数但不一宦是纯虚数C、必为实数D、可能是实数也可能是虚数
【思路分析］：
选择题，从结论的一般性考虑，若z=±
l，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演
［法1］设z=a+bi.a,beR.a2+b2=l,a=iO.
则
Co
WR,故，应选
），
[法2]设z=cos0+ism0（0GR,且
ER.
[法4]•••当lzl=l时有z・
eR.
[法5]•••复数z为实数的充要条件是车
Vlzl=l时,
.•・GRo
［评注］:
复习中，概念一泄要结合意义落实到位，一方而深化理解（比如复数泄义：
“形如a+bi（a.bGR）的数叫复数“深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实：
……。
同时对一些概念的等价表达式要熟知。
（比如：
z=a+bieR
b=O（a.bGR）
z2>
0；
z+=0（z#0）
z2<
0：
）
在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法1,有同学可能会在算到
时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），多方理解挖掘题目立意。
例3.求使关于x的方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.
［思路分析1：
根的判别式只适用实系数的一元二次方程，虚系数有实根用两复数相等，化虚为实。
设xo为方程的一个实根，则有
xo2+mx<
）+2+（2xo+m）i=O
m=±
2
例4・设zWC,arg（z+2）=arg（z-2）=
［思路分析］:
常规思路，设z=a+bi,由已知列关于a.b的方程求解：
数形结合思想，由题设可知z+2对应的
z・2对应
点A在射线OA上，ZAOX=
的点B应在射线OB上,
ZBOX=
z对应的点Z应在AB中点上，IABI=4,AB〃0x轴,
ZAOB=
故而易得:
z=-l+
（略）
例5.设x,yGR,zi=2-
x+xi.
z?
已知IZll=IZ2b
y-i+（
・y）i,
arg
（1）求
）叫？
⑵设
求集合A={xlx=z2k+zA
kGZ｝中元素的个数。
理解已知＞IZll=IZ2b
含义?
=i,即zI=z2i->
两复数相等->
x,y.
l（cos
Zl=Z2i,
■
2-
x+xi=[
x=y=
［简评］1°
本题的解法体现了等价转化和整体的思想方法，如果把两个已知条件割裂开来去考虑，则需要解关于x,y的二元二次方程组，其运算肯立很麻烦：
2°
在计算题中对1的立方根之一:
w=-
i的特性要
熟知即w・—
3=1,
=w2,l+w+w2=
点设汁问题是命题经常参考的着眼点。
（2）［思路分析］:
由
（1）知
i,z的特性:
z=cos+isin
Z?
=W,,z2k+z-2k可怎么理解呢？
（Z2）k+（Z2Xk,7^+
言
+
WA\+M*Z+得Z
令I
当k=3m时，z2k+z*2k=（w3）m+（w3ym=2,
当k=3m+l时，z2k+z'
2k=w3m-w+w3m-wd=w+w,=w+
当k=3m+2时,z2k+z-2k=w3m.w2+w3m-w2=w2+w2=w3-w^+w3-w=w!
+w=-1,
综上可知，集合A中有2个元素。
［法2］：
Vlzl=
升级会员 