三角函数.docx

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三角函数

三角函数

百科名片

角θ的所有三角函数

三角函数（Trigonometric）是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。

它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。

通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。

另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。

现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

它包含六种基本函数：

正弦、余弦、正切、余切、正割、余割。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。

在物理学中，三角函数也是常用的工具。

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定义

起源

基本公式

相关计算

相关概念

高等数学内容

三角函数的性质定理

三角函数在解三次方程中的应用

定义

起源

基本公式

相关计算

相关概念

高等数学内容

三角函数的性质定理

三角函数在解三次方程中的应用

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定义

直角三角定义

　　它有六种基本函数（初等基本表示）：

三角函数数值表

　　（斜边为r，对边为y，邻边为x。

）

　　在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r，P点的坐标为（x，y）有

　　正弦函数sinθ=y/r正弦（sin）:

角α的对边比斜边

　　余弦函数cosθ=x/r余弦（cos）:

角α的邻边比斜边

　　正切函数tanθ=y/x正切（tan）:

角α的对边比邻边

　　余切函数cotθ=x/y余切（cot）:

角α的邻边比对边

　　正割函数secθ=r/x正割（sec）:

角α的斜边比邻边

　　余割函数cscθ=r/y余割（csc）:

角α的斜边比对边

　　以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

　　正矢函数versinθ=1-cosθ

　　余矢函数coversθ=1-sinθ

　　sinα、cosα、tanα的定义域：

　　sinα定义域无穷，值域【-1，+1】

　　cosα定义域无穷，值域【-1，+1】

　　tanα的定义域（-π/2+2kπ，π/2+2kπ），值域无穷

单位圆定义

　　六个三角函数也可以依据半径为1中心为原点的单位圆来定义。

单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形。

但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义，而不只是对于在0和π/2弧度之间的角。

它也提供了一个图像，把所有重要的三角函数都包含了。

根据勾股定理，单位圆的等式是：

　　x^2+y^2=1

　　图像中给出了用弧度度量的一些常见的角。

逆时针方向的度量是正角，而顺时针的度量是负角。

设一个过原点的线，同x轴正半部分得到一个角θ，并与单位圆相交。

这个交点的x和y坐标分别等于cosθ和sinθ。

图像中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1。

单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度，但保持斜边等于1的一种查看无限个三角形的方式。

　　对于大于2π或小于?

2π的角度，可直接继续绕单位圆旋转。

在这种方式下，正弦和余弦变成了周期为2π的周期函数：

　　对于任何角度θ和任何整数k。

　　周期函数的最小正周期叫做这个函数的"基本周期"（primitiveperiod）。

正弦、余弦、正割或余割的基本周期是全圆，也就是2π弧度或360度；正切或余切的基本周期是半圆，也就是π弧度或180度。

上面只有正弦和余弦是直接使用单位圆定义的，其他四个三角函数可以定义为：

　　在正切函数的图像中，在角kπ附近变化缓慢，而在接近角（k+1/2）π的时候变化迅速。

正切函数的图像在θ=（k+1/2）π有垂直渐近线。

这是因为在θ从左侧接进（k+1/2）π的时候函数接近正无穷，而从右侧接近（k+1/2）π的时候函数接近负无穷。

　　另一方面，所有基本三角函数都可依据中心为O的单位圆来定义，类似于历史上使用的几何定义。

特别

是，对于这个圆的弦AB，这里的θ是对向角的一半，sin（θ）是AC（半弦），这是印度的Aryabhata（AD476-550）介入的定义。

cos（θ）是水平距离OC，versin（θ）=1?

cos（θ）是CD。

tan（θ）是通过A的切线的线段AE的长度，所以这个函数才叫正切。

cot（θ）是另一个切线段AF。

sec（θ）=OE和csc（θ）=OF是割线（与圆相交于两点）的线段，所以可以看作OA沿着A的切线分别向水平和垂直轴的投影。

DE是exsec（θ）=sec（θ）?

1（正割在圆外的部分）。

通过这些构造，容易看出正割和正切函数在θ接近π/2（90度）的时候发散，而余割和余切在θ接近零的时候发散。

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起源

　　三角学"，英文trigonometry，法文trigonometrie，德文Trigonometrie，都来自拉丁文trigonometria。

现代三角学一词最初见於希腊文。

最先使用trigonometry这个词的是皮蒂斯楚斯（BartholomeoPitiscus,1516-1613），他在1595年出版一本著作<<三角学:

解三角学的简明处理>>，创造了这个新词。

它是由τριγωυου（三角学）及μετρειυ（测量）两字构成的，原意为三角形的测量，或者说解三角形。

古希腊文裏没有这个字，原因是当时三角学还没有形成一门独立的科学，而是依附於天文学。

因此解三角形构成了古代三角学的实用基础。

　　早期的解三角形是因天文观测的需要而引起的。

还在很早的时候，由於垦殖和畜牧的需要，人们就开始作长途迁移；后来，贸易的发展和求知的欲望，又推动他们去长途旅行。

在当时，这种迁移和旅行是一种冒险的行动。

人们穿越无边无际、荒无人烟的草地和原始森林，或者经水路沿著海岸线作长途航行，无论是那种方式，都首先要明确方向。

那时，人们白天拿太阳作路标，夜裏则以星星为指路灯。

太阳和星星给长期跋山涉水的商队指出了正确的道路，也给那些沿著遥远的异域海岸航行的人指出了正确方向。

　　就这样，最初的以太阳和星星为目标的天文观测，以及为这种观测服务的原始的三角测量就应运而生了。

因此可以说，三角学是紧密地同天文学相联系而迈出自己发展史的第一步的。

　　三角学问题的提出

　　三角学理论的基础，是对三角形各元素之间相依关系的认识。

一般认为，这一认识最早是由希腊天文学家获得的。

当时，希腊天文学家为了正确地测量天体的位置。

研究天体的运行轨道，力求把天文学发展成为一门以精确的观测和正确的计算为基础之具有定量分析的科学。

他们给自己提出的第一个任务是解直角三角形，因为进行天文观测时，人与星球以及大地的位置关系，通常是以直角三角形边角之间的关系反映出来的。

在很早以前，希腊天文学家从天文观测的经验中获得了这样一个认识：

星球距地面的高度是可以通过人观测星球时所采用的角度来反映的（如图一）；角度（∠ABC）越大，星球距地面（AC）就越高。

然而，星球的高度与人观测的角度之间在数量上究竟怎麼样呢？

能不能把各种不同的角度所反映的星球的高度都一一算出来呢?

这就是天文学向数学提出的第一个课题-制造弦表。

所谓弦表，就是在保持AB不变的情况下可以供查阅的表（如图二），AC的长度与∠ABC的大小之间的对应关系。

　　独立三角学的产生

　　虽然后期的阿拉伯数学家已经开始对三角学进行专门的整理和研究，他们的工作也可以算作是使三角学从天文学中独立出来的表现，但是严格地说，他们并没有创立起一门独立的三角学。

真正把三角学作为数学的一个独立学科加以系统叙述的，是德国数学家雷基奥蒙坦纳斯。

　　雷基奥蒙坦纳斯是十五世纪最有声望的德国数学家约翰?

谬勒的笔名。

他生於哥尼斯堡，年轻时就积极从事欧洲文艺复兴时期作品的收集和翻译工作，并热心出版古希腊和阿拉伯著作。

因此对阿拉伯数学家们在三角方面的工作比较了解。

　　1464年，他以雷基奥蒙坦纳斯的名字发表了《论各种三角形》。

在书中，他把以往散见在各种书上的三角学知识，系统地综合了起来，成了三角学在数学上的一个分支。

　　现代三角学的确认

　　直到十八世纪，所有的三角量：

正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始终被认为是已知圆内与同一条弧有关的某些线段，即三角学是以几何的面貌表现出来的，这也可以说是三角学的古典面貌。

三角学的现代特徵，是把三角量看作为函数，即看作为是一种与角相对应的函数值。

这方面的工作是由欧拉作出的。

1748年，尤拉发表著名的《无穷小分析引论》一书，指出：

"三角函数是一种函数线与圆半径的比值"。

具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为圆心，以某定长为半径作圆，由角的一边与圆周的交点P向另一边作垂线PM后，所得的线段OP、OM、MP（即函数线）相互之间所取的比值（如图八），sinα＝MP/OP，cosα＝OM/OP，tanα＝MP/OM等。

若令半径为单位长，那麼所有的六个三角函数又可大为简化。

　　尤拉的这个定义是极其科学的，它使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特徵的分析性学科。

正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形去进行自由的运算。

一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。

这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。

严格地说，这时才是三角学的真正确立。

　　"正弦"的由来

　　公元五世纪到十二世纪，印度数学家对三角学作出了较大的贡献。

尽管当时三角学仍然还是天文学的一个计算工具，是一个附属品，但是三角学的内容却由於印度数学家的努力而大大的丰富了。

　　三角学中"正弦"和"余弦"的概念就是由印度数学家首先引进的，他们还造出了比托勒密更精确的正弦表。

　　我们已知道，托勒密和希帕克造出的弦表是圆的全弦表，它是把圆弧同弧所夹的弦对应起来的。

印度数学家不同，他们把半弦（AC）与全弦所对弧的一半（AD）相对应，即将AC与∠AOC对应（如图五），这样，他们造出的就不再是"全弦表"，而是"正弦表"了。

　　印度人称连结弧（AB）的两端的弦（AB）为"吉瓦"，是弓弦的意思；称AB的一半（AC）为"阿尔哈吉瓦"。

后来"吉瓦"这个词译成阿拉伯文时被误解为"弯曲"、"凹处"，阿拉伯语是"dschaib"。

十二世纪，阿拉伯文被转译成拉丁文，这个字被意译成了"sinus"。

　　三角学输入我国，开始於明崇祯4年（1631年），这一年，邓玉函、汤若望和徐光启合编《大测》，作为历书的一部份呈献给朝廷，这是我国第一部编译的三角学。

在《大测》中，首先将sinus译为"正半弦"，简称"正弦"，这就成了正弦一词的由来。

　　"弦表"问世

　　根据现在的认识，弦表的制作似应该是由一系列不同的角出发，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，A'C'，A''C''…之间的距离。

然而，第一张弦表制作者希腊文学家希帕克（Hipparchus，约前180~前125）不是这样作，他采用的是在同一个固定的圆内，去计算给定度数的圆弧AB所对应的弦AB的长（如图三）。

这就是说，希帕克是靠计算，而不是靠工具量出弦长来制表的，这正是他的卓越之处。

希帕克的原著早已失传，现在我们所知关於希帕克在三角学上的成就，是从公元二世纪希腊著名天文学家托勒密的遗著《天文集》中得到的。

虽然托勒密说他的这些成就出自希帕克，但事实上不少是他自己的创造。

　　据托勒密书中记载，为了度量圆弧与弦长，他们采用了巴比伦人的60进位法。

把圆周360等分，把它的半径60等分，在圆周和半径的每一等分中再等分60份，每一小份又等分为60份，这样就得出了托勒密所谓的第一小份和第二小份。

很久以后，罗马人把它们分别取名为"partesminutaeprimae"和"partesminutaesecundae"；后来，这两个名字演变为"minute"和"second"，成为现在角和时间的度量上"分"和"秒"这两个单位得起源。

　　建立了半径与圆周的度量单位以后，希帕克和托勒密先著手计算一些特殊圆弧所对应的弦长。

比如60o弧（1/6圆周长）所对的弦长，正好是内接正六边形的边长，它与半径相等，因此得出60o弧对应的弦值是60个半径单位（半径长的1/60为一个单位）；用同样的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所对应的弦值（如图四）。

有了这些弧所对应的弦值，接著就利用现在所称的"拖勒密定理"，来推算两条已知所对弦长的弧的"和"与"差"所对的弦长，以及由一条弧所对的弦长来计算这条弧的一半所对的弦长。

正是基於这样一种几何上的推算。

他们终於造出了世界上第一张弦表。

　　补充:

60进制

　　60进制以度为单位,将圆周分成360等份,每一份所对的圆心角叫做1度,1度有60分,1分60秒。

在时间上,1小时有60分,1分60秒。

这种60进制起源於巴比伦是1854年由欣克斯（EdwardHincks,1792-1866）研究泥板上的楔形文字所发现的,这些泥板是公元前2300-1600年的遗物。

EdwardHincks是爱尔兰人,以解读埃及的象形文字及巴比伦的楔形文字著称於世。

　　巴比伦人为什麼用60作为进位的基数呢？

这是很有趣的问题，引起后人的种种猜测。

以下我就列举几个有趣的例子。

（1）数学史家M.康托尔（MoritzBenediktCantor,1829-1920）曾认为他们最初以360天为一年。

将圆周分为360度,太阳就每天行一度。

又圆内恰好可以连续作6条等於半径长的弦,每一条弦所对的长是60度,基数60或者由此而来。

但根据考证,巴比伦人很早就知道太阳年是365日,太阴年（12个月）是354或355日,因此这种假说很难成立。

康托尔后来也放弃了这种说法。

（2）60这个数字的选择是因为它是许多简单数字2,3,4,5,6,10,12,……的倍数,从而它的1/2,1/3,1/4,1/5,……都是整数,用起来比较方便。

这种想法早在希腊时代的赛翁就已指出,近年来又有勒夫勒等人提倡。

然而有人认为这是违反历史事实的,因为记数制度不可能由某些学者为了"科学目的"自由创造出来,而是悠久历史发展的结果。

　　（3）克维奇（G.Kewitsch）在1904年提出,当时两河流域有两个民族,1个用10进制,一个用6进制。

两种制度混合调和就形成60进制。

10进制是容易理解的,因为人们用10个指头来计算,而6进制是用一只手来计算,5个指头表示1至5,握拳表示6,6以上,就要进位了。

其实有几种意见认为是和指算有关。

用手指计算的确在某些地区和年代流行过,甚至在近代也是如此。

像我国也有"掐指一算"的说法。

　　总之,对於基数60的起源,至今还没有一致公认的看法。

中国在殷商时代（公元前16-11世纪）,就开始用干支纪日、纪年，从甲子起,60一个循环,周而复始,叫做六十花甲子。

可以说和巴比伦异曲同工,不过没有发展为进位值。

　　＊希伯诸斯据说曾编著了第一个三角函数表，这个成就使他赢得了「三角学之父」的称谓。

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基本公式

同角三角函数关系式

　　·平方关系：

三角函数

　　sin^2（α）+cos^2（α）=1

　　cos^2（a）=（1+cos2a）/2

　　tan^2（α）+1=sec^2（α）

　　sin^2（a）=（1-cos2a）/2

　　cot^2（α）+1=csc^2（α）

　　·积的关系：

　　sinα=tanα×cosα

　　cosα=cotα×sinα

　　tanα=sinα×secα

　　cotα=cosα×cscα

　　secα=tanα×cscα

　　cscα=secα×cotα

　　·倒数关系：

　　tanα·cotα＝1

　　sinα·cscα＝1

　　cosα·secα＝1

　　·商的关系：

　　sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα

　　cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα

　　直角三角形ABC中,

　　角A的正弦值就等于角A的对边比斜边,

　　余弦等于角A的邻边比斜边

　　正切等于对边比邻边,

　　·对称性

　　180度-α的终边和α的终边关于y轴对称。

　　-α的终边和α的终边关于x轴对称。

　　180度+α的终边和α的终边关于原点对称。

　　180度-α的终边关于y=x对称。

　　·诱导公式

　　公式一：

　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

　　cos（2kπ＋α）＝cosα

　　tan（kπ＋α）＝tanα

　　cot（kπ＋α）＝cotα

　　公式二：

　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π＋α）＝－sinα

　　cos（π＋α）＝－cosα

　　tan（π＋α）＝tanα

　　cot（π＋α）＝cotα

　　公式三：

　　任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin（－α）＝－sinα

　　cos（－α）＝cosα

　　tan（－α）＝－tanα

　　cot（－α）＝－cotα

　　公式四：

　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π－α）＝sinα

　　cos（π－α）＝－cosα

　　tan（π－α）＝－tanα

　　cot（π－α）＝－cotα

　　公式五：

　　利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（2π－α）＝－sinα

　　cos（2π－α）＝cosα

　　tan（2π－α）＝－tanα

　　cot（2π－α）＝－cotα

　　公式六：

　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin（π/2＋α）＝cosα

　　cos（π/2＋α）＝－sinα

　　tan（π/2＋α）＝－cotα

　　cot（π/2＋α）＝－tanα

　　sin（π/2－α）＝cosα

　　cos（π/2－α）＝sinα

　　tan（π/2－α）＝cotα

　　cot（π/2－α）＝tanα

　　sin（3π/2＋α）＝－cosα

　　cos（3π/2＋α）＝sinα

　　tan（3π/2＋α）＝－cotα

　　cot（3π/2＋α）＝－tanα

　　sin（3π/2－α）＝－cosα

　　cos（3π/2－α）＝－sinα

　　tan（3π/2－α）＝cotα

　　cot（3π/2－α）＝tanα

　　（以上k∈Z）

　　补充：

6×9＝54种诱导公式的表格以及推导方法（定名法则和定号法则）

f（β）→

　　f（β）＝↘

　　β↓　　sinβ　　cosβ　　tanβ　　cotβ　　secβ　　cscβ

360k+αsinαcosαtanαcotαsecαcscα

90°-αcosαsinαcotαtanαcscαsecα

90°+αcosα-sinα-cotα-tanα-cscαsecα

180°-αsinα-cosα-tanα-cotα-secαcscα

180°+α-sinα-cosαtanαcotα-secα-cscα

270°-α-cosα-sinαcotαtanα-cscα-secα

270°+α-cosαsinα-cotα-tanαcscα-secα

360°-α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

﹣α-sinαcosα-tanα-cotαsecα-cscα

　定名法则

　　90°的奇数倍+α的三角函数，其绝对值与α三角函数的绝对值互为余函数。

90°的偶数倍+α的三角函数与α的三角函数绝对值相同。

也就是"奇余偶同，奇变偶不变"

　　定号法则

　　将α看做锐角（注意是"看做"），按所得的角的象限，取三角函数的符号。

也就是"象限定号，符号看象限".（或为"奇变偶不变，符号看象限"　

　　2在Kπ/中如果K为奇数时函数名不变，若为偶数时函数名变为相反的函数名。

正负号看原函数中α所在象限的正负号。

关于正负号有可口诀；一全二正弦，三切四余弦，即第一象限全部为正，第二象限角正弦为正，第三为正切为正，第四象限余弦为正。

）

　　比如:

90°+α。

定名：

90°是90°的奇数倍，所以应取余函数；定号：

将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，余弦为负。

所以sin（90°+α）=cosα,cos（90°+α）＝-sinα这个非常神奇，屡试不爽~

　　还有一个口诀"纵变横不变，符号看象限"，例如：

sin（90°+α），90°的终边在纵轴上，所以函数名变为相反的函数名，即cos，将α看做锐角，那么90°+α是第二象限角，第二象限角的正弦为正，所以sin（90°+α）=cosα

　　·两角和与差的三角函数

　　cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβ

　　cos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβ

　　sin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβ

　　tan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）

　　tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）

　　·和差化积公式：

　　sinα+sinβ=2sin[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

　　sinα-sinβ=2cos[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

　　cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos[（α-β）/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[（α+β）/2]sin[（α-β）/2]

　　·积化和差公式：

　　sinα·cosβ=（1/2）[sin（α+β）+sin（α-β）]

　　cosα·sinβ=（1/2）[sin（α+β）-sin（α-β）]

　　cosα·cosβ=（1/2）[cos（α+β）+cos（α-β）]

　　sinα·sinβ=-（1/2）[cos（α+β）-cos（α-β）]

　　·倍角公式：

　　sin（2α）=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα）

　　cos（2α）=（cosα）^2-（sinα）^2=2（cosα）^2-1=1-2（sinα）^2　

　　tan（2α）=2tanα/（1-tan^2α）

　　·三倍角公式：

　　sin（3α）=3sinα-4sin^3α=4sinα·sin（60°+α）sin（60°-α）

　　cos（3α）=4cos^3α-3cosα=4cosα·cos（60°+α）cos（60°-α）

　　tan（3α）=（3tanα-tan^3α）/（1-3tan^2α）=tanαtan（π/3+α）tan（π/3-α）

　　·半角公式：

　　sin（α/2）=±√（（1-cos