高考数学高中数学知识点第一章 13一.docx

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高考数学高中数学知识点第一章13一

§1.3　算法案例

（一）

学习目标

　1.了解辗转相除法与更相减损术中的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析.2.了解秦九韶算法及利用它提高计算效率的本质.3.对简单的案例能设计程序框图并写出算法程序.

知识点一　求两个数的最大公约数的算法

思考　注意到8251＝6105×1＋2146，那么8251与6105这两个数的公约数和6105与2146的公约数有什么关系？

答案　显然8251与6105的公约数也必是2146的约数，同样6105与2146的公约数也必是8251的约数，所以8251与6105的最大公约数也是6105与2146的最大公约数.

梳理　求两个数的最大公约数有2种算法：

（1）辗转相除法

①辗转相除法，又叫欧几里得算法，是一种求两个正整数的最大公约数的古老而有效的算法.

②辗转相除法的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n.

第二步，计算m除以n所得的余数r.

第三步，m＝n，n＝r.

第四步，若r＝0，则m，n的最大公约数等于m；

否则，返回第二步.

（2）更相减损术的运算步骤

第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数.若是，用2约简；若不是，执行第二步.

第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数.

知识点二　求n次多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值的算法

求n次多项式的值的算法，有一种比较好的算法叫秦九韶算法.

秦九韶算法的一般步骤：

把一个n次多项式f（x）＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写成如下形式：

（…（（anx＋an－1）x＋an－2）x＋…＋a1）x＋a0，求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即

v2＝v1x＋an－2，

v3＝v2x＋an－3，

…

vn＝vn－1x＋a0，

这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值.

1.辗转相除法的基本步骤是用较大的数除以较小的数.（　√　）

2.求最大公约数的方法除辗转相除法之外，没有其他方法.（　×　）

3.编写辗转相除法的程序时，要用到循环语句.（　√　）

类型一　辗转相除法

例1　试用辗转相除法求325,130,270的最大公约数.

考点　辗转相除法

题点　利用辗转相除法求三个数的最大公约数

解　∵325＝130×2＋65,130＝65×2，∴325与130的最大公约数是65.∵270＝65×4＋10,65＝10×6＋5,10＝5×2，∴65与270的最大公约数是5，故325,130,270这三个数的最大公约数为5.

反思与感悟　辗转相除法的实质：

对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成一对新数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时的小数就是原来两个正整数的最大公约数.

跟踪训练1　用辗转相除法求204与85的最大公约数时，需要做除法的次数是.

考点　辗转相除法

题点　用辗转相除法求两个数的最大公约数

答案　3

解析　用辗转相除法可得204÷85＝2……34,85÷34＝2……17,34÷17＝2，此时可以判断204与85的最大公约数是17，做了3次除法得出结果.

类型二　更相减损术

例2　试用更相减损术求612,396的最大公约数.

考点　更相减损术

题点　利用更相减损术求最大公约数

解　方法一　612÷2＝306,396÷2＝198,306÷2＝153,198÷2＝99，∴153－99＝54,99－54＝45,54－45＝9,45－9＝36,36－9＝27,27－9＝18,18－9＝9.∴612,396的最大公约数为9×22＝36.

方法二　612－396＝216,396－216＝180,216－180＝36,180－36＝144,144－36＝108,108－36＝72,72－36＝36.故36为612,396的最大公约数.

反思与感悟　用更相减损术的算法步骤

第一步，给定两个正整数m，n，不妨设m＞n.

第二步，若m，n都是偶数，则不断用2约简，使它们不同时是偶数，约简后的两个数仍记为m，n.

第三步，d＝m－n.

第四步，判断“d≠n”是否成立，若是，则将n，d中的较大者记为m，较小者记为n，返回第三步；否则，2kd（k是约简整数2的个数）为所求的最大公约数.

跟踪训练2　用更相减损术求261和319的最大公约数.

考点　更相减损术

题点　利用更相减损术求最大公约数

解　∵319－261＝58，

261－58＝203，

203－58＝145，

145－58＝87，

87－58＝29，

58－29＝29，

∴319与261的最大公约数为29.

类型三　秦九韶算法的应用

例3　用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝－2时的值.

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

解　f（x）＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1

＝（（（（x＋5）x＋10）x＋10）x＋5）x＋1.

当x＝－2时，有

v0＝1；

v1＝v0x＋a4＝1×（－2）＋5＝3；

v2＝v1x＋a3＝3×（－2）＋10＝4；

v3＝v2x＋a2＝4×（－2）＋10＝2；

v4＝v3x＋a1＝2×（－2）＋5＝1；

v5＝v4x＋a0＝1×（－2）＋1＝－1.

故f（－2）＝－1.

反思与感悟　

（1）先将多项式写成一次多项式的形式，然后运算时从里到外，一步一步地做乘法和加法即可.这样比直接将x＝－2代入原式大大减少了计算量.若用计算机计算，则可提高运算效率.

（2）注意：

当多项式中n次项不存在时，可将第n次项看作0·xn.

跟踪训练3　用秦九韶算法计算多项式f（x）＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值.

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

解　根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：

f（x）＝（（（（（x－12）x＋60）x－160）x＋240）x－192）x＋64.

由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值：

v0＝1；

v1＝1×2－12＝－10；

v2＝－10×2＋60＝40；

v3＝40×2－160＝－80；

v4＝－80×2＋240＝80；

v5＝80×2－192＝－32；

v6＝－32×2＋64＝0.

所以当x＝2时，多项式的值为0.

1.1337与382的最大公约数是（　　）

A.3B.382

C.191D.201

考点　辗转相除法

题点　利用辗转相除法求两个数的最大公约数

答案　C

解析　1337＝382×3＋191,382＝191×2，所以1337与382的最大公约数是191.

2.用秦九韶算法计算多项式f（x）＝6x6＋5x5＋4x4＋3x3＋2x2＋x＋7在x＝0.4时的值时，需做加法和乘法的次数的和为（　　）

A.10B.9

C.12D.8

考点　秦九韶算法

题点　秦九韶算法中算法的次数问题

答案　C

解析　f（x）＝（（（（（6x＋5）x＋4）x＋3）x＋2）x＋1）x＋7，

∴做加法6次，乘法6次，∴6＋6＝12（次），故选C.

3.用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为.

考点　更相减损术

题点　更相减损术的应用

答案　先除以2，得到18与67

解析　∵36与134都是偶数，∴第一步应为先除以2，得到18与67.

4.已知a＝333，b＝24，则使得a＝bq＋r（q，r均为自然数，且0≤r＜b）成立的q和r的值分别为.

考点　辗转相除法

题点　辗转相除法的简单应用

答案　13,21

解析　用333除以24，商即为q，余数就是r.333÷24＝13……21.

5.用辗转相除法求85与51的最大公约数时，需要做除法的次数为.

考点　辗转相除法

题点　辗转相除法中除法次数问题

答案　3

解析　85＝51×1＋34，

51＝34×1＋17，

34＝17×2＋0.

1.辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小的数即为原来两个数的最大公约数.

2.更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.

3.用秦九韶算法求多项式f（x）当x＝x0的值的思路为

（1）改写；

（2）计算

（3）结论f（x0）＝vn.

一、选择题

1.1037和425的最大公约数是（　　）

A.51B.17

C.9D.3

考点　辗转相除法

题点　利用辗转相除法求两个数的最大公约数

答案　B

解析　∵1037＝425×2＋187，

425＝187×2＋51，

187＝51×3＋34，

51＝34×1＋17，

34＝17×2，

即1037和425的最大公约数是17.

2.利用秦九韶算法求当x＝2时，f（x）＝1＋2x＋3x2＋4x3＋5x4＋6x5的值，下列说法正确的是（　　）

A.先求1＋2×2

B.先求6×2＋5，第二步求2×（6×2＋5）＋4

C.用f

（2）＝1＋2×2＋3×22＋4×23＋5×24＋6×25直接运算求解

D.以上都不正确

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

答案　B

3.45和150的最大公约数和最小公倍数分别是（　　）

A.5,150B.15,450

C.450,15D.15,150

考点　辗转相除法

题点　利用辗转相除法求两个数的最大公约数

答案　B

解析　利用辗转相除法求45和150的最大公约数：

150＝45×3＋15,45＝15×3，所以45和150的最大公约数为15.所以45和150的最小公倍数为15×（45÷15）×（150÷15）＝450，故选B.

4.用秦九韶算法计算f（x）＝6x5－4x4＋x3－2x2－9x，需要加法（或减法）与乘法运算的次数分别为（　　）

A.5,4B.5,5

C.4,4D.4,5

考点　秦九韶算法

题点　秦九韶算法中的算法次数问题

答案　D

解析　n次多项式，当最高次项的系数不为1时，需进行n次乘法；若各项均不为0，则需进行n次加法（或减法），缺一项就减少一次加法（或减法）运算，而这个5次多项式的5次项系数不为1，缺常数项，因而乘法次数为5，加法（或减法）次数为5－1＝4.故选D.

5.运行下面的程序，当输入168,72时，输出的结果是（　　）

INPUT　m，n

DO

　r＝mMODn

　m＝n

　n＝r

LOOPUNTIL　r＝0

PRINT　m

END

A.12B.24

C.36D.72

考点　辗转相除法

题点　和辗转相除法有关的程序问题

答案　B

解析　分析程序可知，该程序是求168和72的最大公约数，故应输出的结果是24.

6.用秦九韶算法求多项式f（x）＝1＋2x＋x2－3x3＋2x4当x＝－1时的值时，v2的结果是（　　）

A.－4B.－1

C.5D.6

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

答案　D

解析　此题的n＝4，a4＝2，a3＝－3，a2＝1，a1＝2，a0＝1，由秦九韶算法的递推关系式

得v1＝v0x＋a3＝2×（－1）－3＝－5，v2＝v1x＋a2＝－5×（－1）＋1＝6，故选D.

7.三个数4557,1953,5115的最大公约数是（　　）

A.31B.93

C.217D.651

考点　辗转相除法

题点　利用辗转相除法求三个数的最大公约数

答案　B

8.已知f（x）＝x5＋2x3＋3x2＋x＋1，应用秦九韶算法计算当x＝3时的值时，v3的值为（　　）

A.27B.11

C.109D.36

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

答案　D

解析　将函数式化成如下形式，

f（x）＝（（（（x＋0）x＋2）x＋3）x＋1）x＋1.

由内向外依次计算：

v0＝1，

v1＝1×3＋0＝3，

v2＝3×3＋2＝11，

v3＝11×3＋3＝36，

v4＝36×3＋1＝109，

v5＝109×3＋1＝328.

9.下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a等于（　　）

A.0B.2C.4D.14

考点　更相减损术

题点　和更相减损术有关的程序问题

答案　B

解析　开始：

a＝14，b＝18，

第一次循环：

a＝14，b＝4；第二次循环：

a＝10，b＝4；

第三次循环：

a＝6，b＝4；第四次循环：

a＝2，b＝4；

第五次循环：

a＝2，b＝2.

此时，a＝b，退出循环，输出a＝2.

二、填空题

10.用辗转相除法计算60和48的最大公约数，需要做的除法次数是.

考点　辗转相除法

题点　利用辗转相除法求两个数的最大公约数

答案　2

解析　60＝48×1＋12,48＝12×4，故需做2次除法.

11.用更相减损术求459和357的最大公约数，需进行减法的次数为.

考点　更相减损术

题点　更相减损术中减法次数问题

答案　5

解析　利用更相减损术，有459－357＝102,357－102＝255,255－102＝153,153－102＝51,102－51＝51，共进行了5次减法.

12.用秦九韶算法求多项式f（x）＝2＋0.35x＋1.8x2－3x3＋6x4－5x5＋x6当x＝－1时的值时，令v0＝a6，v1＝v0x＋a5，…，v6＝v5x＋a0，则v3的值是.

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

答案　－15

解析　f（x）＝x6－5x5＋6x4－3x3＋1.8x2＋0.35x＋2＝（（（（（x－5）x＋6）x－3）x＋1.8）x＋0.35）x＋2，

所以v0＝1，v1＝1×（－1）－5＝－6，

v2＝（－6）×（－1）＋6＝12，

v3＝12×（－1）－3＝－15.

三、解答题

13.用辗转相除法和更相减损术两种方法，求三个数72,120,168的最大公约数.

考点　更相减损术

题点　辗转相除法与更相减损术的综合应用

解　（辗转相除法）：

先求120,168的最大公约数.

因为168＝120×1＋48,120＝48×2＋24,48＝24×2，

所以120,168的最大公约数是24.

再求72,24的最大公约数.

因为72＝24×3，所以72,24的最大公约数为24，

即72,120,168的最大公约数为24.

（更相减损术）：

先求120,168的最大公约数.

168－120＝48,120－48＝72,72－48＝24,48－24＝24，

所以120,168的最大公约数为24.

再求72,24的最大公约数.

72－24＝48,48－24＝24，

所以72,24的最大公约数为24，

即72,120,168的最大公约数为24.

四、探究与拓展

14.秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3,2，则输出v的值为（　　）

A.9B.18

C.20D.35

考点　秦九韶算法

题点　和秦九韶算法有关的程序问题

答案　B

解析　初始值n＝3，x＝2，

程序运行过程如下：

v＝1

i＝2　　v＝1×2＋2＝4

i＝1　　v＝4×2＋1＝9

i＝0　　v＝9×2＋0＝18

i＝－1　跳出循环，输出v＝18，故选B.

15.用秦九韶算法求多项式f（x）＝x5＋0.11x3－0.15x－0.04当x＝0.3时的值.

考点　秦九韶算法

题点　利用秦九韶算法求多项式的值

解　将f（x）写为f（x）＝（（（（x＋0）·x＋0.11）x＋0）x－0.15）x－0.04.

按从内到外的顺序，依次计算多项式的值：

v0＝1，

v1＝1×0.3＋0＝0.3，

v2＝0.3×0.3＋0.11＝0.2，

v3＝0.2×0.3＋0＝0.06，

v4＝0.06×0.3－0.15＝－0.132，

v5＝－0.132×0.3－0.04＝－0.0796.

∴当x＝0.3时，f（x）的值为－0.0796.1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。

2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。

3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。

4、一个数学家越超脱越好。

5、数学是各式各样的证明技巧。

6、数学是锻炼思想的体操。

7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。

8、数学是研究抽象结构的理论。

9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。

10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。

它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。