信号检测.docx

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信号检测

第一章信号检测

统计检测理论－利用信号与噪声的统计特性建立最佳判决

检测理论（判决理论）+估计理论

1950－60通信工程＋统计学――形成一门新的学科

信号检测（Detections）

--主要解决在受噪声干扰的观测中信号有无的判决问题

数学基础：

统计判决理论（假设检验理论）

信号估计（Estimations）

--主要解决在受噪声干扰的观测中，信号参量和波形的确定问题

数学基础：

统计估计理论、滤波理论

通信、自动控制、雷达、声纳、导航、地震学、生物医学、模式识别等领域得到广泛的应用

基本检测理论模型

一、假设检验（HypothesisTesting）

假设――所要检验的对象的可能情况或状态

检验――检测系统所做的判决过程

二元检测：

只有两种可能的假设

多元检测：

有多个可能的假设

复合假设：

信号是一随机过程的实现，其均值或方差可处于某个数值范围内

序列检测：

按取样观测值出现的次序进行处理和判决

二元假设检验可能的情况：

1、H0假设为真，判决H0（正确）；代价－C00

2、H1假设为真，判决H0（漏警）；代价－C01

3、H0假设为真，判决H1（虚警）；代价－C10

4、H1假设为真，判决H1（正确）；代价－C11

§1-1贝叶斯准则（Bayes）代价、风险最小

以二元假设检验为例：

源有两个输出，两个输出发生的概率已知，即先验概率已知P（H0）,P（H1）分别为假设H0和H1发生的概率

显然有P（H0）+P（H1）=1---------（1-1）

D0表示判决H0，D1表示判决H1

赋予每个可能的判决一个代价Cij（i,j=0,1）,

Cij--表示假设为Hi而判决为Dj时的代价

贝叶斯准则的目标是使平均代价E[C]最小风险最小，

假定错误判决的代价总是比正确判决的代价大，即：

C01>C11,C10>C00---------------（1-2）

假定各种代价均已知，并设P（Di,Hj）表示假设为Hj而判决为Hi时的联合概率，则平均代价为：

E[C]＝C00P（D0,H0）+C01P（D0,H1）+C10P（D1,H0）+C11P（D1,H1）-（1-3）

应用Bayes公式:

P（Di,Hj）＝P（Di|Hj）.P（Hj）--------（1-4）

条件概率P（Di|Hj）,i,j=0,1---（1-5）;Z=Z0UZ1-----------（1-6）

P（D0|H0）=P（判决为H0|H0为真）=∫Z0p（Z|H0）dZ------------（1-7）

P（D0|H1）=P（判决为H0|H1为真）=∫Z0p（Z|H1）dZ=PM―漏警概率（1.8）

P（D1|H0）=P（判决为H1|H0为真）=∫Z1p（Z|H0）dZ=PF―虚警概率（1-9）

P（D1|H1）=P（判决为H1|H1为真）=∫Z1p（Z|H1）dZ=PD－检测概率（1-10）

他们之间满足下列关系：

PM=1-PD-----（1-11）,P（D0|H0）=1-PF---------（1-12）

P（正确判决）＝P（D0,H0）+P（D1,H1）

=P（D0|H0）P（H0）+P（D1|H1）P（H1）=（1-PF）P（H0）+PDP（H1）—（1-13）

同理有：

P（错误判决）＝P（D0,H1）+P（D1,H0）

=PMP（H1）+PFP（H0）-------------（1-14）

故平均代价为：

E[C]＝C00（1-PF）P（H0）+C01（1-PD）P（H1）

+C10PFP（H0）+C11PDP（H1）-------------（1-15）

由（1-7）,（1-10）两式：

E[C]＝C00P（H0）∫Z0p（z|H0）dz+C01P（H1）∫Z0p（z|H1）dz

+C10P（H0）∫Z1p（z|H0）dz+C11P（H1）∫Z1p（z|H1）dz

------------（1-16）

∫Z1p（z|Hj）dz=1-∫Z0p（z|Hj）dz,j=0,1-------------（1-17）

E[C]＝C10P（H0）+C11P（H1）+-------------（1-18）

∫Z0{[P（H1）（C01-C11）p（z|H1）]-[P（H0）（C10–C00）p（z|H0）]}dz

[P（H1）（C01-C11）p（z|H1）]<[P（H0）（C10–C00）p（z|H0）]--->H1—（1-19）

[P（H1）（C01-C11）p（z|H1）]>[P（H0）（C10–C00）p（z|H0）]--->H0--（1-20）

上式的左边称为似然比（LikehoodRatio）

观测空间Z=Z0∪Z1,相应于每一个假设，观测z的概率密度函数为p（z|H0），p（z|H1）；有下列门限

故可得到似然比检验的Bayes准则（平均代价最小）

此式两边均为正，取自然对数（单调递增），故有等效判决规则

由于代价和先验概率是一种推测，实际中可能有变化，但只影响门限，计算似然比并不受影响，所以构造下列图示处理器：

§1-2最小总错误概率准则（最小误差概率准则）

当假定正确判决不付出代价，而各种错误判决的代价相同时：

C00=C11=0,C10=C01=1―――（1-26）

则平均代价即为总错误概率：

E（c）=P（H0）PF+P（H1）PM=Pe

判决公式变为：

当两种假设为等可能时，即P（H0）=P（H1）

则有η＝1，Lnη＝0

在数字通信系统中这种假设一般是正确的。

§1-3最大后验概率准则MaximumPosterioriProbability

即p（H0|z）

P（Hi|z）,i=0,1为在给定观测值为z的条件下，Hi为真的概率，

此即后验概率。

由前面的论述，可以得出最大后验概率准则与最小总错误概率准则是等价的。

证明的过程可见张贤达书中的推导。

例1－1设一个二元通信系统发送1V,0V的信号，受到1/12w加性高斯噪声的干扰。

系统发送1V0V信号的概率分别是0.6和0.4，代价分别为C00=-2,C01=8,C10=6,C11=-2.试求最佳贝叶斯判决准则及相应的平均代价。

解：

=0.534

σ2=1/12,σ=√1/12

H1—μ=1,H0---μ=0

故可求出最佳判决界：

6（2V-1）=Ln0.534-----V=0.456V

欲求平均代价，应先求出虚警概率和漏警概率

故相应的平均代价为：

E[C]＝C00（1-PF）+C01PF+P（H1）[（C11-C00）+（C01-C11）PM

-（C01-C11）PF]=-1.645

可见只要代价因子和先验概率已知，就可求出贝叶斯判决准则。

§1-4极大极小化准则（MinimaxCriterion）

在许多情况下，先验概率未知，不能采用贝叶斯准则。

选择一个先验概率P（H1），使平均代价最大，然后，再求此

P（H1）所对应的贝叶斯解－极大极小化准则

由于P（H0）＋P（H1）＝1，故有

P（H0）＝1－P（H1）―――――（1-31）

平均代价为：

E[C]＝C00（1-PF）+C01PF+P（H1）[（C11-C00）+（C01-C11）PM

-（C01-C11）PF]―――――（1-32）

对于给定的P（H1），P（H1）[0,1]的值，判决区域由PFPM确定

显然，随着P（H1）的值的变化，判决区域也会变化，从而导致非贝叶斯最佳判决准则，即平均代价总是比贝叶斯的代价大。

我们可以看两种极端情况：

极端情况1：

P（H1）＝0，门限＝

此时的判决规则为：

即H0总为真。

观测到的是z0,而相应的

∫Z0p（Z|H1）dZ=PM―漏警概率=0------（1-35）

∫Z1p（Z|H0）dZ=PF―虚警概率=1-------（1-36）

将（1－35）和（1－36）两式代入（1－32）式得平均代价为：

E[C]=C00--------（1-37）

极端情况2：

P（H1）＝1，门限＝0

因为L（z）是非负的，我们也规定PF=1,PM=0.于是有：

E[C]=C11--------（1-39）

中间的情况是P（H1）=P*（H1），P（H1）*[0,1]

E[C]--f{P（H1）}

可以证明此函数的凸性。

易见，在P（H1）=P*（H1）处，对应P*（H1）贝叶斯判决准则

给出最小平均代价E[Cmin]

此即将最大平均代价最小化

将E[C]对P（H1）的导数=0

则可求出极大极小化方程：

（C11-C00）+（C01-C11）PM-（C10-C11）PF=0--------（1-40）

若正确判决的代价均为0，C11=C00=0,则上述方程为

C01PM=C10PF-----------（1-41）

若错误判决的代价均为1，C01=C10=1,则上述方程为

PM=PF-----------（1-42）

此即虚警概率等于漏警概率。

极大极小化准则的平均代价为—平均错误概率

E[C]＝PF[1-P（H1）]+P（H1）PM

=P（H0）PF+P（H1）PM―――――（1-43）

§1-5Neyman-Pearson准则

已知先验概率和代价函数――贝叶斯准则

未知先验概率，但可选定代价函数――极大极小化准则

而在先验概率和代价函数均为未知的情况下――？

可用Neyman-Pearson准则，即在给定虚警概率的条件下，使检测概率最大，也即漏警概率最小。

限定PF=（保证虚警概率在一可容许值的约束条件下），设计一检验使PD最大（或PM最小）。

应用Lagrange乘子，构造下列目标函数：

显然，若PF=时，要使J最小，必需要使PM最小

∵≥0,则上式的第一项为正。

若要使J减小，只有将上式中[]为负的点z分配到Z0域，即使：

同样，将下式

成立的点，分配到Z1域。

故有判决规则写成似然比：

可见似然比检验，可使J最小。

选择，使得PF=：

若H0为真时，l（z）的概率密度为p（l（z）|H0）,则要求：

此式对的解，便是门限（注≥0）。

易见，若↓，相当于Z1域↑，相当于判决H1的区域增大，即有PD↑

故应减小，直到得出最大可能的α。

在大多数有意义的情况下，PF是的连续函数。

我们讨论中也均假设如此，那么，Neyman-Pearson准则将是导致一个似然比检验。

这种准则的判决程序是调整变量，使得PF=。

Neyman-Pearson准则：

是先加工观测值z，求出似然比l（z）；

然后将l（z）与门限比较，从而作出判决。