初中数学数字找规律题技巧汇总.docx
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初中数学数字找规律题技巧汇总
初中数学数字找规律题技巧汇总
通过比较，可以发现事物的相同点和不同点，更容易找到事物的变化规律。
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
揭示的规律，常常包含着事物的序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
初中数学考试中，经常出现数列的找规律题，本文就此类题的解题方法进行探索：
一、基本方法——看增幅
（一）如增幅相等（实为等差数列）：
对每个数和它的前一个数进行比较，如增幅相等，则第n个数可以表示为：
a1+（n－1）b，其中a1为数列的第一位数，b为增幅，（n－1）b为第一位数到第n位的总增幅。
然后再简化代数式a1+（n－1）b。
例：
4、10、16、22、28……，求第n位数。
分析：
第二位数起，每位数都比前一位数增加6，增幅都是6，所以，第n位数是：
4+（n－1）6＝6n－2
（二）、比值相等（等比数列）：
例：
2、4、8、16、…。
第n项为：
an=2n
（三）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，即二级等差数列）。
如增幅分别为3、5、7、9，说明增幅以同等幅度增加。
此种数列第n位的数也有一种通用求法。
基本思路是：
1、求出数列的第n－1位到第n位的增幅；
2、求出第1位到第第n位的总增幅；
3、数列的第1位数加上总增幅即是第n位数。
举例说明：
2、5、10、17……，求第n位数。
分析：
数列的增幅分别为：
3、5、7，……，增幅以同等幅度增加。
那么，数列的第n-1位到第n位的增幅是：
3+2×（n-2）=2n-1，总增幅为：
〔3+（2n-1）〕×（n-1）÷2＝（n+1）×（n-1）＝n2-1
所以，第n位数是：
2+n2-1=n2+1
此解法虽然较烦，但是此类题的通用解法，当然此题也可用其它技巧，或用分析观察凑的方法求出，方法就简单的多了。
（四）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅为等比数列，
如：
2、3、5、9、17、….
分析:
数列2、3、5、9,17…。
的增幅为1、2、4、8….即增幅为等比数列，比为：
2。
那么，增幅数列（等比数列）1、2、4、8….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列（等比数列）1、2、4、8….的和为:
设:
s=1+2+4+8+…+2n-2,2s=2+4+8+16…+2n-12s-s=2n-1-1,
所以:
第n位数为:
a1+s=2+2n-1-1=2n-1+1
（五）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。
此类题大概没有通用解法，只用分析观察的方法，但是，此类题包括第二类的题，如用分析观察法，也有一些技巧。
二、基本技巧
（一）标出序列号：
找规律的题目，通常按照一定的顺序给出一系列量，要求我们根据这些已知的量找出一般规律。
找出的规律，通常包序列号。
所以，把变量和序列号放在一起加以比较，就比较容易发现其中的奥秘。
例如，观察下列各式数：
0，3，8，15，24，……。
试按此规律写出的第100个数是100，第n个数是n。
解答这一题，可以先找一般规律，然后使用这个规律，计算出第100个数。
我们把有关的量放在一起加以比较：
给出的数：
0，3，8，15，24，……。
（此题也是二级等差数列，可以用上面的第三的种方法）
序列号：
1，2，3，4，5，……。
容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。
因此，第n项是n2-1，第100项是1002-1。
也可以用另一种方法：
序列号：
1，2，3，4，5，……。
给出的数：
0，3，8，15，24，……。
1×01×31×81×151×24……。
2×43×54×6……。
……。
可得（n-1）（n+1）=n2-1
（二）公因式法：
每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n、3n有关。
例如：
1，9，25，49，（81），（121），的第n项为（2n-1）2，
分析：
序列号：
1，2，3，4，5．.......，从中可以看出n=2时，正好是（2×2-1）2,n=3时，正好是（2×3-1）2，以此类推。
（三）看例题：
1.2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18，....，答案与3有关且是n的3次幂，
即：
n3+1
2.2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关，即：
2n
（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用
（一）、
（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。
再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。
例：
2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：
0、3、8、15、24……，
序列号：
1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1－1得0，当n=2时，2*2－1得3，3*3－1=8，以此类推，得到新数列的第n项为：
n2-1。
再看原数列是同时减2得到的新数列，则在的基础上加2，得到原数列第n项为：
（n2-1）+2＝n2+1。
（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。
例：
4，16，36，64，？
，144，196，…？
（第一百个数）
同除以4后可得新数列：
1、4、9、16…，很显然是位置数的平方，得到新数列第n项即n2，原数列是同除以4得到的新数列，所以求出新数列n的公式后再乘以4即，4n2，则求出第一百个数为4*（100）2=40000
（六）同技巧（四）、（五）一样，有的可对每位数同加、或减、或乘、或除同一数（一般为1、2、3）。
当然，同时加、或减的可能性大一些，同时乘、或除的不太常见。
（七）观察一下，能否把一个数列的奇数位置与偶数位置分开成为两个数列，再分别找规律。
三、基本步骤
1、先看增幅是否相等，如相等，用基本方法
（一）解题。
2、如不相等，综合运用技巧
（一）、
（二）、（三）找规律
3、如不行，就运用技巧（四）、（五）、（六），变换成新数列，然后运用技巧
（一）、
（二）、（三）找出新数列的规律
4、最后，如增幅以同等幅度增加，则用基本方法
（二）解题
四、练习题
例1：
一道初中数学找规律题（均为二级等差数列，所以均可用二级等差数列解）
（1）、0，3，8，15，24，…….
（2）、2，5，10，17，26，…….
（3）、0，6，16，30，48,…….
解：
（1）第一组有什么规律？
答：
从前面的分析可以看出是位置数的平方减一。
即：
n2-1
（2）第二、三组分别跟第一组有什么关系？
答：
第一组是位置数平方减一，那么第二组每项对应减去第一组每项，从中可以看出都等于2，说明第二组的每项都比第一组的每项多2，则第二组第n项是：
位置数平方减1加2，得位置数平方加1即：
n2+1
第三组可以看出正好是第一组每项数的2倍，则第三组第n项是：
第一组第n项数的2倍，即：
2（n2-1）
（3）取每组的第7个数，求这三个数的和？
答：
用上述三组数的第n项公式可以求出，第一组第七个数是7的平方减一得48，第二组第七个数是7的平方加一得50，第三组第七个数是2乘以括号7的平方减一得96，48+50+96=194。
也可以用：
n2-1+n2+1+2（n2-1）化简后，取n=7得
例2、观察下面两行数
①、2，4，8，16，32，64，…….
②、5，7，11，19，35，67,…….
根据你发现的规律，取每行第十个数，求得他们的和。
（要求写出最后的计算结果和详细解题过程。
）
解：
第一组可以看出是2n，第二组可以看出是第一组的每项都加3，即2n+3，
分析:
数列5，7，11，19，35，67,……。
的增幅为2、4、8、16….即增幅为等比数列，比为：
2。
那么，增幅数列（等比数列）2、4、8、16….的和为多少求出来加上第一位数就是第n位数,即增幅数列（等比数列）2、4、8、16….的和为:
设:
s=2+4+8+16+…+2n-1,2s=4+8+16+32…+2n2s-s=2n-2,
所以:
第n位数为:
a1+s=5+2n-2=2n+3
则第一组第十个数是210=1024，第二组第十个数是210+3得1027，两项相加得2051。
例3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前2002个中有几个是黑的？
解：
从数列中可以看出规律即：
1，1，1，2，1，3，1，4，1，5，……，把白色和黑色分开来看，即黑色为：
1、2、3、4、……。
白色为：
1、1、1、1、……。
前n项的和为：
（n+1）n/2+n=2002，解得n=61.8，即n=62（只能为整数），当n=62时，总的珠子数为：
（n+1）n/2+n=（62+1）×62/2+62=2015，最后一个为黑色，所以前2002个中有62个白色的珠子，即黑色的珠子为：
2002-62=1940个。
例4、32-12=8，52-32=16，72-52=24……用含有N的代数式表示规律
解：
被减数是不包含1的奇数的平方，减数是包括1的奇数的平方，差是8的倍数，奇数项第n个项为2n－1，而被减数正是比减数多2，则被减数为2n－1+2,得2n+1，则用含有n的代数式表示为：
（2n+1）2-（2n－1）2=8n。
写出两个连续自然奇数的平方差为888的等式
解：
通过上述代数式得出，平方差为888即8n=8×111,得出n=111，代入公式：
（222+1）－（222－1）=888
五、对于数表
1、先看行的规律，然后，以列为单位用数列找规律方法找规律
2、看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差
六、数字推理基本类型：
按数字之间的关系，可将数字推理题分为以下几种类型：
1、和差关系。
又分为等差、移动求和或差两种。
（1）.等差关系。
①.12，20，30，42，（56 ）、②.127，112，97，82，（67）③.3，4，7，12，（19），28
（2）.移动求和或差。
从第三项起，每一项都是前两项之和或差。
①.1，2，3，5，（8），13
②.0，1，1，2，4，7，13，（24）
注意此题为前三项之和等于下一项。
一般考试中不会变态到要你求前四项之和，所以个人感觉这属于移动求和或差中最难的。
③.5，3，2，1，1，（0）前两项相减得到第三项。
2、乘除关系。
又分为等比、移动求积或商两种
（1）等比，从第二项起，每一项与它前一项的比等于一个常数或一个等差数列。
①.8，12，18，27，（40.5）后项与前项之比为1.5。
②.6，6，9，18，45，（135）后项与前项之比为等差数列，分别为1，1.5，2，2.5，3
（2）移动求积或商关系。
从第三项起，每一项都是前两项之积或商。
①.2，5，10，50，（500）②.100，50，2，25，（2/25）
③.3，4，6，12，36，（216）从第三项起，第三项为前两项之积除以2
④.1，7，8，57，（457）第三项为前两项之积加1
3、平方关系
①.1，4，9，16，25，（36），49为位置数的平方n2。
②.66，83，102，123，（146），看数很大，其实是不难的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此类推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2
4、立方关系
①.1，8，27，（81），125 位置数的立方n3。
②.3，10，29，（83），127 位置数的立方加2
③.0，1，2，9，（730） 后项为前项的立方加1
5、分数数列。
关键是把分子和分母看作两个不同的数列，有的还需进行简单的通分，则可得出答案
分子为等比即位置数的平方，分母为等差数列，则第n项代数式为：
①.2/3，1/2，2/5，1/3，2/7,（1/4）……, 将1/2化为2/4，1/3化为2/6，可得到如下数列：
2/3,2/4,2/5,2/6,2/7,2/8…….可知下一个为2/9，如果求第n项代数式即：
2/（n+2）。
6、质数数列
①.2，3，5，（7），11 质数数列（注意：
1不是质数，即：
质数要除1以外）
②.4，6，10，14，22，（26） 每项除以2得到质数数列
③.20，22，25，30，37，（48） 后项与前项相减得质数数列。
7、双重数列。
又分为三种：
（1）、每两项为一组，如：
①.1，3，3，9，5，15，7，（21） 第一与第二，第三与第四等每两项后项与前项之比为3
②.2，5，7，10，9，12，10，（13）每两项中后项减前项之差为3
③.1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，（104 ） 两项为一组，每组的后项等于前项倒数*2（积为2）
（2）、两个数列相隔，其中一个数列可能无任何规律，但只要把握有规律变化的数列就可得出结果。
①.22，39，25，38，31，37，40，36，（52）由两个数列，22，25，31，40，（）和39，38，37，36组成，相互隔开，一个为等差，另一个为后项与前项之差是3的倍数。
①.34，36，35，35，（36），34，37，（33）由两个数列相隔而成，一个递增，一个递减
（3）、数列中的数字带小数，其中整数部分为一个数列，小数部分为另一个数列。
①.2.01， 4.03，8.04，16.07，（32.11）整数部分为等比，小数部分为移动求和数列。
双重数列难题也较少。
能看出是双重数列，题目一般已经解出。
特别是前两种，当数字的个数超过7个时，为双重数列的可能性相当大。
8.、组合数列。
最常见的是和差关系与乘除关系组合、和差关系与平方立方关系组合。
需要熟悉前面的几种关系后，才能较好较快地解决这类题。
①.1，1，3，7，17，41，（ 99），此为移动求和与乘除关系组合。
第三项为第二项*2加第一项，即1×2+1=3、
3×2+1=7，7×2+3=17，17×2+7=41，则空中应为41×2+17=99
②.65，35，17，3，（ 1），平方关系与和差关系组合，分别为8的平方加1，6的平方减1，4的平方加1，2的平方减1，下一个应为0的平方加1=1
③.4，6，10，18，34，（66 ），
各差关系与等比关系组合。
依次相减，得2，4，8，16，（），可推知下一个为32，32+34=66
④.6，15，35，77，（ 143 ）
此题看似比较复杂，是等差与等比组合数列。
如果拆分开来可以看出，6=2×3、15=3×5、35=5×7、77=7×11，正好是质数2、3，5，7、11数列的后项乘以前项的结果，得出下一个应为13×11=143
⑤.2，8，24，64，（160 ）
此题较复杂，幂数列与等差数列组合。
2=1×21，8=2×22，24=3×23，64=4×24，下一个则为5×25=160
⑥.0，6，24，60，120，（210）
和差与立方关系组合。
0=1的3次方－1，6=2的3次方－2，24=3的3次方－3，60=4的3次方－4，120=5的3次方－5。
空中应是6的3次方－6=210
⑦.1，4，8，14，24，42，（76 ）
两个等差与一个等比数列组合依次相减，原数列后项减前项得3，4，6，10，18，（ 34 ），得到新数列后，再相减，得1，2，4，8，16，（ 32 ），此为等比数列，下一个为32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，14，24，42，76。
9、其他数列。
①.2，6，12，20，（30）规律为：
2=1×2，6=2×3，12=3×4，20=4×5，下一个为5×6=30
②.1，1，2，6，24，（120
规律为：
后项=前项×递增数列。
1=1×1，2=1×2，6=2×3，24=6×4，下一个为120=24×5
③.1，4，8，13，16，20，（25）
规律为：
每4项为一重复，后项减前项依次相减得3，4，5。
下个重复也为3，4，5，推知得25。
④.27，16，5，（0），1/7
规律为：
依次为3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的－1次方。
四、解题方法
数字推理题难度较大，但并非无规律可循，了解和掌握一定的方法和技巧对解答数字推理问题大有帮助。
1、快速扫描已给出的几个数字，仔细观察和分析各数之间的关系，尤其是前三个数之间的关系，大胆提出假设，并迅速将这种假设延伸到下面的数，如果能得到验证，即说明找出规律，问题即迎刃而解；如果假设被否定，立即改变思考角度，提出另外一种假设，直到找出规律为止。
2、推导规律时往往需要简单计算，为节省时间，要尽量多用心算，少用笔算或不用笔算。
3、空缺项在最后的，从前往后推导规律；空缺项在最前面的，则从后往前寻找规律；空缺项在中间的可以两边同时推导。
（一）等差数列
相邻数之间的差值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等差数列是数字推理测验中排列数字的常见规律之一。
它还包括了几种最基本、最常见的数字排列方式：
自然数数列：
1，2，3，4，5，6,……,n
偶数数列：
2，4，6，8，10，12,……,2n
奇数数列：
1，3，5，7，9，11，13,……,2n-1
例题①：
103，81，59，（37 ），15。
解析：
这显然是一个等差数列，前后项的差为22。
例题②：
2，5，8，（11 ）。
解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等差数列，即后面的数字与前面数字之间的差等于一个常数。
题中第二个数字为5，第一个数字为2，两者的差为3，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即8+3=11，第四项应该是11，
例题③：
123，456，789，（1122）。
解：
这题的第一项为123，第二项为456，第三项为789，三项中相邻两项的差都是333，所以是一个等差数列，未知项应该是789+333=1122。
注意，解答数字推理题时，应着眼于探寻数列中各数字间的内在规律，而不能从数字表面上去找规律，比如本题从123，456，789这一排列，便选择101112，肯定不对。
因不是；1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…….
例题④：
11，17，23，（29 ），35。
解：
这同样是一个等差数列，前项与后项相差6。
例题⑤：
12，15，18，（21 ），24，27。
解：
这是一个典型的等差数列，题中相邻两数之差均为3，未知项即18+3=21，或24－3=21，由此可知第四项应该是21。
（二）等比数列
相邻数之间的比值相等，整个数字序列依次递增或递减。
等比数列在数字推理测验中，也是排列数字的常见规律之一。
例题①：
2，1，1/2，（1/4 ）。
解析：
从题中的前3个数字可以看出这是一个典型的等比数列，即后面的数字与前面数字之间的比值等于一个常数。
题中第二个数字为1，第一个数字为2，两者的比值为1/2，由观察得知第三个、第二个数字也满足此规律，那么在此基础上对未知的一项进行推理，即（1/2）/2，第四项应该是1/4。
例题②：
2，8，32，128，（512 ）。
解析：
这是一个等比数列，后一项与前一项的比值为4。
例题③：
2，－4，8，－16，（ 32 ）。
解析：
这仍然是一个等比数列，前后项的比值为－2。
（三）平方数列
1、完全平方数列：
正序：
1，4，9，16，25，……。
逆序：
100，81，64，49，36，……。
2、一个数的平方是第二个数。
（1）.直接得出：
2，4，16，（256）解析：
前一个数的平方等于第二个数，答案为256。
（2）.一个数的平方加减一个数等于第二个数：
①.1，2，5，26，（677）解析：
前一个数的平方加1等于第二个数，答案为677。
3、隐含完全平方数列：
（1）.通过加减一个常数归成完全平方数列：
0，3，8，15，24，（35 ）
解析：
前一个数加1分别得到1，4，9，16，25，分别为1，2，3，4，5的平方，答案35
（2）.相隔加减，得到一个平方数列：
例①：
65，35，17，（3），1
解析：
不难感觉到隐含一个平方数列。
进一步思考发现规律是：
65等于8的平方加1，35等于6的平方减1，17等于4的平方加1，再观察时发现：
奇位置数时都是加1，偶位置数时都是减1，所以下一个数应该是2的平方减1等于3。
例②：
2，4，16，49，121，（169 ）。
（2005年考题）
解析：
从数字中可以看出1的平方，2的平方，4的平方，7的平方，11的平方，正好是1，2，4，7，11,…，可以看出后项减前项正好是1，2，3，4，5，……，从中可以看出应为11+5=16，16的平方是256。
例③：
2，3，10，15，26，（35）。
（2005年考题）
解析：
看数列为2=1的平方+1，3=2的平方减1，10=3的平方加1，15=4的平方减1，26=5的平方加1，再观察时发现：
位置数奇时都是加1，位置数偶时都是减1，因而下一个数应该是6的平方减1=35，前n项代数式为：
所以答案是35。
（四）立方数列，立方数列与平方数列类似。
例题①：
1，8，27，64，（125）
解析：
数列中前四项为1，2，3，4的立方，显然答案为5的立方，为125。
例题②：
0，7，26，63，（124 ）
解析：
前四项分别为1，2，3，4的立方减1，答案为5的立方减1，为124。
例③：
－2，－8，0，64，（ ）。
（2006年考题）A.64 B.128 C.156 D250
解析：
从数列中可以看出，－2，－8，0，64都是某一个数的立方关系，-2=-2×13，-8=-1×23，0=0×33，64=1×44，前n项代数式为：
，an=（n-3）n3,因此最后一项因该为（5-3）×53=250,选D
例④：
0，9，26，65，124，（217）（2007年考题）
解析：
前五项分别为1，2，3，4，5的立方加1或者减1，规律为位置数是偶数的加1，则奇数减1。
答案为217。
在近几年的考试中，也出现了n次幂的形式
例⑤：
1，32，81，64，25，（ 6），1。
（2006年考题）A.5 B.6 C.10 D.12
解析：
逐项拆解容易发现1=16，32=25，81=34，64=43，25=52，则答案已经很明显了，6的1次幂，
即61选B。
（五）、加法数列，数列中前两个数的和等于后面第三个数：
n1+n2=n3
例题①：
1，1，2，3，5，（8）。
A.8 B.7 C.9 D.10
解析：
第一项与第二项之和等于第三项，第二项与第三项之和等于第四项，第三项与第四项之和等于第五项，按此规律3+5=8答案为A。
例题②：
4，5，（9），14，23，37A.6 B.7 C.8 D.9
解析：
与例一相同答案为D
例题③：
22，35，56，90，（145 ）99年考题 A.162 B.156 C.148 D.145
解析：
22+35-1=56，35+56-1=90，56+90-1=145，答案为D
（六）、减法数列，前两个数的差等于后面第三个数
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