起筋板弹簧的静强度分析.docx
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起筋板弹簧的静强度分析
起筋板弹簧的静强度分析
同济大学王建人
摘要
随着汽车市场的火爆，汽车安全性的问题显的越来越重要，爆胎就是汽车的安全隐患之一，针对这一问题，市场上应用较多的措施是采用安全轮胎或者免充气轮胎，但是这两种轮胎都有其应用的局限性，有学者基于安全轮胎以及免充气轮胎的基础上提出了板簧轮胎的概念，本文以板簧轮胎中单一的S型零件为研究对象，在对S型结构进行静强度分析的基础上对其进行疲劳寿命的预测。
板簧轮是一种新型轮胎，S型弧面板弹簧是其中最为关键的部件，虽然结构简单，但是受载情况比较复杂。
在工作过程中受到循环载荷的作用而易产生疲劳破坏，但疲劳破坏前并没有明显的宏观现象。
当损伤达到临界值时，常常发生突然性的疲劳断裂，导致轮胎无法正常工作，甚至发生更严重的后果。
因此，对S型弧面板弹簧的疲劳分析有着重要的意义。
在理论计算方面，起筋板弹簧属于宽板弯曲的平面问题，基于弹性变形的基本公式，推导出起筋板料的曲率半径公式；起筋后的板料截面简化为工字梁，利用组合图形的特点求解出截面的惯性矩公式；板料在受载过程中要满足强度要求，在此基础上进一步推导出疲劳寿命估算公式。
在有限元数值模拟方面，利用PATRAN有限元分析软件建立几何模型，在创建材料、关联单元属性、划分网格、创建约束以及施加载荷后得到有限元模型，并对其进行静载荷分析，调用NASTRAN进行求解计算，得到弯板的等效应力图和最大应力节点区域。
结合应力的结果文件，利用FATIGUE疲劳分析软件对危险区域进行疲劳寿命分析，此过程中新建并修正了材料的S-N曲线，在设置材料信息和载荷信息后，最终得到结构的疲劳寿命云图，经换算后得到弯板的使用年限。
本文主要在基于材料力学、有限元计算和结果疲劳寿命理论等多门学科理论基础上，并与有限元软件和专业疲劳寿命分析软件相结合，对S型弧面板弹簧进行静力学有限元分析和疲劳寿命有限元分析，力图真实有效的计算、模拟和分析。
关键词：
板簧轮胎；弹性变形；强度分析；疲劳寿命
第1章绪论
1.1引言
近些年来，随着国家经济的持续快速发展，我国各种汽车保有量大幅度提升，正以越来越大的影响力改变着人们的生活与工作[1]。
汽车市场的繁荣不仅促进了汽车工业的蓬勃发展，同时对汽车的安全、经济、耐久等方面提出了更高的要求，其中安全最为重要。
汽车行驶安全性问题之一就是爆胎。
据资料统计，在国内，由汽车轮胎故障引发的严重交通事故占总体事故的46%，高速公路上的比例高达70%；而在美国，这一比例更高[2,3]。
由此可见，轮胎对行驶安全起着至关重要的作用。
1.2课题研究背景和意义
1.2.1研究背景
轮胎是汽车的重要组成部分，是汽车与地面保持接触的唯一机构。
轮胎不仅应具有良好的缓冲性和牵引制动性，同时还应具有良好的耐磨性和耐损伤性，轮胎的好坏直接影响着汽车的安全性、舒适性和经济性。
在使用过程中，爆胎已经成为事故的头号杀手，轻则使车辆无法正常行驶，重则发生严重的交通事故，造成不可估量的人员伤亡和财产损失[4]。
轮胎缺气行驶是爆胎最主要的祸根。
轮胎胎压在低于标准胎压行驶时，随着胎压的下降，轮胎与地面的接触面积变大，随之摩擦成倍增加，胎温急剧升高，轮胎变软，强度降低，如果此时车辆又是高速行驶，则就可能导致爆胎[5,6]。
避免爆胎的措施有很多，大致可以分为两种：
一是使用所谓的安全轮胎，二是使用免充气轮胎。
安全轮胎又称为“零压轮胎”（Run-FlatTire），国内业界习惯称之为“泄（漏、跑）气保用轮胎”。
普通轮胎遭到外物戳破后，快速漏气导致胎侧下塌，胎圈脱离轮辋，最终使车辆无法继续行驶甚或倾覆。
而安全轮胎则漏气很少或者非常缓慢，同时能够保持行驶轮廓，使胎圈固定在轮毂上，确保汽车能够以50~80公里/小时的安全速度稳定前行80~160公里[3,7,8]。
从技术原理的角度安全轮胎又可分为自密封型安全轮胎和自体支撑型安全轮胎，如图1-1所示。
自密封型安全轮胎是在副腔内预先充满密封剂，当轮胎遭到刺穿时，密封剂会自动流到穿孔处，迅速填补洞口，密封与刺穿几乎同时发生的过程阻止了轮胎内气压下降，从而提高了汽车的安全性。
但这种轮胎只能够修复尺寸小于5~6毫米的裂缝或孔洞。
自体支撑型安全轮胎又称胎侧补强型安全轮胎，该轮胎是在侧面束层中夹入特殊橡胶，当轮胎失压后，橡胶内部结构能防止胎侧自身折叠翻转，同时使胎侧依然牢固的紧捏轮辋，实现自我支撑，确保安全行驶[3,9-11]。
a）自密封型b）自体支撑型
图1-1安全轮胎示意图
法国米其林集团公司的MXV4轮胎在无内压时能够以88公里/小时速度行驶80公里的路程，意大利倍耐力公司的零压续跑轮胎Eufori@在内压为零时能够以80公里/小时的速度行驶150公里的安全距离，日本普利司通公司的Expedia轮胎在失压条件下车辆能够以88公里/小时的速度安全行驶240公里，美国固特异轮胎橡胶公司的EngleEMT轮胎的性能指标为失压后以88公里/小时速度驶出320公里[3，12-14]。
安全轮胎虽然能够确保汽车在刺扎后稳定行驶一段距离，但是行驶的距离是非常有限的，事后也必须及时的更换轮胎，而且这种轮胎的价格偏高，在国内市场的配套服务也不完善[15,16]。
免充气轮胎是不借助空气压力，单纯利用轮胎自身材料和结构实现支撑及减震缓冲性能。
免充气轮胎可分为实心和空心两大类[17]。
聚氨酯轮胎（PU是PORONUrethanes的缩写，简称PU轮胎）是一种典型的实心免充气轮胎。
此轮胎由聚氨酯材料制成，采用浇注工艺制造。
PUTweel是将弹性PU辐条网的内缘熔接到轮毂上，外缘熔接到平轮辋上，以取代胎体、胎圈和胎侧结构作为承载部件。
Tweel轮辋外面覆盖比较普通的橡胶胎面，胎面下有一层增强带束层。
PUAirless的径向结构由数百条带有玻璃纤维的树脂环组成辐射状结构，镶嵌式连接着粘合部分子午线高强度PU轮的橡胶带胎面[4,18,19]。
PUTweel和PUAirless轮胎如图1-2所示。
PU轮胎外观精美、重量轻，但易老化、脱胎，耐磨性差、滚动阻力大。
此外，聚氨酯的耐热性较差，高动态负载作用下耐疲劳性能和耐屈挠性能较低。
同时，环境温度对聚氨酯的影响也很大，低温时它会变硬、变脆，高温时会变软甚至会成为液体。
聚氨酯轮胎由于是实心结构，在运行时轮胎内产生大量的热量排不出去，轮胎会变软，导致滚动阻力增大。
胎体发热变软会使轮胎失去支撑作用，因此，现在仅用在儿童车、轮椅车等低速低载重的车辆上。
免充气空心轮胎是利用空腔结构产生弹性，彻底解决了漏气和爆胎的难题。
此轮胎采用高性能材料，内外胎一体，滚动阻力小，弹性好，使用寿命长。
免充气空心轮胎能防弹、防爆，即使波弹片崩破，仍然可以正常行驶。
a）PUTweelb）PUAirless
图1-2车轮结构示意图
免充气轮胎虽然比安全轮胎的设计更进步，但研究中仍然存在一些亟待解决的问题。
其一此轮胎生产工艺复杂、耗时较长，并且容易分层；其二负重承载能力较低，只适用于低速、轻载的车辆；其三耐水解性能以及耐高温性能较差，高速行驶时势必发热量较大、升温较快，不利于环保节能[20-22]。
针对目前市场中各种轮胎的不足，王晓峰研发出了一种新型结构轮胎板簧轮，同时已经取得了国家专利权。
板簧轮的轮毂与普通轮胎所用的轮毂类似，由若干个S型弧面板簧片以一定方式组合安装在轮毂上，在弹簧的弧形面所构成的圆柱面上安装皮带胎，皮带胎与地面接触，通过这种接触效应实现车辆的各种行驶性能，如图1-3所示。
在车辆载重的情况下，S型弹簧片产生弹性变形，起到缓冲及减震的作用。
合理选择额定接触角内板簧片数量，可以充分保证车辆行使的平顺性。
改变板簧片结构形式与结构参数，可以使得此新型轮胎适用于各种不同的车辆。
图1-3皮带胎面安装
板簧轮无需充气，不存在普通充气轮胎的漏气和爆胎现象，因此具有极高的行车安全可靠性，特别是对于高速重载车辆的运行[23]。
S型弧面板弹簧是板簧轮中最为关键的部件，板弹簧的载荷响应特性对轮胎的力学特性与刚度特性有很大的影响。
课题组与板簧轮的发明人王晓峰合作，从材料的选择、结构参数的优化到成形工艺的制定、模具设计等对S型板弹簧进行了全面、系统地研究，探索其设计、优化方法，成形理论与技术。
本文则以S型板弹簧的疲劳寿命为着眼点，进行相关的探索与研究。
1.2.2研究意义
课题研究的S型弧面板弹簧主要应用于板簧轮上，这是一种新型轮胎，此轮胎不存在普通轮胎的漏气和爆胎现象，具有极高的安全可靠性。
S型弧面板弹簧是板簧轮中最为关键的部件，因此，S型弧面板弹簧结构的寿命分析是一个十分新颖的问题。
目前，国内对其疲劳寿命的研究少之又少。
所以，对于S型弧面板弹簧进行相关疲劳研究具有重大的现实意义。
对S型弧面板弹簧的疲劳寿命进行分析预测，不仅可以判断结构的薄弱位置，合理设计零件结构，而且有助于预知未来寿命，降低产品重设计的成本，大大缩减了研究开发的费用。
就目前来说，国内开展S型弧面板弹簧的疲劳有限元工作不是很多，因此，开展此类研究具有十分重要的意义。
1.3国内外相关研究现状
1.3.1结构疲劳的研究现状
疲劳是一个既古老又年轻的研究分支，自从A.Wohler将疲劳纳入科学研究范畴至今，疲劳研究仍有方兴未艾之势，而疲劳寿命分析是疲劳研究的主要内容之一[24]。
德国矿业工程师W.A.J.Albert是最早开始研究金属疲劳的，在1892年前后，他完成了铁链的重复载荷试验，以校验其疲劳寿命，并第一次提出了疲劳问题的研究报告。
1843年，英国铁路工程师W.J.M.Rankine对疲劳断裂的不同特征有了新的认识，并注意到机器部件存在应力集中的危险性。
1852年至1869年期间，A.Wohler对疲劳破坏进行了系统的研究，首次开展了疲劳试验研究。
他设计出了第一台疲劳试验机（亦称Wohler疲劳试验机），针对火车轴在循环载荷作用下，根据其强度大大低于静载强度，提出了利用应力-寿命图（简称S-N曲线）来描述疲劳行为的方法，同时提出了疲劳极限的概念。
1874年，德国工程师H.Gerber开始研究疲劳设计方法，提出了平均应力对疲劳寿命的影响。
Goodman提出了考虑平均应力影响的简单理论，建立了平均应力影响图，即Goodman图。
1910年，O.H.Basquin提出了描述金属S-N曲线的经验规律应力对疲劳循环数的双对数图在很大的应力范围内表现为线性关系。
L.Bairstow通过多级循环试验和测量滞后回线，给出了有关形变滞后的研究结果，并指出形变滞后与疲劳破坏的关系。
1929年B.P.Haigh对缺口敏感性进行了研究。
1937年H.Neuber指出缺口根部的应力梯度效应，认为缺口根部区域内的平均应力比缺口处峰值应力更能代替受载的严重程度。
1842年Hood提出了结晶理论，认为金属在循环载荷作用下的疲劳强度降低是由振动引起的结晶化导致的。
1945年M.A.Miner在J.V.Palmgern工作的基础上用公式表达出疲劳线性累积损伤理论。
L.F.Coffin和S.S.Manson各自独立提出了塑性应变幅和疲劳寿命之间的经验关系，即Coffin-Manson公式，使金属低周疲劳的研究发生了从定性到定量的转折，随后形成了局部应力--应变法[25-31]。
我国疲劳寿命预测技术的研究与国外相比起步较晚，大多还处于理论的研究阶段，在实际工程中的运用较少。
然而，经过不懈的努力，也取得了显著的成果。
姚卫星在对结构疲劳寿命深入研究的基础上提出了一种新的疲劳寿命累积损伤模型，该模型体现了循环载荷造成的损伤正比于加载造成的剩余强度的下降，同时用大量的疲劳试验验证了该模型的合理性[32]。
何先凡在通过有限元分析软件ANSYS对起重机关键部位进行精确应力计算后利用S-N曲线预测出其疲劳寿命。
聂宏从全寿命、应变疲劳寿命、裂纹扩展寿命和振动疲劳寿命等诸多方面对飞机起落架的疲劳寿命进行了较深入的探讨，并对影响其疲劳寿命的一些关键参数进行了优化设计[33]。
陈胜军建立了考虑低于疲劳极限载荷损伤作用的模糊疲劳累积损伤模型，同时改进优化了线性疲劳累积损伤模型[34]。
戴文战成功的将非等距GM（1,1）模型应用于不同温度下钦合金疲劳强度的预测中[35]。
1.3.2有限元分析方法的研究现状
随着计算机技术的飞速发展，计算机模拟技术----尤其是有限元方法的运用已经成为一种广为流行的数值分析方法。
有限单元法的功能强大、适用范围广，克服了复杂计算的困难，解决了多个领域和众多行业的有限元分析问题，已经成为解决实际工程分析计算必不可少的工具，尤其是在机械领域。
大约在十七世纪末，牛顿和莱布尼兹首创了积分法[36,37]，并以此为依据证实了整体对部分具有可加性这一结论的合理性，虽然其定义域的划分有别于有限元法，后者是有限划分而前者是无限划分，但前者为后者打下了理论基础。
有限单元法（FiniteElementMethod缩写为FEM）的基本理论最早出现在20世纪40年代。
1943年RichardCourant在研究St.Vant扭转问题上首次提出了离散化的概念，即将一个连续求解域划分成有限个连续小区域的集合。
1964年R.W.Clough教授首先提出了“有限元法”这一名词。
到20世纪50年代，有限元法发展为处理固体力学问题的一种新方法，是结构分析矩阵方法的一个分支。
J.F.Besseling、R.J.Melosh等人于1963年根据Ritz变分原理推导出了有限元计算公式，使得限单元法适应性更强。
1969年，B.A.Szabo和G.C.Lee利用加权余量法，特别是Galerkin法导出非结构问题的标准有限元法[38-42]。
我国学者对有限元法的创建和发展也有不少贡献。
著名学者冯康在1965年提出的“基于变分原理的差分格式”，标志着我国有限元法的诞生。
卞学磺于1971年指出有限单元法和有限差分法在某些边值问题上得出的方程组是一致的。
著名力学家、教育家徐芝纶院士（河海大学教授）首次将有限元法引入我国。
他于1974年编著出版了我国第一部关于有限元法的专著《弹性力学问题的有限单元法》，从此开创了我国有限元应用及发展的历史。
20世纪80年代大连理工大学工程力学研究所成功研发出国内第一个通用有限元程序系统IGFEX，使得有限单元法渗透到工程分析的各个领域中，在我国经济发展中拥有广阔的发展前景[43-45]。
现在有限单元法已普遍应用于航空航天、船舶制造、核能电站、地下建筑等结构工程中，在潮汐运动、热传导、化学反应中物质的传递和扩散以及流体和结构的相互作用等领域也有广泛的研究[46]。
目前，有限单元法已经成为杰出的工程分析工具。
1.4课题主要研究内容及内容安排
1.4.1主要研究内容
课题研究的S型弧面板弹簧是板簧轮的主要支撑部件，其外形尺寸及形状如图1-4所示：
图1-4外形尺寸及形状图
本文主要是以S型弧面板弹簧为研究对象，在分析其静强度理论的基础上进行疲劳寿命的预测，得到较为准确的疲劳寿命数据。
本文具体研究内容包括三大部分:
第一：
论述了开展S型弧面板弹簧疲劳寿命研究的重要性，提出了本课题的研究内容，并阐述了研究的意义。
简要介绍了结构疲劳寿命和有限元分析方法的发展历程。
第二：
由于板料的屈服强度较大，在施加载荷的状态下只考虑其弹性变形。
利用大型有限元分析软件MSC.PATRAN/NASTRAN对板弹簧进行静强度分析，展示不同厚度下应力及变形的分析结果。
第三：
根据拉伸试验测得板料的强度极限值，在材料信息设置过程中新建0Cr17Ni7Al不锈钢材料的疲劳性能曲线并修正该曲线，调用与实际接近的循环载荷历程。
结合MSC.PATRAN/NASTRAN的结果文件，利用专业疲劳分析软件MSC.FATIGUE预测板弹簧的疲劳寿命，并展示不同厚度下的分析结果，找出结构的薄弱部位。
1.4.2内容安排
本文共有六章内容，具体安排如下:
第一章绪论
介绍课题的研究背景与意义，对目前结构疲劳寿命和有限元分析方法的研究现状进行简要说明，提出论文的研究思路和研究内容安排情况。
第二章加强筋板料的理论分析
查看材料力学相关资料，从理论角度对起筋的S型弹簧板进行平面应变问题分析。
为了便于在求解筋各项尺寸过程中公式的推导，将起筋板料的截面简化为工字梁结构，在此基础上分析推导出板料截面的惯性矩公式，同时，在满足强度的条件下推导出板料的疲劳寿命估算公式。
第三章起筋板弹簧的静强度分析
本章以S型弧面板弹簧为具体研究对象，以有限元软件PATRAN/NASTRAN为建模和计算工具，计算工况下的应力和位移值，验证该结构是否满足强度要求，同时找出最大应力部位，并分析不同厚度情况下的静强度变化规律。
第四章起筋板弹簧的疲劳寿命预测
在静强度分析的基础上，运用基于全寿命的疲劳寿命建模方法对不同厚度的构件进行指定循环载荷历程下的疲劳寿命预测，通过分析得出该结构的疲劳寿命分布云图，直观显示出各个部分的疲劳寿命。
第五章拉伸试验
MSC.Fatigue软件在预测结构寿命时需要描述外加应力和标准试样疲劳寿命之间的关系，一般把这种关系称为材料的S-N曲线。
在材料数据管理库中没有0Cr17Ni7A1不锈钢材料的S-N曲线，因此，需新建立该材料的性能参数。
在建立S-N曲线过程中需要用到材料的强度极限，该参数通过拉伸试验方可得到。
第六章结论与展望
本章主要对课题做最终的总结，概括论文所做的研究工作和取得的研究成果，并在此基础上提出研究工作中遇到的困难与问题，指出解决该问题的方法或方向，为今后未来有关疲劳寿命预测研究提供相应的参考意见。
第2章加强筋板料的理论分析
2.1引言
汽车轻量化就是在保证汽车强度和安全性能的前提下，采用现代设计方法和有效手段对汽车产品进行优化设计，尽可能降低汽车的整备质量，从而提高汽车的动力性能。
汽车轻量化的过程主要是使汽车部件薄壁化、中空化，此方法虽然能减轻整车的质量，但是同时降低了汽车部件的强度，从长远看也会使部件的耐久性降低，从而导致汽车在使用年限内就有可能产生疲劳裂纹甚至彻底疲劳失效。
解决上述问题的常用且有效的方法是在板料结构上布置加强筋，通过增加加强筋的方法提高结构的强度和刚度，以较小的质量增加为代价，大幅度提升了板料的静动态性能[47]。
本课题研究的S型弧面板弹簧最初设计的厚度为0.7mm。
在满足强度和寿命的前提下，为了实现轻量化，需要进一步减薄板料的厚度。
在减薄尺寸的同时设计了加强筋结构以提高板料的强度和刚度。
筋的各项尺寸都是未知的，基于材料力学相关公式求解出筋的尺寸是各项分析的前提。
根据弹性变形的基本公式，总结推导出起筋板弹簧的弹性变形公式，在此基础上，进一步推导出满足强度要求的疲劳寿命估算公式。
2.2加强筋的基本介绍
加强筋结构具有质量轻、承载效率高的特点，因此越来越广泛的应用在薄壁结构上。
加强筋形状、尺寸及分布等方面的不同会引起筋的性能不同，从而导致刚度和强度增加的效果不同，因此，合理设计筋的形状、尺寸和分布是保证分析的前提。
下面对加强筋的基本内容进行简要介绍。
2.2.1定义
在结构设计过程中，结构体悬出面或跨度过大的情况会使构件本身承受负载的能力降低，为了增加强度和刚度，在结合体的公共垂直面上增加一块加强板，俗称加强筋（加强肋）。
2.2.2作用
2.2.2.1提高NVH性能
汽车噪声是当今社会主要噪声之一。
车身应该提供一个良好的操作条件给驾驶员。
噪声、振动和声振粗糙度（NVH——Noise、Vibration、Harshness的缩写）是衡量汽车质量的综合性指标，降低汽车的NVH是企业关注的主要问题之一。
加强筋的合理设计可以改善此项性能，如某车型在前围板中部和左右两侧轮罩区域增加了加强筋结构后，声压最大值由130dB/N降到71dB/N,有效的改善了驾车环境。
提升NVH性能是汽车加强筋较为常规的应用。
2.2.2.2提高强度性能
强度是指金属材料在外力作用下抵抗永久变形和断裂的能力。
当应力达到屈服极限时，材料就会出现明显的塑性变形；当应力达到强度极限时，材料就会断裂。
在合适的位置增加加强筋，可使局部强度增大，降低失效风险。
2.2.2.3提高刚度性能
刚度是指材料或结构在受力时抵抗弹性变形的能力。
在转弯部位设计加强筋可增加其变形部位的刚性，从而使变形量减小，克服部件因应力不均匀造成的歪扭变形。
2.2.2.4实现轻量化
加强筋不仅可以节约材料用量、减轻重量、降低生产成本、实现轻量化，同时还可提高性能、节约能源、减少污染排放、降低工作成本等综合效益。
2.2.3设计原则与方法
加筋板是一种典型的薄壁结构，因具有较高的比强度和比刚度，因此在汽车、航空等领域得到了广泛的应用。
加强筋最简单的形状是一条长方形的柱体附在产品的表面，为了满足生产和结构上的要求，加强筋的形状以及尺寸都需要不断的完善。
在设计长方形的加强筋时两边必须加上出模角以降低脱模顶出时的摩擦力，底部相接产品的位置必须采用圆角过渡的方式以消除应力集中的现象。
加强筋的伸展方向应与产品最大应力和最大长度保持一致，两端相接产品的外壁或只占据产品部分的长度，用以增加局部产品的刚性。
若加强筋没有产品外壁相连，末端部分应该渐次地将高度降低，直至完结，从而使排气不足或封闭的位置减少出现困气、填充不满及烧焦痕等问题。
从生产的角度考虑，使用大量短而窄的加强筋比较使用数个深而阔的加强筋更为优胜。
如果将加强筋底部的宽度相对产品厚度减少一半，相对位置厚度的增幅即减至大约20%，缩水纹出现的机会也大为减少。
但当使用多条加强筋时，加强筋之间的距离必须大于相接外壁的厚度。
但过厚的加强筋容易产生缩水纹、空穴、变形挠曲及夹水纹等问题，也会使生产周期变长，增加生产成本[48-50]。
2.3起筋S型弧面板弹簧的介绍
2.3.1板弹簧的基本介绍
起筋的S型弧面板弹簧实物如图2-1所示。
在设计过程中，加强筋的形状已经确定，筋与平板连接过渡区域采用光滑圆弧过渡。
因此，在确定尺寸时，主要是确定筋的宽度、高度，板料的厚度以及筋的数量。
图2-1理想板料形状
2.3.2板弹簧的受力分析
由图2-1可以看出，板料上端有四个螺栓孔，用以将板弹簧与轮毂固定在一起。
为了简化约束方式，用固定整个上端的方法代替固定四个螺栓孔，曲面是主要的承力部位。
上端面固定，施加载荷后S弯部分受到较大的弯矩作用易发生疲劳断裂，图2-2中标明了最易断裂处，即为危险截面。
图2-2约束及受载情况分析
2.4起筋板弹簧惯性矩公式的推导
2.4.1组合图形形心公式
平面图形对某方向轴（如轴）的静矩除以图形的面积，则可得到图形形心的坐标值。
式中
——图形对Z轴的静矩；
——图形的面积。
当多个矩形、三角形、圆形等简单图形组成一个复杂平面图形时，该平面图形对某一轴的静矩就等于各组成部分对该轴静矩的代数和，即
式中
——第
个简单图形的面积；
——第
个简单图形的形心坐标；
——简单图形的个数。
将式（2-2）代入式（2-1），则可得组合图形形心坐标的计算公式
2.4.2截面形心公式
加强筋板料的截面形状如图2-3所示。
为了便于计算筋的各项尺寸，把截面形状简化为工字梁结构，建立如图2-4所示的坐标系。
由于工字梁是对称图形，所以形心必定在轴上。
工字梁可以看作是由矩形1、2和3组合而成的图形，由于矩形2对整体结构的影响很小，既而在计算形心时将其忽略不计，也就是说先不考虑筋的条数。
图2-3加强筋板料的截面形状
图2-4截面计算简化图
利用公式（2-3）计算工字梁的形心值
式中
——板料厚度；
——凸筋总长度；
——凹筋总长度；
——工字梁的高度。
2.4.3截面惯性矩公式
在计算工字梁惯性矩时，矩形2的惯性矩忽略不计，既而，总的惯性矩由矩形1和矩形3组成，先分别求出它们的惯性矩和，既而求和得到总惯性矩的计算公式。
矩形1的惯性矩公式为
将式（2-4）
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