A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3
C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1
答案：
A
某同学最近5年内的学习费用y（千元）与时间x（年）的关系如图所示，则可选择的模拟函数模型是（ ）
A．y＝ax＋bB．y＝ax2＋bx＋c
C．y＝a·ex＋bD．y＝alnx＋b
解析：
选B.由散点图和四个函数的特征可知，可选择的模拟函数模型是y＝ax2＋bx＋c.
函数模型的增长差异
四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：
x
1
5
10
15
20
25
30
y1
2
26
101
226
401
626
901
y2
2
32
1024
32768
1.05×106
3.36×107
1.07×109
y3
2
10
20
30
40
50
60
y4
2
4.322
5.322
5.907
6.322
6.644
6.907
关于x呈指数函数变化的变量是________．
【解析】 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．
以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．
从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数函数变化．故填y2.
【答案】 y2
常见的函数模型及增长特点
（1）线性函数模型：
线性函数模型y＝kx＋b（k>0）的增长特点是直线上升，其增长速度不变．
（2）指数函数模型：
指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
（3）对数函数模型：
对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi（x）（i＝1，2，3，4）关于时间x（x>1）的函数关系是f1（x）＝x2，f2（x）＝2x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是（ ）
A．f1（x）＝x2B．f2（x）＝2x
C．f3（x）＝log2xD．f4（x）＝2x
解析：
选D.由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
函数模型的选取
某汽车制造商在2019年初公告：
公司计划2019年的生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
年份
2016
2017
2018
产量
8（万）
18（万）
30（万）
如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在有两个函数模型：
二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），指数函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），哪个模型能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系？
【解】 建立生产量y与年份x的函数，可知函数必过点（1，8），（2，18），（3，30）．
（1）构造二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），将点坐标代入，
可得
解得a＝1，b＝7，c＝0，
则f（x）＝x2＋7x，
故f（4）＝44，
与计划误差为1.
（2）构造指数函数模型g（x）＝a·bx＋c（a≠0，b＞0，b≠1），将点坐标代入，
可得
解得a＝
，b＝
，c＝－42，
则g（x）＝
×
－42，
故g（4）＝
×
－42＝44.4，
与计划误差为1.4.
由
（1）
（2）可得，二次函数模型f（x）＝x2＋7x能更好地反映该公司生产量y与年份x的关系．
不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
（4）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：
在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y（单位：
万元）随生源利润x（单位：
万元）的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：
y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：
作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象（如图所示）．观察图象可知，在区间[5，60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（ ）
A．y＝6xB．y＝log6x
C．y＝x6D．y＝6x
解析：
选B.D中一次函数的增长速度不变，A、C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．
2．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是（ ）
x
4
5
6
7
8
9
10
y
15
17
19
21
23
25
27
A.一次函数模型B．二次函数模型
C．指数函数模型D．对数函数模型
解析：
选A.随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型．
3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
x
1.99
3
4
5.1
8
y
0.99
1.58
2.01
2.35
3.00
现有如下4个模拟函数：
①y＝0.58x－0.16；②y＝2x－3.02；
③y＝x2－5.5x＋8；④y＝log2x.
请从中选择一个模拟函数，使它能近似地反映这些数据的规律，应选________．
解析：
画出散点图，由图分析增长速度的变化，可知符合对数函数模型，故选④.
答案：
④
4．已知函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示．
（1）指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
（2）比较两函数的增长差异（以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较）．
解：
（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，
C2对应的函数为f（x）＝lgx.
（2）当x∈（0，x1）时，
g（x）>f（x），
当x∈（x1，x2）时，
g（x）当x∈（x2，＋∞）时，g（x）>f（x）．
[A 基础达标]
1．在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝ax，y＝x＋a的图象，正确的是（ ）
解析：
选D.函数y＝ax与y＝logax的单调性相同，由此可排除C；直线y＝x＋a在y轴上的截距为a，则选项A中01，显然y＝ax的图象不符，排除A，B，故选D.
2．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是（ ）
解析：
选C.小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B.故选C.
3．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表：
x
1.99
3
4
5.1
6.12
y
1.5
4.04
7.5
12
18.01
对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是（ ）
A．y＝2x－2 B．y＝
C．y＝log2xD．y＝
（x2－1）
解析：
选D.法一：
相邻的自变量之差大约为1，相邻的函数值之差大约为2.5、3.5、4.5、6，基本上是逐渐增加的，二次曲线拟合程度最好，故选D.
法二：
比较四个函数值的大小，可以采用特殊值代入法．可取x＝4，经检验易知选D.
4．据统计，某地区1月、2月、3月的用工人数分别为0.2万、0.4万、0.76万，则该地区这三个月的用工人数y（万人）关于月数x的函数关系式近似是（ ）
A．y＝0.2xB．y＝
（x2＋2x）
C．y＝
D．y＝0.2＋log16x
解析：
选C.对于A，当x＝3时，y＝0.6，与0.76差距较大，故排除A；对于B，当x＝3时，y＝1.5，与0.76差距较大，故排除B；对于D，当x＝3时，y＝0.2＋log163≈0.6，与0.76差距较大，故排除D，故选C.
5．已知f（x）＝x2，g（x）＝2x，h（x）＝log2x，当x∈（4，＋∞）时，对这三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是（ ）
A．f（x）>g（x）>h（x）B．g（x）>f（x）>h（x）
C．g（x）>h（x）>f（x）D．f（x）>h（x）>g（x）
解析：
选B.由函数性质可知，在（4，＋∞）内，指数函数g（x）＝2x增长速度最快，对数函数h（x）＝log2x增长速度最慢，所以g（x）>f（x）>h（x）．
6．现测得（x，y）的两组对应值分别为（1，2），（2，5），现有两个待选模型，甲：
y＝x2＋1，乙：
y＝3x－1，若又测得（x，y）的一组对应值为（3，10.2），则应选用________作为函数模型．
解析：
把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．
答案：
甲
7．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间（1，＋∞）上增长较快的一个是________．
解析：
当x变大时，x比lnx增长要快，
所以x2要比xlnx增长得要快．
答案：
y＝x2
8．生活经验告诉我们，当水注入容器（设单位时间内进水量相同）时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，A对应________；B对应________；C对应________；D对应________．
解析：
A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与④对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与①对应；C，D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：
C容器快，与③对应，D容器慢，与②对应．
答案：
④ ① ③ ②
9．画出函数f（x）＝
与函数g（x）＝
x2－2的图象，并比较两者在[0，＋∞）上的大小关系．
解：
函数f（x）与g（x）的图象如图所示：
根据图象易得：
当0≤x＜4时，f（x）>g（x）；
当x＝4时，f（x）＝g（x）；
当x>4时，f（x）10．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：
方案一：
每年植树1万平方米；
方案二：
每年树木面积比上一年增加9%.
哪个方案较好？
解：
方案一：
5年后树木面积为10＋1×5＝15（万平方米）．
方案二：
5年后树木面积是10（1＋9%）5≈15.386（万平方米），因为15.386>15，所以方案二较好．
[B 能力提升]
11．以下四种说法中，正确的是（ ）
A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快
B．对任意的x>0，xn>logax
C．对任意的x>0，ax>logax
D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax
解析：
选D.对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B、C，当01，n>0时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>0”，则结论不成立．
12．如图
所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t（月）的近似函数关系：
y＝at（t≥0，a>0且a≠1）的图象．
有以下说法：
①第4个月时，剩留量就会低于
；
②每月减少的有害物质质量都相等；
③当剩留量为
，
，
时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.
其中所有正确说法的序号是________．
解析：
由于函数的图象经过点
，故函数的关系式为y＝
.
当t＝4时，y＝
<
，故①正确；当t＝1时，y＝
，减少
，当t＝2时，y＝
，减少
，故每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令y＝
，
，
，解得t1＝log
，t2＝log
，t3＝log
，t1＋t2＝t3，故③正确．
答案：
①③
13．某国2013年至2016年国内生产总值（单位：
万亿元）如下表所示：
年份
2013
2014
2015
2016
x（年份代码）
0
1
2
3
生产总值y
（万亿元）
8.2067
8.9442
9.5933
10.2398
（1）画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；
（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；
（3）利用关系式预测2030年该国的国内生产总值．
解：
（1）画出函数图象，如图所示．
从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b（k≠0）．
把直线经过的两点（0，8.2067）和（3，10.2398）代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.
所以函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.
（2）由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为
0．6777×1＋8.2067＝8.8844（万亿元），
0．6777×2＋8.2067＝9.5621（万亿元）．
与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．
（3）2030年，即x＝17时，由
（1）得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276（万亿元），
即预测2030年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元．
14．某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：
x
1
2
3
4
f（x）
4.00
5.58
7.00
8.44
若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：
f（x）＝ax＋b，f（x）＝2x＋a，f（x）＝log
x＋a.
（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式；
（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，2024年的年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2024年的年产量．
解：
（1）符合条件的是f（x）＝ax＋b，
若模型为f（x）＝2x＋a，
则由f
（1）＝21＋a＝4，
得a＝2，
即f（x）＝2x＋2，
此时f
（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与已知相差太大，不符合．
若模型为f（x）＝log
x＋a，
则f（x）是减函数，与已知不符合．
由已知得
解得
所以f（x）＝
x＋
，x∈N.
（2）2024年预计年产量为f（7）＝
×7＋
＝13，
2024年实际年产量为13×（1－30%）＝9.1，
故2024年的年产量为9.1万件．
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