13．（2012辽宁锦州，13，3分）已知三角形的两条边长分别是7和3，第三边长为整数，则这个三角形的周长是偶数的概率是_____________.
【答案】
14．（2012辽宁锦州，14，3分）某品牌自行车进价是每辆800元，标价是每辆1200元，店庆期间，商场为了答谢顾客，进行打折促销活动，但是要保证利润不低于5%，则最多可打_______折。
【答案】7
15．（2012辽宁锦州，15，3分）如图，∠PAC=30°，在射线AC上顺次截取AD=3，DB=10，以DB为直径作⊙O交射线AP于E、F两点，则线段EF的长度是_____________.
【答案】6
16．（2012辽宁锦州，16，3分）如图正方形A1B1B2C1，A2B2B3C2，A3B3B4C3，…AnBnBn+1Cn，按如图所示放置，使点A1，A2，A3，…An在射线OA上，点B1，B2，B3，…Bn在射线OB上，若∠AOB=45°，OB1=1，图中阴影部分三角形面积由小到大依次记作S1，S2，S3，…Sn，则Sn=_____________.
【答案】22n－3（写成
，符合题意的答案即可）
三．解答题（每小题8分，共16分）
17．（2012辽宁锦州，17，8分）先化简，再求值：
.
【答案】解：
原式=
………………………………2分
=
………………………………3分
=
………………………………5分
=
………………………………6分
当x=
时，原式=
=
.………………………………8分
18．（2012辽宁锦州，18，8分）如图所示，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都要在小正方形的顶点上。
（1）画出位似中心点O；
（2）直接写出△ABC与△A′B′C′的位似比；
（3）以位似中心O为坐标原点，以格线所在的直线为坐标轴建立平面直角坐标系，画出△A′B′C′关于点O中心对称的△A″B″C″，并直接写出△A″B″C″各顶点的坐标。
【答案】
（1）图中点O为所求（可以不写出结论，在图中画出点O的正确位置即可）2分
（2）出△ABC与△A′B′C′的位似比等于2：
1………………………………3分
（3）△A″B″C″为所求（可以不写结论，在图中画出△A″B″C″即可）………5分
A″（6，0），B″（3，－2），C″（4，－4）.………………………………8分
四．解答题（每小题10分，共20分）
19．（2012辽宁锦州，19，10分）随着人们生活水平的提高，城市家庭私家车的拥有量越来越多，私家车给人们的生活带来很多方便面，同时也给城市的道路交通带来了很大压力，特别是节假日期间交通拥堵现象非常严重，为了缓解交通堵塞，尽量保持道路通畅，某市有关部门号召市民在节假日期间选择公共交通工具出行。
为了了解市民的意见和态度，有关部门随机抽取了若干市民进行了调查，经过统计，整理，制作统计图如下，请回答下列问题：
（1）这次抽查的市民的总人数是多少？
（2）分别求出持“赞成”态度，“无所谓”态度的市民人数以及持“无所谓”态度的人数占总人数的百分比，并补全条形统计图和扇形统计图；
（3）若该市有18万人，请估计对这一问题持“赞成”态度的人数是多少？
【答案】解：
150÷30%=500（人）
答：
这次抽查的市民总人数是500人。
………………………………2分
（2）持“赞成”态度的人数有：
500×25%=125人………………………………3分
持“无所谓”态度的市民人数500－150－125=225人
持“无所谓”态度的人数占总人数的百分比225÷500=45%.………………………………5分
统计图补充如图所示：
………………………………6分
（3）180000×25%=15000（人）
答：
估计对这一问题持“赞成”态度的人数是15000人.………………………………10分
20．（2012辽宁锦州，20，10分）某部队要进行一次急行军训练，路程为32km,出发一小时后，由特种兵组成的突击队才出发，结果比大部队提前20分钟到达目的地，已知突击小队的先进速度是大部队的1.5倍，求大部队的先进速度。
（列方程解应用题）
【答案】解：
设大部队前进的速度是x千米/小时，根据题意，得………………………4分
1小时20分钟=
小时
………………………5分
解得x=8,………………………8分
经检验，x=8是所列方程的解。
………………………9分
答：
大部队的前进的速度是8千米/小时.………………………10分
五．解答题（每小题10分，共20分）
21．（2012辽宁锦州，21，10分）如图，有一个可以自由转动的转盘被平均分成五个扇形，五个扇形内部分分别标有数字1、2、3、4、5.若将转盘转动两次，每一次停止转动后，指针指向的扇形内的数字分别记为m,n.（当指针指在边界线时视为无效，重转）。
从而确定一个点的坐标为A（m,n）.请用列表或者画树形图的方法求出所有可能得到的点A的坐标，并求出点A在第一象限内的概率。
【答案】解法一：
由题意可列表得
………………7分
由表可知所有可能得到的点A的坐标有25种，且每种结果的发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种。
………………8分
所以P（点A在第一象限）=
.………………10分
解法二：
根据题意画树状图如下：
………………7分
由树状图可知所有可能得到的点A的坐标有25种，且每种结果的发生的可能性相同，其中在第一象限内的结果有9种………………8分
所以P（点A在第一象限）=
.………………10分
22．（2012辽宁锦州，22，10分）如图，大楼AB高16米，远处有一塔CD，某人在楼底B处测得塔顶的仰角为38.5°，爬到楼顶测得塔顶的仰角为22°，求塔高CD及大楼与塔之间的距离BD的长。
（参考数据：
sin22°≈0.37,cos22°≈0.93,tg22°≈0.40,sin38.5°≈0.62,cos38.5°≈0.78,tg38.5°≈0.80）
【答案】解：
过点A作AE⊥CD于点E，由题意可知：
∠CAE=22°，∠CBD=38.5°，ED=AB=16米，设大楼与塔之间的距离BD的长为x米，则AE=BD=x（不设未知数也可以）………………………1分
∵在Rt△BCD中，tan∠CBD=
∴CD=BDtan∠CBD=0.8x,………………………3分
∵在Rt△AE中，tan∠CAE=
∴CE=AEtan∠CBD=0.4x,（此处用“=”不扣分）………………………5分
∵CD－CE=DE，
∴0.8x－0.4x=16,………………………7分
x=40.………………………8分
即BD=40米。
CD=0.8×40=32米。
………………………9分
答：
塔高CD是32米，大楼与塔之间的距离BD的长为40米。
………………………10分
六．解答题（每小题10分，共20分）
23．（2012辽宁锦州，23，10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过D作直线DE垂直BC于F，且交BA的延长线于点E。
（1）求证：
直线DE是⊙O的切线；
（2）若cos∠BAC=
，⊙O的半径为6，求线段CD的长。
【答案】方法一：
（1）证明：
连接BD，OD，
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°则BD⊥AC
∵AB=AC，
∴D为AC的中点。
∴OD为三角形ABC的中位线，
∴OD∥BC。
………………………3分
∴∠BFE=∠ODE.
∴DE⊥BC，
∴∠BFE=90°.
∴∠ODE=90°.
∴OD⊥DE。
∴直线DE是⊙O的切线.………………………6分
（2）∵⊙O的半径为6，
∴AB=12.………………………7分
在Rt△ABD中，∵cos∠BAC=
，
∴AD=4。
………………………8分
由
（1）知BD是三角形ABC的中线，………………………9分
∴CD=AD=4。
………………………10分
方法二：
（1）证明：
连接OD，
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA.
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB.
∴OD∥BC………………………3分
∴∠BFE=∠ODE.
∵DE⊥BC，
∴∠BFE=90°.
∴∠ODE=90°..
∴OD⊥DE。
∴直线DE是⊙O的切线.………………………6分
（2）连接BD，
∵⊙O的半径为6，
∴AB=12.………………………7分
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°.
在Rt△ABD中，
∵cos∠BAC=
，
∴AD=4。
………………………8分
∵∠ADB=90°∴BD⊥AC
∵AB=BC
∴BD为三角形ABC的中线，………………………9分
∴CD=AD=4。
………………………10分
24．（2012辽宁锦州，24，10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元，调查发现：
销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨一元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元。
设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元。
（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围。
（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？
（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？
最大月利润是多少？
【答案】.解：
依题意得，y=（30+x－20）（230－10x）
=－10x2+130x+2300………………………2分
自变量x的取值范围是0＜x≤10（1≤x≤10也正确）且x为正整数，
（2）当y=2520时，得－10x2+130x+2300=2520………………………5分
解得x1=2，x2=11（不合题意，舍去）………………………6分
当x=2时，30+x=32.
所以，每件玩具的售价是32元时，月销售利润恰为2520元.………………………7分
（2）y=－10x2+130x+2300………………………8分
=－10（x－6.5）2+2722.5
∵a=－10<0,∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5.………………………9分
∵0＜x≤10（1≤x≤10也正确）且x为正整数，
∴当x=6时，30+x=36,y=2720元，当x=7时，30+x=37，y=2720元.
所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大的利润，最大利润是2720元.………………………10分
七．解答题（本题12分）
25．（2012辽宁锦州，25，12分）已知：
在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点，（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF。
（1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：
①BD⊥CF，②CF=BC－CD。
（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系。
（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：
①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系，②若连接正方形对角线AE，DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由。
【答案】
（1）①∵∠BAC=90°，AB=AC，，
∴∠ABC=∠ACB=45°
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°.
∵∠BAD=∠BAC－∠DAC，
∠CAF=∠DAF－∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF.
∴△BAD≌△CAF。
………………………3分
∴∠ACF=∠ABD=45°，
∴∠ACF+∠ACB=90°.
∴BD⊥CF………………………4分
②由①△BAD≌△CAF可知BD=CF，
∵BD=BC－CD，
∴CF=BC－CD.………………………6分
（2）CF=BC+CD………………………7分
（3）①CF=CD－BC.………………………8分
②∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°
则∠ABD=135°.
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°.
∵∠BAD=∠BAC－∠DAC，
∠CAF=∠DAF－∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF.
∴△BAD≌△CAF。
………………………9分
∴∠ACF=135°，
∴∠FCD=∠ACF.∠ACB=90°
则△FCD为直角三角形。
∵正方形ADEF中，O为DE中点，
∴OC=
DF，………………………10分
∵在正方形ADEF中，OA=
AE，AE=DF，
∴OC=OA.………………………11分
∴△AOC为等腰三角形。
………………………12分
八．解答题（本题14分）
26．（2012辽宁锦州，26，14分）如图，抛物线y=ax2+bx－3交y轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点P到x轴的距离为
，到y轴的距离为1，点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于点E。
（1）求抛物线的表达式；
（2）直线
与抛物线在第一象限内交于点D，与y轴交于点F，连接BD交y轴于点E，且DE：
BE=4：
1，求直线
的表达式；
（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线
上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？
若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由。
【答案】解：
（1）∵抛物线y=ax2+bx－3交y轴于点C，
∴C（0，－3）.则OC=3.………………………1分
∵P到x轴的距离为
，到y轴的距离为1，且在第三象限，
P（－1，－
）.………………………2分
∵点C关于直线l的对称点为A，∴A（－2，－3）.………………………4分
将点A（－2，－3），P（－1，－
）代入y=ax2+bx－3，
有
，解得
………………………5分
所以抛物线的表达式为y=
x2+
x－3.………………………6分
（2）过点D作DG⊥y轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°，
∴△DEG∽△BEC.
∵DE：
BE=4：
1，
∴
，
DG=4.………………………7分
将x=4代入y=
x2+
x－3，得y=5.
则D（4，5）.………………………8分
∵
过点D（4，5），
∴5=
，m=2.………………………9分
所以所求直线的表达式是：
.………………………10分
（3）存在M1（
），M2（
），M3（
），M4（
）.
………………………14分
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