《数学建模与数学实验》实验指导书.docx

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《数学建模与数学实验》实验指导书

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目录

实验1Matlab程序设计与作图1

实验2线性规划建模实验3

实验3无约束、非线性优化建模实验5

实验4常微分方程的求解与定性分析7

实验5统计方法回归分析建模实验9

实验6插值与拟合建模实验11

实验7人口增长模型及其数量预测13

实验1Matlab程序设计与作图

一、实验目的

熟悉MATLAB软件的用户环境；了解MATLAB软件的一般命令；掌握MATLAB向量、数组、矩阵操作与运算函数；掌握MATLAB软件的基本绘图命令；掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构，及其编程规范。

通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题，能借助MATLAB软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规律。

二、实验学时数与实验类型

3学时，基础性实验

三、实验内容

1．MATLAB软件的数组操作及运算练习；

2．直接使用MATLAB软件进行作图练习；

3．用MATLAB语言编写命令M文件和函数M文件。

四、实验步骤

1．在D盘建立一个自己的文件夹；

2．开启软件平台——MATLAB，将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中；

3．利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length，rand,size和diag的功能和用法；

4．开启MATLAB编辑窗口，键入你编写的M文件（命令文件或函数文件）；

5．保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行；

6．若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；

7．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→算法与编程→计算结果或图形→心得体会）

1.已知矩阵

，

要求：

（1）屏幕输出A与B；

（2）A的转置A′；（3）求A+B的值；（4）求A-B的值；（5）求4A；（6）求A×B；（7）求A-1．

2.有一函数f（x,y）=x2+sinxy+2y，写一程序，输入自变量的值，输出函数值。

3.用plot，fplot分别绘制函数y=cos（tan（

x））图形。

4.绘制函数

在

上的图形。

5.作出下列曲面的三维图形：

6．建立一个M-文件：

求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。

例如：

153是一个水仙花数，因为153=13+53+33。

实验2线性规划建模实验

一、实验目的

学习最优化技术和基本原理，了解最优化问题的分类；掌握线性规划的建模技巧和求解方法；熟悉MATLAB软件求解线性规划模型的基本命令；通过范例学习，熟悉建立线性规划模型的基本要素和求解方法。

通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对现实生活中的最优化问题，怎样提出假设和建立优化模型，并且学会使用MATLAB软件进行线性规划模型求解的基本命令。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．最优化问题的提出，提出不同的假设可以建立不同的最优化模型；

2．建立线性规划模型的基本要素和步骤；

3．使用MATLAB命令对线性规划模型进行计算。

四、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立的线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件；

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果（数值或图形），并不断地改变参数设置观察运行结果；

5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1．应用matlab求解以下线性规划模型

2.某厂按合同规定须于当年每个季度末分别提供10,15,25,20台同一规格的柴油机。

已知该厂各季度的生产能力及生产每台柴油机的成本如下表所示，如果生产出的柴油机当季不交货，每台积压一个季度需储存、维护等费用0.15万元，试建立一个数学模型，要求在完成合同的情况下，使该厂全年生产（包括储存、维护）费用最小。

季度

生产能力（台）

成本（万元/台）

一

25

10.8

二

35

11.1

三

30

11.0

四

10

11.3

3．投资策略

某部门现有资金10万元，五年内有以下投资项目可供选择：

项目A：

从第一年到第四年每年初投资，次年末收回本金且获利15%；

项目B：

第三年初投资，第五年末收回本金且获利25%，最大投资额为4万元；

项目C：

第二年初投资，第五年末收回本金且获利40%，最大投资额为3万元；

项目D：

每年初投资，年末收回本金且获利6%；

问如何确定投资策略使第五年末本息总额达最大？

实验3无约束、非线性优化建模实验

一、实验目的

学习无约束、非线性规划模型的标准形式和建模方法；掌握建立无约束、非线性规划模型的基本要素和求解方法；熟悉MATLAB软件求解无约束、非线性规划模型的基本命令；通过范例学习，了解建立无约束、非线性规划模型的全过程，与线性规划比较其难点何在。

通过该实验的学习，使学生掌握最优化技术，认识面对什么样的实际问题，提出假设和建立优化模型，并且使学生学会使用MATLAB软件进行无约束、非线性规划模型求解的基本命令。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．建立无约束、非线性规划模型的基本要素和步骤；

2．熟悉使用MATLAB命令对无约束、非线性规划模型进行求解；

3．学会计算无约束优化问题和有约束优化问题的技巧。

四、实验步骤

1．开启MATLAB软件平台，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据问题，建立无约束或非线性规划模型，并编写求解规划模型的M文件；

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果（数值或图形），并不断地改变参数设置观察运行结果；

5．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1、求解无约束优化

1）画出该曲面图形，直观地判断该函数的最优解；

2）使用fminunc命令求解，能否求到全局最优解？

2、求解非线性规划

试判定你所求到的解是否是最优？

实验4常微分方程的求解与定性分析

一、实验目的

1.归纳和学习求解常微分方程（组）的基本原理和方法；

2.掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；

3.熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；

4.通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；

通过该实验的学习，使学生掌握微分方程（组）求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。

这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．微分方程及方程组的解析求解法；

2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；

3．直接使用MATLAB命令对微分方程（组）进行求解（包括解析解、数值解）；

4．利用图形对解的特征作定性分析；

5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。

四、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据微分方程求解步骤编写M文件

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果（数值或图形）；

5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）

1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。

y'=y+2x,y（0）=1,0

y''+ycos（x）=0,y（0）=1,y'（0）=0；

2．求微分方程

的数值解，要求编写求解程序。

3．Rossler微分方程组：

当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈（0，0.65））而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？

4．导弹追踪问题

设位于坐标原点的甲舰向位于x轴上点A（1,0）处的乙舰发射导弹，导弹头始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度v0（是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5v0，求导弹运行的曲线方程？

乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

针对该问题，分别采用解析法与数值解法建立其数学模型，并采用Matlab软件进行求解。

实验5统计方法回归分析建模实验

一、实验目的

学习统计方法回归分析的思想和基本原理；掌握建立回归模型的基本步骤，明确回归分析的主要任务；熟悉MATLAB软件进行回归模型的各种统计分析；通过范例学习，熟悉统计分析思想和建立回归模型的基本要素。

通过该实验的学习，使学生掌握回归分析的统计思想，认识面对什么样的实际问题可以建立回归模型，并且对回归模型作统计分析，同时使学生学会使用MATLAB软件进行回归分析和计算的基本命令，了解统计软件的功能和作用；熟悉处理大量数据的要领和方法。

二、实验学时数与实验类型

3学时，基础性实验

三、实验内容

1．线性回归模型的建立与分析步骤（问题假设→模型→参数估计→模型检验→确定最优回归方程→预测）；

2．非线性回归模型的建立与分析步骤；

3．使用MATLAB命令对回归模型进行计算与分析（包括模型检验与预测）；

4．利用某些数值与图形对统计特征作定性分析。

四、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．打开其它数据存放的软件平台，如excel、txt等软件；

3．在Matlab平台上调用数据文件；

4．根据问题和数据，建立的线性（或非线性）回归模型，并编写统计分析的M文件；

5．保存文件并运行；

6．观察运行结果（数值或图形）；

7．根据观察到的结果和体会，写出实验报告。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）。

1.某校60名学生的一次考试成绩如下：

93758393918584827776

77959489918886839681

79977875676968848381

75668570948483828078

74737670867690897166

86738094797877635355

1）计算均值、标准差、极差、偏度、峰度，画出直方图；

2）检验分布的正态性；

3）若检验符合正态分布，估计正态分布的参数并检验参数。

2．观测物体降落的距离s与时间t的关系，得到数据如下表，求s关于t的回归方程

。

3.电影院调查电视广告费用和报纸广告费用对每周收入的影响，得到下面的数据，试建立回归模型，并进行检验（写出模型检验的依据），并预测电视广告费用为1，报纸广告费用为6时的周收入（写出预测的程序指令）。

每周收入

96

90

95

92

95

95

94

94

电视广告费

1.5

2.0

1.5

2.5

3.3

2.3

4.2

2.5

报纸广告费

5.0

2.0

4.0

2.5

3.0

3.5

2.5

3.0

实验6插值与拟合建模实验

一、实验目的

了解插值与拟合的基本原理和方法；掌握用MATLAB计算插值与作最小二乘多项式拟合和曲线拟合的方法；通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；

通过动手作实验学习如何用插值与拟合方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。

这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。

二、实验学时数与实验类型

2学时，基础性实验

三、实验内容

1．编写插值方法的函数M文件；

2．用MATLAB中的函数作函数的拟合图形；

3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。

四、实验步骤

1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；

2．根据各种数值解法步骤编写M文件；

3．保存文件并运行；

4．观察运行结果（数值或图形）；

5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。

五、实验要求与任务

根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）。

1．天文学家在1914年8月的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：

米），并取得常用对数值，与日期的一组历史数据如下表：

日期（号）

18202224262830

距离对数

9.961779.954369.946819.939109.931229.923199.91499

由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.93518？

2．在某海域测得一些点（x,y）处的水深z由下表给出，船的吃水深度为5英尺，在矩形区域（75，200）*（-50，150）里的哪些地方船要避免进入。

x

y

z

129140103.588185.5195105

7.5141.52314722.5137.585.5

4868688

x

y

z

157.5107.57781162162117.5

-6.5-81356.5-66.584-33.5

9988949

（1）输入插值基点数据；

（2）在矩形区域（75，200）x（-50，150）作二维插值；

（3）作海底曲面图；

（4）作出水深小于5的海域范围，即z=5的等高线。

3．用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为

，其中V0是电容器的初始电压，

是充电常数。

试由下面一组t，v数据确定V0和

。

t（秒）

0.51234579

v（伏）

6.366.487.268.228.668.999.439.63

实验7人口增长模型及其数量预测

一、实验目的

学习由实际问题去建立数学模型的全过程；训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题；应用matlab软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab程序来求解其中的数学模型；提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力。

通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。

二、实验学时数与实验类型

2学时，综合性实验

三、实验内容

1．数学建模的基本方法；

2．查阅资料理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；

3．Matlab软件中曲线拟合函数的异常情况处理；

4．误差分析与模型检验。

四、实验步骤

1．分析理解Malthus人口指数增长模型和Logistic模型；

2．利用Matlab软件求解上述两个模型；

3．设计数据拟合方法；

4．编写M文件，保存文件并运行观察运行结果（数值或图形），并进行误差分析；

5．利用至少两种模型预测人口数量；

6．分析、整理和总结，写出实验报告。

五、实验要求与任务

从1790—1990年间美国每隔10年的人口记录如下表所示：

用以上数据检验马尔萨斯（Malthus）人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。

提示1：

Malthus模型的基本假设是：

人口的增长率为常数，记为r。

记时刻t的人口为x（t）（即x（t）为模型的状态变量），且初始时刻的人口为

，于是得到如下微分方程：

提示2：

阻滞增长模型（或Logistic模型）由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x的减函数，如设r（x）=r（1-x/xm），其中r为固有增长率（x很小时），xm为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：