备战中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第02讲整式及其运算讲练版.docx

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备战中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲第02讲整式及其运算讲练版

备战2019年中考初中数学一轮复习考点精准导练测40讲

第02讲整式及其运算

【考题导向】

1．整式的相关概念和化简求值，乘法公式的灵活运用是考查的基本内容．

2．用整式（代数式）表示数量关系，以及探求、归纳与整式有关的一般规律用以解决实际问题．

3．主要的思想方法：

类比的思想、转化的思想以及整体代换的方法．

【考点精练】

考点1：

与整式相关的概念

【典例】（2018包头）（3.00分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么

的值是（　　）

A．

B．

C．1D．3

【同步练】（2018湖北荆州）（3.00分）下列代数式中，整式为（　　）

A．x+1B．

C．

D．

考点2：

求代数式的值

【典例】（2018包头）（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为　　．

【同步练】．（2018贵阳）（3.00分）当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（　　）

A．﹣1B．﹣2C．4D．﹣4

考点3：

关于整式的规律探索

【典例】（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是　　．

【同步练】（2018•云南）按一定规律排列的单项式：

a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（　　）

A．anB．﹣anC．（﹣1）n+1anD．（﹣1）nan

考点4：

整式的加减

【典例】（2018•河北）嘉淇准备完成题目：

发现系数“

”印刷不清楚．

（1）他把“

”猜成3，请你化简：

（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；

（2）他妈妈说：

“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“

”是几？

【同步练】（2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2，

对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

考点5：

整式的乘除运算

【典例】化简：

（a+3）（a﹣2）﹣a（a﹣1）．

【同步练】（2018•淄博）先化简，再求值：

a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中

．

考点6：

因式分解

【典例】（2018辽宁抚顺））分解因式：

xy2﹣4x=　　．

【同步练】（2018哈尔滨）（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是　

考点7：

关于整式的综合考查

【典例】（2018贵阳）（8.00分）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；

（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．

【同步练】（2018吉林）（5.00分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：

原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）

=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）

=2ab﹣b2（第三步）

（1）该同学解答过程从第　　步开始出错，错误原因是　　；

（2）写出此题正确的解答过程．

【真题演练】

1.（2018•湘西州）下列运算中，正确的是（　　）

A．a2•a3=a5B．2a﹣a=2C．（a+b）2=a2+b2D．2a+3b=5ab

2.（2018•温州）计算a6•a2的结果是（　　）

A．a3B．a4C．a8D．a12

3.（2018•眉山）下列计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2B．（﹣

xy2）3=﹣

x3y6

C．x6÷x3=x2D．

=2

4.（2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：

①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（　　）

A．①B．②C．③D．④

5.（2018•河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

6.（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）

A．2aB．2bC．2a﹣2bD．﹣2b

7.（2018•玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=　　．

8.（2018•金华）化简（x﹣1）（x+1）的结果是　．

9.（2018广西桂林）因式分解：

x2﹣4=　　．

10.（2018•宜昌）先化简，再求值：

x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=

﹣4．

11.（2018•邵阳）先化简，再求值：

（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=

．

【拓展研究】

（2018•自贡）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：

一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：

x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：

设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an

∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）

又∵m+n=logaM+logaN

∴loga（M•N）=logaM+logaN

解决以下问题：

（1）将指数43=64转化为对数式　3=log464　；

（2）证明loga

=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：

计算log32+log36﹣log34=　1　．

第02讲整式及其运算（解析版）

【考题导向】

1．整式的相关概念和化简求值，乘法公式的灵活运用是考查的基本内容．

2．用整式（代数式）表示数量关系，以及探求、归纳与整式有关的一般规律用以解决实际问题．

3．主要的思想方法：

类比的思想、转化的思想以及整体代换的方法．

【考点精练】

考点1：

与整式相关的概念

【典例】（2018包头）（3.00分）如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么

的值是（　　）

A．

B．

C．1D．3

【分析】根据同类项：

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，可得出a、b的值，然后代入求值．

解析：

∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，∴a+1=2，b﹣1=1，

解得a=1，b=2．∴

=

．故选：

A．

【同步练】（2018湖北荆州）（3.00分）下列代数式中，整式为（　　）

A．x+1B．

C．

D．

解：

A、x+1是整式，故此选项正确；

B、

，是分式，故此选项错误；

C、

是二次根式，故此选项错误；

D、

，是分式，故此选项错误；故选：

A．

【点评】此类题考查了同类项、整式的知识，属于基础题，掌握同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同及其整式的概念是解答本题的关键．

考点2：

求代数式的值

【典例】（2018包头）（3.00分）若a﹣3b=2，3a﹣b=6，则b﹣a的值为　﹣2　．

【分析】将两方程相加可得4a﹣4b=8，再两边都除以2得出a﹣b的值，继而由相反数定义或等式的性质即可得出答案．

解析：

由题意知

，

①+②，得：

4a﹣4b=8，

则a﹣b=2，∴b﹣a=﹣2，

故答案为：

﹣2．

【同步练】．（2018贵阳）（3.00分）当x=﹣1时，代数式3x+1的值是（　　）

A．﹣1B．﹣2C．4D．﹣4

解：

把x=﹣1代入3x+1=﹣3+1=﹣2，

故选：

B．

【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

考点3：

关于整式的规律探索

【典例】（2018湖北荆州）（3.00分）如图所示，是一个运算程序示意图．若第一次输入k的值为125，则第2018次输出的结果是　5　．

【分析】根据运算程序可找出前几次输出的结果，根据输出结果的变化找出变化规律“第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数）”，依此规律即可得出结论．

解析：

∵第1次输出的结果是25，第2次输出的结果是5，第3次输出的结果是1，第4次输出的结果是5，第5次输出的结果是5，…，

∴第2n次输出的结果是5，第2n+1次输出的结果是1（n为正整数），

∴第2018次输出的结果是5．

故答案为：

5．

【同步练】（2018•云南）按一定规律排列的单项式：

a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，第n个单项式是（　　）

A．anB．﹣anC．（﹣1）n+1anD．（﹣1）nan

解：

a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……，（﹣1）n+1•an．

故选：

C．

【点评】本题考查了代数式求值以及规律型中数字的变化类，根据输出结果的变化找出变化规律是解题的关键．

考点4：

整式的加减

【典例】（2018•河北）嘉淇准备完成题目：

发现系数“

”印刷不清楚．

（1）他把“

”猜成3，请你化简：

（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）；

（2）他妈妈说：

“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“

”是几？

【分析】

（1）原式去括号、合并同类项即可得；

（2）设“

”是a，将a看做常数，去括号、合并同类项后根据结果为常数知二次项系数为0，据此得出a的值．

解析：

（1）（3x2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）

=3x2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=﹣2x2+6；

（2）设“

”是a，

则原式=（ax2+6x+8）﹣（6x+5x2+2）

=ax2+6x+8﹣6x﹣5x2﹣2=（a﹣5）x2+6，

∵标准答案的结果是常数，∴a﹣5=0，解得：

a=5．

【同步练】（2018•衢州）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：

小明发现这三种方案都能验证公式：

a2+2ab+b2=（a+b）2，

对于方案一，小明是这样验证的：

a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2

请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程．

方案二：

方案三：

解析：

由题意可得，

方案二：

a2+ab+（a+b）b=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2=（a+b）2，

方案三：

a2+

=

=a2+2ab+b2=（a+b）2．

【点评】1．对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类讨论等数学思想．

2．在应用乘法公式时，要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件．

考点5：

整式的乘除运算

【典例】化简：

（a+3）（a﹣2）﹣a（a﹣1）．

【分析】先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项即可得．

解析：

原式=a2﹣2a+3a﹣6﹣a2+a

=2a﹣6．

【同步练】（2018•淄博）先化简，再求值：

a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中

．

解析：

原式=a2+2ab﹣（a2+2a+1）+2a

=a2+2ab﹣a2﹣2a﹣1+2a

=2ab﹣1，

当

时，

原式=2（

+1）（

）﹣1

=2﹣1=1．

【点评】原式利用完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

考点6：

因式分解

【典例】（2018辽宁抚顺））分解因式：

xy2﹣4x=　　．

【分析】原式提取x，再利用平方差公式分解即可．

解析：

原式=x（y2﹣4）=x（y+2）（y﹣2），

故答案为：

x（y+2）（y﹣2）

【同步练】（2018哈尔滨）（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是　

解：

x3﹣25x

=x（x2﹣25）

=x（x+5）（x﹣5）．

故答案为：

x（x+5）（x﹣5）．

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

考点7：

关于整式的综合考查

【典例】（2018贵阳）（8.00分）如图，将边长为m的正方形纸板沿虚线剪成两个小正方形和两个矩形，拿掉边长为n的小正方形纸板后，将剩下的三块拼成新的矩形．

（1）用含m或n的代数式表示拼成矩形的周长；

（2）m=7，n=4，求拼成矩形的面积．

【分析】

（1）根据题意和矩形的性质列出代数式解答即可．

（2）把m=7，n=4代入矩形的长与宽中，再利用矩形的面积公式解答即可．

解析：

（1）矩形的长为：

m﹣n，

矩形的宽为：

m+n，

矩形的周长为：

4m；

（2）矩形的面积为（m+n）（m﹣n），

把m=7，n=4代入（m+n）（m﹣n）=11×3=33．

【同步练】（2018吉林）（5.00分）某同学化简a（a+2b）﹣（a+b）（a﹣b）出现了错误，解答过程如下：

原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）（第一步）

=a2+2ab﹣a2﹣b2（第二步）

=2ab﹣b2（第三步）

（1）该同学解答过程从第　　步开始出错，错误原因是　　；

（2）写出此题正确的解答过程．

解析：

（1）该同学解答过程从第二步开始出错，错误原因是去括号时没有变号；

故答案是：

二；去括号时没有变号；

（2）原式=a2+2ab﹣（a2﹣b2）

=a2+2ab﹣a2+b2

=2ab+b2．

【点评】考查了平方差公式和实数的运算，去括号规律：

①a+（b+c）=a+b+c，括号前是“+”号，去括号时连同它前面的“+”号一起去掉，括号内各项不变号；②a﹣（b﹣c）=a﹣b+c，括号前是“﹣”号，去括号时连同它前面的“﹣”号一起去掉，括号内各项都要变号．整式和其他知识的综合应用，一般先根据题意列出整式，再通过计算进行判断

【真题演练】

1.（2018•湘西州）下列运算中，正确的是（　　）

A．a2•a3=a5B．2a﹣a=2C．（a+b）2=a2+b2D．2a+3b=5ab

【分析】根据合并同类项的法则，完全平方公式，同底数幂的乘法的性质，对各选项分析判断后利用排除法求解．

【解答】：

A、a2•a3=a5，正确；

B、2a﹣a=a，错误；

C、（a+b）2=a2+2ab+b2，错误；

D、2a+3b=2a+3b，错误；

故选：

A．

2.（2018•温州）计算a6•a2的结果是（　　）

A．a3B．a4C．a8D．a12

【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算．

【解答】：

a6•a2=a8，故选：

C．

3.（2018•眉山）下列计算正确的是（　　）

A．（x+y）2=x2+y2B．（﹣

xy2）3=﹣

x3y6

C．x6÷x3=x2D．

=2

【分析】根据完全平方公式、积的乘方法则、同底数幂的除法法则和算术平方根的定义计算，判断即可．

【解答】（x+y）2=x2+2xy+y2，A错误；

（﹣

xy2）3=﹣

x3y6，B错误；

x6÷x3=x3，C错误；

=

=2，D正确；

故选：

D．

4.（2018•绍兴）下面是一位同学做的四道题：

①（a+b）2=a2+b2，②（﹣2a2）2=﹣4a4，③a5÷a3=a2，④a3•a4=a12．其中做对的一道题的序号是（　　）

A．①B．②C．③D．④

【分析】直接利用完全平方公式以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别计算得出答案．

【解答】①（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项错误；

②（﹣2a2）2=4a4，故此选项错误；

③a5÷a3=a2，正确；

④a3•a4=a7，故此选项错误．

故选：

C．

5.（2018•河北）图中的手机截屏内容是某同学完成的作业，他做对的题数是（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

【分析】根据倒数的定义、绝对值的性质、众数的定义、零指数幂的定义及单项式除以单项式的法则逐一判断可得．

【解答】①﹣1的倒数是﹣1，原题错误，该同学判断正确；

②|﹣3|=3，原题计算正确，该同学判断错误；

③1、2、3、3的众数为3，原题错误，该同学判断错误；

④20=1，原题正确，该同学判断正确；

⑤2m2÷（﹣m）=﹣2m，原题正确，该同学判断正确；

故选：

B．

6.（2018•宁波）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）

A．2aB．2bC．2a﹣2bD．﹣2b

【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．

【解答】S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），

S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），

∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．

故选：

B．

7.（2018•玉林）已知ab=a+b+1，则（a﹣1）（b﹣1）=　　．

【分析】将ab=a+b+1代入原式=ab﹣a﹣b+1合并即可得．

【解答】当ab=a+b+1时，

原式=ab﹣a﹣b+1

=a+b+1﹣a﹣b+1

=2，

故答案为：

2．

8.（2018•金华）化简（x﹣1）（x+1）的结果是　．

【分析】原式利用平方差公式计算即可得到结果．

【解答】原式=x2﹣1，故答案为：

x2﹣1

9.（2018广西桂林）因式分解：

x2﹣4=　　．

【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．

【解答】：

x2﹣4=（x+2）（x﹣2）．

故答案为：

（x+2）（x﹣2）．

10.（2018•宜昌）先化简，再求值：

x（x+1）+（2+x）（2﹣x），其中x=

﹣4．

【分析】根据单项式乘多项式、平方差公式可以化简题目中的式子，然后将x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【解答】：

x（x+1）+（2+x）（2﹣x）

=x2+x+4﹣x2

=x+4，

当x=

﹣4时，原式=

﹣4+4=

．

11.（2018•邵阳）先化简，再求值：

（a﹣2b）（a+2b）﹣（a﹣2b）2+8b2，其中a=﹣2，b=

．

【分析】原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，把a与b的值代入计算即可求出值．

【解答】：

原式=a2﹣4b2﹣a2+4ab﹣4b2+8b2=4ab，

当a=﹣2，b=

时，原式=﹣4．

【拓展研究】

（2018•自贡）阅读以下材料：

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（J．Nplcr，1550﹣1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evlcr，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：

一般地，若ax=N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作：

x=logaN．比如指数式24=16可以转化为4=log216，对数式2=log525可以转化为52=25．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

loga（M•N）=logaM+logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；理由如下：

设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an

∴M•N=am•an=am+n，由对数的定义得m+n=loga（M•N）

又∵m+n=logaM+logaN

∴loga（M•N）=logaM+logaN

解决以下问题：

（1）将指数43=64转化为对数式　3=log464　；

（2）证明loga

=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

（3）拓展运用：

计算log32+log36﹣log34=　1　．

【分析】

（1）根据题意可以把指数式43=64写成对数式；

（2）先设logaM=m，logaN=n，根据对数的定义可表示为指数式为：

M=am，N=an，计算

的结果，同理由所给材料的证明过程可得结论；

（3）根据公式：

loga（M•N）=logaM+logaN和loga

=logaM﹣logaN的逆用，将所求式子表示为：

log3（2×6÷4），计算可得结论．

【解答】

（1）由题意可得，指数式43=64写成对数式为：

3=log464，

故答案为：

3=log464；

（2）设logaM=m，logaN=n，则M=am，N=an，

∴

=

=am﹣n，由对数的定义得m﹣n=loga

，

又∵m﹣n=logaM﹣logaN，

∴loga

=logaM﹣logaN（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；

（3）log32+log36﹣log34，

=log3（2×6÷4），

=log33，

=1，

故答案为：

1．