北京市数学中考《整式及其运算》复习专题含答案解析.docx
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北京市数学中考《整式及其运算》复习专题含答案解析
北京市中考复习专题：
整式及其运算
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3B．3m2﹣2m2=m2C．（3m2）3=9m6D．
m•2m2=m2
2．已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（ ）
A．﹣3B．0C．6D．9
3．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．
﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1D．x÷（x2+x）=
+1
4．定义运算：
a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）
A．①④B．①③C．②③④D．①③④
5．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（ ）
A．2n+1B．n2﹣1C．n2+2nD．5n﹣2
二、填空题
6．若am=2，an=8，则am+n= ．
7．若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10= ．
8．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为 ．
9．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为 ．
10．已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为 ．
三、解答题
11．化简：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）2；
（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．
12．先化简再求值：
（1）4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x），其中x=
；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2），其中x=
﹣1．
13．设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
14．已知x，y满足方程组
，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
15．
（1）填空：
（a﹣b）（a+b）= ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）= ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用
（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
整式及其运算
参考答案与试题解析
一、选择题
1．下列运算正确的是（ ）
A．m6÷m2=m3B．3m2﹣2m2=m2C．（3m2）3=9m6D．
m•2m2=m2
【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．
【分析】分别利用同底数幂的除法运算法则以及合并同类项法则、积的乘方运算法则、单项式乘以单项式运算法则分别分析得出答案．
【解答】解：
A、m6÷m2=m4，故此选项错误；
B、3m2﹣2m2=m2，正确；
C、（3m2）3=27m6，故此选项错误；
D、
m•2m2=m3，故此选项错误；
故选：
B．
【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算以及合并同类项、积的乘方运算、单项式乘以单项式等知识，熟练应用相关运算法则是解题关键．
2．已知x﹣2y=3，那么代数式3﹣2x+4y的值是（ ）
A．﹣3B．0C．6D．9
【考点】代数式求值．
【分析】将3﹣2x+4y变形为3﹣2（x﹣2y），然后代入数值进行计算即可．
【解答】解：
∵x﹣2y=3，
∴3﹣2x+4y=3﹣2（x﹣2y）=3﹣2×3=﹣3；
故选：
A．
【点评】本题主要考查的是求代数式的值，将x﹣2y=3整体代入是解题的关键．
3．下列各式的变形中，正确的是（ ）
A．（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2B．
﹣x=
C．x2﹣4x+3=（x﹣2）2+1D．x÷（x2+x）=
+1
【考点】平方差公式；整式的除法；因式分解-十字相乘法等；分式的加减法．
【分析】根据平方差公式和分式的加减以及整式的除法计算即可．
【解答】解：
A、（﹣x﹣y）（﹣x+y）=x2﹣y2，正确；
B、
，错误；
C、x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，错误；
D、x÷（x2+x）=
，错误；
故选A．
【点评】此题考查平方差公式和分式的加减以及整式的除法，关键是根据法则计算．
4．定义运算：
a⊗b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：
①2⊗（﹣2）=6，②a⊗b=b⊗a，③若a+b=0，则（a⊗a）+（b⊗b）=2ab，④若a⊗b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（ ）
A．①④B．①③C．②③④D．①③④
【考点】整式的混合运算；有理数的混合运算．
【专题】新定义．
【分析】各项利用题中的新定义计算得到结果，即可做出判断．
【解答】解：
根据题意得：
2⊗（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；
a⊗b=a（1﹣b）=a﹣ab，b⊗a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；
（a⊗a）+（b⊗b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2=a+b﹣（a+b）2+2ab=2ab，选项③正确；
若a⊗b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，
故选D
【点评】此题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
5．用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（ ）
A．2n+1B．n2﹣1C．n2+2nD．5n﹣2
【考点】规律型：
图形的变化类．
【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．
【解答】解：
∵第1个图形中，小正方形的个数是：
22﹣1=3；
第2个图形中，小正方形的个数是：
32﹣1=8；
第3个图形中，小正方形的个数是：
42﹣1=15；
…
∴第n个图形中，小正方形的个数是：
（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；
故选：
C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：
从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．
二、填空题
6．若am=2，an=8，则am+n= 16 ．
【考点】同底数幂的乘法．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用同底数幂的乘法法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：
∵am=2，an=8，
∴am+n=am•an=16，
故答案为：
16
【点评】此题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键．
7．若mn=m+3，则2mn+3m﹣5mn+10= 1 ．
【考点】整式的加减—化简求值．
【专题】计算题；整式．
【分析】原式合并后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：
原式=﹣3mn+3m+10，
把mn=m+3代入得：
原式=﹣3m﹣9+3m+10=1，
故答案为：
1
【点评】此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
8．已知多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，m为常数，则m的值为 ﹣2 ．
【考点】多项式．
【分析】根据已知二次三项式得出m﹣2≠0，|m|=2，求出即可．
【解答】解：
因为多项式x|m|+（m﹣2）x﹣10是二次三项式，
可得：
m﹣2≠0，|m|=2，
解得：
m=﹣2，
故答案为：
﹣2
【点评】本题考查了二次三项式的定义，关键是求出二次三项式．
9．一个矩形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为 a+2 ．
【考点】整式的除法．
【分析】根据矩形的面积和已知边长，利用多项式除以单项式的法则计算即可求出另一边长．
【解答】解：
∵（a2+2a）÷a=a+2，
∴另一边长为a+2，
故答案为：
a+2．
【点评】本题主要考查多项式除以单项式的法则；熟练掌握多项式除以单项式的法则是解决问题的关键．
10．已知x2+x﹣5=0，则代数式（x﹣1）2﹣x（x﹣3）+（x+2）（x﹣2）的值为 2 ．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到原式=x2+x﹣3，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：
原式=x2﹣2x+1﹣x2+3x+x2﹣4
=x2+x﹣3，
因为x2+x﹣5=0，
所以x2+x=5，
所以原式=5﹣3=2．
故答案为2．
【点评】本题考查了整式的混合运算﹣化简求值：
先按运算顺序把整式化简，再把对应字母的值代入求整式的值．有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．
三、解答题
11．化简：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）2；
（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）．
【考点】整式的混合运算．
【分析】
（1）根据整式的除法、完全平方公式可以解答本题；
（2）根据单项式乘多项式和平方差公式可以解答本题．
【解答】解：
（1）（a2b﹣2ab2﹣b3）÷b﹣（a﹣b）2
=a2﹣2ab﹣b2﹣a2+2ab﹣b2
=﹣2b2；
（2）a（2﹣a）+（a+1）（a﹣1）
=2a﹣a2+a2﹣1
=2a﹣1．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
12．先化简再求值：
（1）4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x），其中x=
；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2），其中x=
﹣1．
【考点】整式的混合运算—化简求值．
【分析】
（1）先化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题；
（2）先化简题目中的式子，然后将x的值代入即可解答本题．
【解答】解：
（1）4x•x+（2x﹣1）（1﹣2x）
=4x2﹣4x2+4x﹣1
=4x﹣1，
当x=
时，原式=4×
﹣1=
；
（2）（2x+1）（2x﹣1）﹣（x+1）（3x﹣2）
=4x2﹣1﹣3x2﹣x+2
=x2﹣x+1，
当x=
﹣1时，
原式=
=
=5
．
【点评】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是明确整式的混合运算的计算方法．
13．设y=ax，若代数式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）化简的结果为x2，请你求出满足条件的a值．
【考点】整式的混合运算；平方根．
【分析】先利用因式分解得到原式（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，再把当y=ax代入得到原式=（a+1）2x2，所以当（a+1）2=1满足条件，然后解关于a的方程即可．
【解答】解：
原式=（x+y）（x﹣2y）+3y（x+y）=（x+y）2，
当y=ax，代入原式得（1+a）2x2=x2，
即（1+a）2=1，
解得：
a=﹣2或0．
【点评】本题考查了因式分解的运用：
利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题．
14．已知x，y满足方程组
，求代数式（x﹣y）2﹣（x+2y）（x﹣2y）的值．
【考点】代数式求值；解二元一次方程组．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用平方差公式，完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果，求出方程组的解得到x与y的值，代入计算即可求出值．
【解答】解：
原式=（x2﹣2xy+y2）﹣（x2﹣4y2）=x2﹣2xy+y2﹣x2+4y2=﹣2xy+5y2，
方程组
，
①+②得：
3x=﹣3，即x=﹣1，
把x=﹣1代入①得：
y=
，
则原式=
+
=
．
【点评】此题考查了代数式求值，以及解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．
（1）填空：
（a﹣b）（a+b）= a2﹣b2 ；
（a﹣b）（a2+ab+b2）= a3﹣b3 ；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）= a4﹣b4 ．
（2）猜想：
（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）= an﹣bn （其中n为正整数，且n≥2）．
（3）利用
（2）猜想的结论计算：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2．
【考点】平方差公式．
【专题】规律型．
【分析】
（1）根据平方差公式与多项式乘以多项式的运算法则运算即可；
（2）根据
（1）的规律可得结果；
（3）原式变形后，利用
（2）得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：
（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；
（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3；
（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4；
故答案为：
a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4；
（2）由
（1）的规律可得：
原式=an﹣bn，
故答案为：
an﹣bn；
（3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342．
法二：
29﹣28+27﹣…+23﹣22+2
=29﹣28+27﹣…+23﹣22+2﹣1+1
=
=342
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
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