运行结果如下：
符号函数
符号函数的定义为：
在MATLAB中有专门用于表示符号函数的函数sign（），由于单位阶跃信号（t）和符号函数两者之间存在以下关系：
，因此，利用这个函数就可以很容易地生成单位阶跃信号。
下面举个例子来说明如何利用sign（）函数生成单位阶跃信号，并同时绘制其波形。
举例：
利用sign（）函数生成单位阶跃信号，并分别绘出两者的波形
MATLAB程序如下：
t=-5:
0.01:
5; %定义自变量取值范围及间隔，生成行向量t
f=sign（t）; %定义符号信号表达式，生成行向量f
figure
（1）; %打开图形窗口1
plot（t,f）, %绘制符号函数的波形
axis（[-5,5,-1.5,1.5]） %定义坐标轴显示范围
s=1/2+1/2*f; %生成单位阶跃信号
figure
（2）; %打开图形窗口2
plot（t,s）,
axis（[-5,5,-0.5,1.5]） %定义坐标轴显示范围
运行结果如下：
2.离散时间信号
离散时间信号又叫离散时间序列，一般用
表示，其中变量k为整数，代表离散的采样时间点（采样次数）。
在MATLAB中，离散信号的表示方法与连续信号不同，它无法用符号运算法来表示，而只能采用数值计算法表示，由于MATLAB中元素的个数是有限的，因此，MATLAB无法表示无限序列；另外，在绘制离散信号时必须使用专门绘制离散数据的命令，即stem（）函数，而不能用plot（）函数。
下面通过一些常用离散信号来说明如何用MATLAB来实现离散信号的表示，以及可视化。
单位序列（k）
单位序列（k）的定义为
下面是用MATLAB绘制单位序列（k）的MATLAB程序：
k1=-5;k2=5; %定义自变量的取值范围
k=k1:
k2; %定义自变量的取值范围及取样间隔（默认为1），并生成行向量
n=length（k）; %取向量的维数
f=zeros（1,n）; %生成与向量k的维数相同地零矩阵，给函数赋值
f（1,6）=1; %在k=0时刻，信号赋值为1
stem（k,f,'filled'） %绘制波形
%'filled'定义点的形状，可通过help文件查询其它形状的描述
axis（[k1,k2,0,1.5]） %定义坐标轴显示范围
运行结果如下：
如果要绘制移位的单位序列（k+k0）的波形，只要将以上程序略加修改即可，例如要绘制信号（k+2）的图形，可将以上程序改为：
k1=-5;k2=5; %定义自变量的取值范围
k0=3; %定义平移量
k=k1:
k2; %定义自变量的取值范围及取样间隔（默认为1），并生成行向量
n=length（k）; %取向量的维数
f=zeros（1,n）; %生成与向量k的维数相同的零矩阵，给函数赋值
f（1,-k0-k1+1）=1; %在k=k0时刻，信号赋值为1
stem（k,f,'filled'） %绘制波形
axis（[k1,k2,0,1.5]） %定义坐标轴显示范围
单位阶跃序列（k）
单位阶跃序列（k）的定义为
下面是绘制单位阶跃序列（k+k0）的MATLAB程序：
k1=-3;k2=10;k0=0; %定义起止时刻和跃变时刻
k=k1:
-k0-1; kk=-k0:
k2;
n=length（k）; %取k=k0点以前向量的维数
nn=length（kk）; %取k=k0点以后（含k=k0点）向量的维数
u=zeros（1,n）; %在k=k0以前，信号赋值为0
uu=ones（1,nn）; %在k=k0以后，信号赋值为1
stem（k,u,'filled'） %绘制k=k0以前信号的波形
holdon %保持图形窗口，以便在同一图形窗口绘制多个图形
stem（kk,uu,'filled'） %绘制k=k0以后（含k=k0点）信号的波形
holdoff %图形窗口解冻
axis（[k1,k2,0,1.5]） %设置坐标轴显示范围
运行结果如下：
注意：
以上介绍了几个常用的绘图命令：
plot，ezplot，stairs，stem，其中，绘制连续信号得到光滑的曲线时用plot命令；显示连续信号中的不连续点时用stairs命令较好；绘制离散信号波形用stem命令；当绘制用MATLAB符号表达式表达的信号时要用ezplot命令。
3.卷积积分
信号的卷积是数学上的一种积分运算，两个信号的卷积定义为：
信号的卷积运算在系统分析中主要用于求解系统的零状态响应。
一般情况，卷积积分的运算比较困难，但在MATLAB中则变得十分简单，MATLAB中是利用conv函数来实现卷积的。
功能：
实现两个函数
和
的卷积。
格式：
g=conv（f1,f2）
说明：
f1=f1（t）,f2=f2（t） 表示两个函数，g=g（t）表示两个函数的卷积结果。
例题：
已知两信号
，
，求卷积
。
MATLAB程序如下：
t1=1:
0.01:
2;t2=2:
0.01:
3;
t3=3:
0.01:
5;%两信号卷积结果自变量t区间应为：
[两信号起始时刻之%和~两信号终止时刻之和]请自行推导该结论
f1=ones（size（t1））;%高度为一的门函数，时间从t=1到t=2
f2=ones（size（t2））; %高度为一的门函数，时间从t=2到t=3
g=conv（f1,f2）; %对f1和f2进行卷积
subplot（3,1,1）,plot（t1,f1）; %画f1的波形
subplot（3,1,2）,plot（t2,f2）; %画f2的波形
subplot（3,1,3）,plot（t3,g）; %grid on; 画g的波形
三、实验内容
1.分别用MATLAB的向量表示法和符号运算功能，表示并绘出下列连续时间信号的波形：
⑴
⑵
⑶
⑷
2.分别用MATLAB表示并绘出下列离散时间信号的波形：
⑴
⑵
⑶
⑷
3.已知信号f（t）的波形如下图所示，试用MATLAB绘出满足下列要求的信号波形。
⑴
⑵
⑶
（其中a的值分别为a＝0.5和a＝2）
⑷
4.已知两信号
，
，求卷积积分
，并与例题比较。
5.已知两信号
，
，求卷积积分
。
6.已知
，求两序列的卷积和。
四、预习要求
1.熟悉常见信号的意义、特性及用MATLAB软件表示的方法
2.熟悉用MATLAB软件绘制信号波形的方法
3.编写MATLAB程序
五、实验报告要求
1.简述实验目的及实验原理
2.抄写实验内容，写出程序清单
3.记录信号波形
4.实验总结（收获及体会）
实验三 连续时间信号的频域分析
一、 实验目的
1．熟悉傅里叶变换的性质
2．熟悉常见信号的傅里叶变换
3．了解傅里叶变换的MATLAB实现方法
二、 实验原理
傅里叶变换是信号分析的最重要的内容之一。
从已知信号
求出相应的频谱函数
的数学表示为：
的傅里叶变换存在的充分条件是
在无限区间内绝对可积，即
满足下式：
但上式并非傅里叶变换存在的必要条件。
在引入广义函数概念之后，使一些不满足绝对可积条件的函数也能进行傅里叶变换。
傅里叶反变换的定义为：
。
在这一部分的学习中，大家都体会到了这种数学运算的麻烦。
在MATLAB语言中有专门对信号进行正反傅里叶变换的语句，使得傅里叶变换很容易在MATLAB中实现。
在MATLAB中实现傅里叶变换的方法有两种，一种是利用MATLAB中的SymbolicMathToolbox提供的专用函数直接求解函数的傅里叶变换和傅里叶反变换，另一种是傅里叶变换的数值计算实现法。
下面分别介绍这两种实现方法的原理。
1.直接调用专用函数法
①在MATLAB中实现傅里叶变换的函数为：
F=fourier（f） 对f（t）进行傅里叶变换，其结果为F（w）
F=fourier（f,v） 对f（t）进行傅里叶变换，其结果为F（v）
F=fourier（f,u,v） 对f（u）进行傅里叶变换，其结果为F（v）
②傅里叶反变换
f=ifourier（F） 对F（w）进行傅里叶反变换，其结果为f（x）
f=ifourier（F,U） 对F（w）进行傅里叶反变换，其结果为f（u）
f=ifourier（F,v,u） 对F（v）进行傅里叶反变换，其结果为f（u）
由于MATLAB中函数类型非常丰富，要想了解函数的意义和用法，可以用mhelp命令。
如在命令窗口键入：
mhelpfourier回车，则会得到fourier的意义和用法。
注意：
（1）在调用函数fourier（）及ifourier（）之前，要用syms命令对所有需要用到的变量（如t,u,v,w）等进行说明，即要将这些变量说明成符号变量。
对fourier（）中的f及ifourier（）中的F也要用符号定义符sym将其说明为符号表达式。
（2）采用fourier（）及fourier（）得到的返回函数，仍然为符号表达式。
在对其作图时要用ezplot（）函数，而不能用plot（）函数。
（3）fourier（）及fourier（）函数的应用有很多局限性，如果在返回函数中含有δ（ω）等函数，则ezplot（）函数也无法作出图来。
另外，在用fourier（）函数对某些信号进行变换时，其返回函数如果包含一些不能直接表达的式子，则此时当然也就无法作图了。
这是fourier（）函数的一个局限。
另一个局限是在很多场合，尽管原时间信号f（t）是连续的，但却不能表示成符号表达式，此时只能应用下面介绍的数值计算法来进行傅氏变换了，当然，大多数情况下，用数值计算法所求的频谱函数只是一种近似值。
例①求门函数
的傅里叶变换，并画出幅度频谱图
MATLAB程序如下：
symstw %定义两个符号变量t,w
Gt=sym（'Heaviside（t+1）-Heaviside（t-1）'）; %产生门宽为2的门函数
Fw=fourier（Gt,t,w）; %对门函数作傅氏变换求F（jw）
FFw=maple（'convert',Fw,'piecewise'）; %数据类型转换，转为分段函数，此处可以去掉
FFP=abs（FFw）; %求振幅频谱|F（jw）|
ezplot（FFP,[-10*pi10*pi]）;grid; %绘制函数图形，并加网格
axis（[-10*pi10*pi02.2]） %限定坐标轴范围
运行结果：
Fw=exp（i*w）*（pi*Dirac（w）-i/w）-exp（-i*w）*（pi*Dirac（w）-i/w）
%Dirac（w）为δ（ω），即傅立叶变换结果中含有奇异函数，故绘图前需作函数类型转换
FFw=-i*exp（i*w）/w+i*exp（-i*w）/w%FFw为复数
FFP=abs（-i*exp（i*w）/w+i*exp（-i*w）/w）%求FFw的模值
例②求函数
的傅里叶反变换f（t）
MATLAB程序如下：
symstw %定义两个符号变量t,w
Fw=sym（'1/（1+w^2）'）; %定义频谱函数F（jw）
ft=ifourier（Fw,w,t）; %对频谱函数F（jw）进行傅氏反变换
运行结果：
ft=
1/2*exp（-t）*Heaviside（t）+1/2*exp（t）*Heaviside（-t）
2、傅里叶变换的数值计算实现法
严格说来，如果不使用symbolic工具箱，是不能分析连续时间信号的。
采用数值计算方法实现连续时间信号的傅里叶变换，实质上只是借助于MATLAB的强大数值计算功能，特别是其强大的矩阵运算能力而进行的一种近似计算。
傅里叶变换的数值计算实现法的原理如下：
对于连续时间信号f（t），其傅里叶变换为：
其中τ为取样间隔，如果f（t）是时限信号，或者当|t|大于某个给定值时，f（t）的值已经衰减得很厉害，可以近似地看成是时限信号，则上式中的n取值就是有限的，假定为N，有：
若对频率变量ω进行取样，得：
通常取：
，其中
是要取的频率范围，或信号的频带宽度。
采用MATLAB实现上式时，其要点是要生成f（t）的N个样本值
的向量，以及向量
，两向量的内积（即两矩阵的乘积），结果即完成上式的傅里叶变换的数值计算。
注意：
时间取样间隔τ的确定，其依据是τ必须小于奈奎斯特（Nyquist）取样间隔。
如果f（t）不是严格的带限信号，则可以根据实际计算的精度要求来确定一个适当的频率
为信号的带宽。
例③用数值计算法实现上面门函数
的傅里叶变换，并画出幅度频谱图.
分析：
该信号的频谱为
，其第一个过零点频率为π，一般将此频率认为是信号的带宽。
但考虑到
的形状（为抽样函数），假如
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