推荐高考数学理真题分类汇编解析几何.docx
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推荐高考数学理真题分类汇编解析几何
数学
H单元 解析几何
H1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
14.[2014·湖北卷]设f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,且f(x)>0,对任意a>0,b>0,若经过点(a,f(a)),(b,-f(b))的直线与x轴的交点为(c,0),则称c为a,b关于函数f(x)的平均数,记为Mf(a,b),例如,当f(x)=1(x>0)时,可得Mf(a,b)=c=,即Mf(a,b)为a,b的算术平均数.
(1)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的几何平均数;
(2)当f(x)=________(x>0)时,Mf(a,b)为a,b的调和平均数.
(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)
14.
(1)
(2)x(或填
(1)k1;
(2)k2x,其中k1,k2为正常数)
20.[2014·江西卷]如图17所示,已知双曲线C:
-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
图17
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x0,y0)(y0≠0)的直线l:
-y0y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.证明:
当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.
20.解:
(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=.
由题意,直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),所以B.
又直线OA的方程为y=x,
则A,所以kAB==.
又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得a2=3,故双曲线C的方程为-y2=1.
(2)由
(1)知a=,则直线l的方程为-y0y=1(y0≠0),即y=(y0≠0).
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M,直线l与直线x=的交点为N,,
则===
·.
又P(x0,y0)是C上一点,则-y=1,
代入上式得=·=·=,所以==,为定值.
20.,,[2014·四川卷]已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明:
OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
②当最小时,求点T的坐标.
20.解:
(1)由已知可得
解得a2=6,b2=2,
所以椭圆C的标准方程是+=1.
(2)①证明:
由
(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m),
则直线TF的斜率kTF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=.直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.
所以y1+y2=,y1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
设M为PQ的中点,则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM=-,
又直线OT的斜率kOT=-,
所以点M在直线OT上,
因此OT平分线段PQ.
②由①可得,
|TF|=,
|PQ|=
=
=
=.
所以==
≥=.
当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.
故当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).
H2 两直线的位置关系与点到直线的距离
21.、、[2014·全国卷]已知抛物线C:
y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
21.解:
(1)设Q(x0,4),代入y2=2px,得x0=,
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2,
所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y2=4x,得y2-4my-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故线段的AB的中点为D(2m2+1,2m),
|AB|=|y1-y2|=4(m2+1).
又直线l′的斜率为-m,
所以l′的方程为x=-y+2m2+3.
将上式代入y2=4x,
并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
故线段MN的中点为E,
|MN|=|y3-y4|=.
由于线段MN垂直平分线段AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,
从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,即
4(m2+1)2++=
,
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1,
故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
H3 圆的方程
9.、[2014·福建卷]设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5B.+
C.7+D.6
9.D
H4 直线与圆、圆与圆的位置关系
10.、[2014·安徽卷]在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足=(a+b).曲线C={P|=acosθ+bsinθ,0≤θ<2π},区域Ω={P|0<r≤|PQ|≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则( )
A.1<r<R<3B.1<r<3≤R
C.r≤1<R<3D.1<r<3<R
10.A
19.、、[2014·北京卷]已知椭圆C:
x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
19.解:
(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1.
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e==.
(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),
其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-.
当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,
得t=±,
故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=,
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),
即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
圆心O到直线AB的距离
d=.
又x+2y=4,t=-,故
d===.
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
6.、[2014·福建卷]直线l:
y=kx+1与圆O:
x2+y2=1相交于A,B两点,则“k=1”是“△OAB的面积为”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分又不必要条件
6.A
12.[2014·湖北卷]直线l1:
y=x+a和l2:
y=x+b将单位圆C:
x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=________.
12.2
15.、[2014·全国卷]直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线.若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于________.
15.
15.[2014·山东卷]已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈I),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈I),y=h(x)满足:
对任意x∈I,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是________.
15.(2,+∞)
12.[2014·陕西卷]若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________.
12.x2+(y-1)2=1
14.,[2014·四川卷]设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是________.
14.5
13.[2014·重庆卷]已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=________.
13.4±
21.,[2014·重庆卷]如图14所示,设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,=2,△DF1F2的面积为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.
图14
21.解:
(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由=2得|DF1|==c.
从而S△DF1F2=|DF1||F1F2|=c2=,故c=1.
从而|DF1|=,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=,因此|DF2|=,
所以2a=|DF1|+|DF2|=2,故a=,b2=a2-c2=1.
因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
(2)如图所示,设圆心在y轴上的圆C与椭圆+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.
由
(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以=(x1+1,y1),=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+y=0.由椭圆方程得1-=(x1+1)2,即3x+4x1=0,解得x1=-或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=|P1P2|=|x1|=.
H5 椭圆及其几何性质
20.,,[2014·四川卷]已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
(1)求椭圆C的标准方程.
(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
①证明:
OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
②当最小时,求点T的坐标.
20.解:
(1)由已知可得
解得a2=6,b2=2,
所以椭圆C的标准方程是+=1.
(2)①证明:
由
(1)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m),
则直线TF的斜率kTF==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率kPQ=.直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m2+3)y2-4my-2=0,
其判别式Δ=16m2+8(m2+3)>0.
所以y1+y2=,y1y2=,
x1+x2=m(y1+y2)-4=.
设M为PQ的中点,则M点的坐标为.
所以直线OM的斜率kOM=-,
又直线OT的斜率kOT=-,
所以点M在直线OT上,
因此OT平分线段PQ.
②由①可得,
|TF|=,
|PQ|=
=
=
=.
所以==
≥=.
当且仅当m2+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.
故当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).
14.[2014·安徽卷]设F1,F2分别是椭圆E:
x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________.
14.x2+y2=1
19.、、[2014·北京卷]已知椭圆C:
x2+2y2=4.
(1)求椭圆C的离心率;
(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.
19.解:
(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1.
所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.
因此a=2,c=.
故椭圆C的离心率e==.
(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:
设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),
其中x0≠0.
因为OA⊥OB,所以·=0,
即tx0+2y0=0,解得t=-.
当x0=t时,y0=-,代入椭圆C的方程,
得t=±,
故直线AB的方程为x=±.圆心O到直线AB的距离d=,
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
当x0≠t时,直线AB的方程为y-2=(x-t),
即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.
圆心O到直线AB的距离
d=.
又x+2y=4,t=-,故
d===.
此时直线AB与圆x2+y2=2相切.
9.、[2014·福建卷]设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是( )
A.5B.+
C.7+D.6
9.D [解析]设圆心为点C,则圆x2+(y-6)2=2的圆心为C(0,6),半径r=.设点Q(x0,y0)是椭圆上任意一点,则+y=1,即x=10-10y,
∴|CQ|===,
当y0=-时,|CQ|有最大值5 ,
则P,Q两点间的最大距离为5 +r=6 .
20.、[2014·广东卷]已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.
9.、[2014·湖北卷]已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A.B.C.3D.2
9.A
21.、、、[2014·湖南卷]如图17,O为坐标原点,椭圆C1:
+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e1;双曲线C2:
-=1的左、右焦点分别为F3,F4,离心率为e2.已知e1e2=,且|F2F4|=-1.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点.当直线OM与C2交于P,Q两点时,求四边形APBQ面积的最小值.
图17
21.解:
(1)因为e1e2=,所以·=,即a4-b4=a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),
F4(b,0),于是b-b=|F2F4|=-1,所以b=1,a2=2.故C1,C2的方程分别为+y2=1,-y2=1.
(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1,由得(m2+2)y2-2my-1=0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=,y1y2=.
因此x1+x2=m(y1+y2)-2=,于是AB的中点为M,故直线PQ的斜率为-,PQ的方程为y=-x,即mx+2y=0.
由得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=,y2=,从而|PQ|=2=2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=.因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)<0,于是|mx1+2y1|+|mx2+2y2|=|mx1+2y1-mx2-2y2|,从而2d=.
又因为|y1-y2|==,所以2d=.
故四边形APBQ的面积S=|PQ|·2d==2·.
而0<2-m2≤2,故当m=0时,S取最小值2.
综上所述,四边形APBQ面积的最小值为2.
15.[2014·江西卷]过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:
+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
15.
15.[2014·辽宁卷]已知椭圆C:
+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=______.
15.12
20.、[2014·辽宁卷]圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图16所示).双曲线C1:
-=1过点P且离心率为.
图16
(1)求C1的方程;
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
20.解:
(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),即x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为,.故其围成的三角形的面积S=··=.由x+y=4≥2x0y0知,当且仅当x0=y0=时x0y0有最大值2,此时S有最小值4,因此点P的坐标为(,).
由题意知
解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-=1.
(2)由
(1)知C2的焦点坐标为(-,0),(,0),由此可设C2的方程为+=1,其中b1>0.
由P(,)在C2上,得+=1,
解得b=3,
因此C2的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.
设直线l的方程为x=my+,点A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(m2+2)y2+2my-3=0.
又y1,y2是方程的根,因此
②
由x1=my1+,x2=my2+,得
因为=(-x1,-y1),=(-x2,-y2),由题意知·=0,
所以x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+4=0,⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1.
因此直线l的方程为
x-(-1)y-=0或x+(-1)y-=0.
6.[2014·全国卷]已知椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1B.+y2=1
C.+=1D.+=1
6.A
20.、、[2014·新课标全国卷Ⅰ]已知点A(0,-2),椭圆E:
+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
20.解:
(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.
又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故可设l:
y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0,
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,
x1,2=,
从而|PQ|=|x1-x2|
=.
又点O到直线l的距离d=.
所以△OPQ的面积
S△OPQ=d·|PQ|=.
设=t,则t>0,S△OPQ==.
因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,k=±,l的方程为y=x-2或y=-x-2.
20.、、[2014·新课标全国卷Ⅱ]设F1,F2分别是椭圆C:
+=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=
5|F1N|,求a,b.
20.解:
(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得=,=-2(舍去).
故C的离心率为.
(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1<0,则
即
代入C的方程,得+=1.②
将①及c=代入②得+=1,
解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.
10.,[2014·山东卷]已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为-=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为( )
A.x±y=0B.x±y=0
C.x±2y=0D.2x±y=0
10.A [解析]椭圆C1的离心率e1=,双曲线C2的离心率e2=.由e1e2=·=×=,
解得=,所以=,所以双曲线C2的渐近线方程是y=±x.故选A.
20.,,[2014·陕西卷]如图15所示,曲线C由上半椭圆C1:
+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:
y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
图15
20.解:
(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.
设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2,
∴a=2,b=1.
(2)方法一:
由
(1)知,上半椭圆C1的方程为+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xP=,从而yP=,
∴点P的坐标为.
同理,由
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,
∴AP·AQ=0,即[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,
∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
故直线l的方程为y=-(x-1).
方法二:
若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照方法一给分.
20.,,[2014·陕西卷]如图15所示,曲线C由上半椭圆C1:
+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:
y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.
图15
20.解:
(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.
设C1的半焦距为c,由=及a2-c2=b2=1得a=2,