春季学期新版北师大版九年级数学下册14解直角三角形教案.docx

春季学期新版北师大版九年级数学下册14解直角三角形教案.docx

《春季学期新版北师大版九年级数学下册14解直角三角形教案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《春季学期新版北师大版九年级数学下册14解直角三角形教案.docx（132页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

春季学期新版北师大版九年级数学下册14解直角三角形教案

第一章　直角三角形的边角关系

1.经历探索直角三角形中边角之间关系,以及30°,45°,60°角的三角函数值的过程,发展观察、分析、发现问题的能力.

2.理解锐角三角函数的意义,并能够通过实例进行说明.

3.会求解含30°,45°,60°角的三角函数值的问题.

4.能够借助计算器由已知锐角求出它的三角函数值,或由已知三角函数值求出相应的锐角.

5.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.

6.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.

7.体会数形之间的关系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.

1.能够用锐角三角函数解直角三角形,发展推理能力和运算能力.

2.能够解决与直角三角形有关的实际问题,培养分析问题和解决问题的能力.

3.通过探索学习,使学生经历“观察——分析——发现——运用”的过程,掌握直角三角形边角之间的关系,进一步体会数形之间的联系.

1.通过对直角三角形中边角之间关系的探究,进一步激发学生学习图形中各个元素之间关系的兴趣.

2.能够运用锐角三角函数解直角三角形,进一步养成分析问题、解决问题的良好学习习惯.

本章是在学习直角三角形的边、角知识的基础上,进一步探究直角三角形的边和角之间的关系.同时也是正比例函数、一次函数、反比例函数等函数知识的延续.直角三角形中边角之间的关系在现实生活中应用广泛.锐角三角函数在解决现实问题中有着重要的作用.如在测量、建筑、工程技术和物理学中,人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题,一般来说,这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中边和角之间关系的问题.通过直角三角形中边角之间的关系的学习,学生将进一步体会数学知识之间的联系（边和角之间的关系）,把这种关系用数量的形式表示出来,是分析问题和解决问题过程中常用的方法.通过学习也将为其他数学知识奠定基础.通过研究图形之中各个元素之间的关系,进一步感受数形结合思想,体会数形结合的方法.

【重点】

1.三角函数及其有关的概念.

2.特殊角的三角函数值的探究及应用.

3.利用计算器求三角函数值或锐角的度数.

4.能够用锐角三角函数解直角三角形.

5.能够运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题.

【难点】

1.探索直角三角形中边角之间关系和30°,45°,60°角的三角函数值的过程.

2.解决与直角三角形有关的实际问题.

3.体会数、形之间的关系,掌握用数形结合思想分析问题和解决问题.

1.注重问题情境的创设.

在引入锐角三角函数时,要创设符合学生实际生活的情境,激发学生的学习兴趣,使学生感受到数学与现实世界的联系.如通过梯子的情境问题,引出第一个三角函数——正切.对于这个问题,学生比较熟悉,而且属于开放性问题,直观上又容易判断.又如,在学习特殊角的三角函数时,用学生熟悉的三角尺引入,使学生较快进入30°,45°,60°角的三角函数值的探索.

2.鼓励学生有条理地进行思考和表达.

引导学生观察、分析、发现直角三角形中边角之间的关系,让他们学会有条理地思考和表达.例如,利用相似的直角三角形,如何获得正切的概念?

如何建立直角三角形中角和边之间的关系?

如何类比正切的概念获得正弦和余弦的概念?

3.重视渗透数学思想方法,促进学生思维水平的提高.

教学中应注重渗透数形结合的思想方法,引导学生逐步从对具体问题的研究中提炼出数学思想方法.在形成正切概念的过程中,教师要给学生留有充分的时间,让学生利用前面学过的相似三角形的知识去探索对边和邻边之比与角的大小的关系,进而获得正切的概念.在引出正弦和余弦的概念时,可以类比正切概念获得的过程,从数学的角度直接引入.这样可以使学生从已学知识进行联想,加深对概念的理解,提升学生的思想水平.在解直角三角形的过程中,要让学生体会计算过程所依据的算理,以及如何根据已知条件去探求结论的思考过程.

4.关注问题解决的教学过程.

对于实际问题,首先要引导学生弄清实际问题的意义,然后逐步把实际问题转化为数学问题,帮助学生形成模型思想.另外,教师要注意为学生的问题解决过程搭建“脚手架”:

一是对一些术语（如仰角、俯角、坡度、零部件截面图等）进行说明;二是对解决问题的策略、问题的发现和提出等,都要提供一定的帮助与支持.

5.精心设计实践活动的教学流程.

对于第6节“利用三角函数测高”这样的实践活

动,建议首先将学生分组,各组分头准备测量所需的仪器;其次,由学生自己设计活动报告,教师给予必要的指导;再次,尽量安排那些学生比较熟悉,且易于开展的小组活动,并能保证任务完成的质量;最后,在活动期间,教师应在现场观察、指导各组的活动,同时应做必要的记录.

6.根据《标准》要求,把握好三角函数的定位.

教学中要把握好三角函数的定位.教科书上虽然称“锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数”,但实际上并没有特别明确地从函数的角度研究它们,也就是说没有研究随着角的变化,其三角函数值的变化规律;而是研究当锐角一定时,直角三角形中相应边的比值是什么.教学中要把握好这个定位,切莫提高要求.

1　锐角三角函数

2课时

2　30°,45°,60°角的三角函数值

1课时

3　三角函数的计算

1课时

4　解直角三角形

1课时

5　三角函数的应用

1课时

6　利用三角函数测高

1课时

回顾与思考

1课时

1　锐角三角函数

1.经历探索直角三角形中边角之间关系的过程.

2.理解锐角三角函数（正切、正弦、余弦）的意义,并能够举例说明.

3.能够运用tanA,sinA,cosA表示直角三角形中两边的比.

4.能够根据直角三角形中的边角关系进行简单的计算.

1.经历三个锐角三角函数的探索过程,确信三角函数的合理性,体会数形结合的数学思想.

2.在探索锐角三角函数的过程中,初步体验探索、讨论、验证对学习数学的重要性.

1.通过锐角三角函数概念的建立,使学生经历从特殊到一般的认识过程.

2.让学生在探索、分析、论证、总结获取新知识的过程中体验成功的喜悦,从解决实际问题中感悟数学的实用性,培养学生学习数学的兴趣.

【重点】

1.理解锐角三角函数的意义.

2.能利用三角函数解三角形的边角关系.

【难点】　能根据直角三角形的边角关系进行简单的计算.

第

课时

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比,表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,能够用正切进行简单的计算.

3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.

1.体验数形之间的联系,逐步学习利用数形结合思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力.

2.体会解决问题的策略多样性,发展实践能力和创新精神.

1.积极参与数学活动,对数学产生好奇心和求知欲.

2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯.

【重点】

1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.

2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义,加强数学与生活的联系.

【难点】　理解正切的意义,并用它来表示生活中物体的倾斜程度、坡度等.

【教师准备】　多媒体课件.

【学生准备】

1.自制4个直角三角形纸板.

2.复习直角三角形相似的判定和直角三角形的性质.

导入一:

课件出示:

你知道图中建筑物的名字吗?

是的,它就是意大利著名的比萨斜塔,是世界著名建筑奇观,位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上,是奇迹广场三大建筑之一,也是意大利著名的标志之一,它从建成之日起便由于土层松软而倾斜.

【引入】　应该如何来描述它的倾斜程度呢?

学完本节课的知识我们就能解决这个问题了.

[设计意图]　创设新颖、有趣的问题情境,以比萨斜塔的倾斜程度激发学生的学习兴趣,从而自然引出课题,并且为学生探究梯子的倾斜程度埋下伏笔.

导入二:

课件出示:

四个规模不同的滑梯A,B,C,D,它们的滑板长（平直的）分别为300cm,250cm,200cm,200cm;滑板与地面所成的角度分别为30°,45°,45°,60°.

【问题】　四个滑梯中哪个滑梯的高度最高?

[设计意图]　利用学生所熟悉的滑梯进行引导,使学生有亲切感,滑梯与课本中引用梯子比较类似,学生的探究思路会比较顺畅.

　　[过渡语]　梯子是我们日常生活中常见的物体.我们经常听人们说这个梯子放的“陡”,那个梯子放的“平缓”,人们是如何判断的呢?

“陡”和“平缓”是用来描述梯子什么的?

一、正切的定义

（一）探究新知

请同学们看下图,并回答问题.

探究一:

问题1

课件出示:

在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?

你是怎样判断的?

你有几种判断方法?

小组讨论后展示结果:

1组:

梯子AB较陡.我们组是借助量角器量倾斜角,发现∠ABC>∠EFD,根据倾斜角越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.

师:

哪组还有不同的判定方法?

2组:

我们也是认为梯子AB较陡.我们组是分别计算AC与BC的比,ED与FD的比,发现前者的比值大,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡,可以得到梯子AB较陡.

3组:

我们组的方法和1组的大致相同,借助倾斜角来判断,不过不是测量,我们是过E作EG∥AB交FD于G,就可以清晰比较∠ABC与∠EFD的大小了.

4组:

我们组发现这两架梯子的高度相同,水平宽度越小,梯子就越陡,所以我们也认为梯子AB较陡.

探究二:

问题2

课件出示:

在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?

你是怎样判断的?

学生会类比问题1给出的四种判断方法,只要说得合理即可.

问题3

课件出示:

在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?

你是怎么判断的?

多给学生思考和讨论的时间.

代表发言:

AB和EF的倾斜度一样.由于两个直角三角形的两直角边的比值相等,再加上夹角相等,可以判定两个直角三角形相似,根据相似三角形的对应角相等,可以证明两个倾斜角相等,所以AB和EF的倾斜度一样.

教师引导:

我们发现当直角三角形的两直角边的比值相等时,梯子的倾斜度一样,请大家判断一下在问题2与问题3中,两直角边的比值与倾斜度有什么关系?

请继续探究下面的问题.

问题4

课件出示:

在下图中,梯子AB和EF哪个更陡?

你是怎样判断的?

教师引导:

我们观察上图直观判断梯子的倾斜程度,即哪一个更陡,可能就比较困难了.能不能从上面的探究中得到什么启示呢?

生讨论后得出:

思路1:

梯子EF较陡,因为∠EFD>∠ABC,根据倾斜角越大,梯子就越陡.

思路2:

梯子EF较陡,因为>,根据铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.

师生共同总结:

在日常的生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.

做一做:

请通过计算说明梯子AB和EF哪一个更陡呢?

生独立解答,代表展示:

∵==,==,<,

∴梯子EF比梯子AB更陡.

[设计意图]　通过探究逐层深入的问题,让学生经历由简单到复杂、由特殊到一般的探究过程,既对已学知识和生活经验进行了回味和运用,也让学生的思想逐步向本节课的中心“两直角边之比”靠近.

[知识拓展]　梯子的倾斜程度的判定方法:

（1）梯子的倾斜程度和倾斜角有关系,倾斜角越大,梯子就越陡.

（2）梯子的倾斜程度和铅直高度与水平宽度的比有关系,铅直高度与水平宽度的比越大,梯子就越陡.

（二）再探新知

　　[过渡语]　在日常生活中,我们判断哪个梯子更陡,应该从梯子AB和EF的倾斜角大小,或垂直高度和水平宽度的比的大小来判断.可是小明和小亮在判断梯子AB1的倾斜程度时发生了矛盾,我们来看一看.

课件出示:

【想一想】　如图所示,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子的倾斜程度;而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗?

（1）直角三角形AB1C1和直角三角形AB2C2有什么关系?

生很容易得出两个三角形相似.

由生说明理由:

∵∠B2AC2=∠B1AC1,∠B2C2A=∠B1C1A=90°,∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2.

（2）和有什么关系?

由于Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2,所以有=.

（3）如果改变B2在梯子上的位置呢?

由此你得出什么结论?

生先独立思考后分组讨论.

生得出结论:

改变B2在梯子上的位置,铅直高度与水平宽度的比始终相等.

想一想:

现在如果改变∠A的大小,∠A的对边与邻边的比值会改变吗?

生讨论得出:

∠A的大小改变,∠A的对边与邻边的比值会改变.∠A的对边与邻边的比只与∠A的大小有关系,而与它所在直角三角形的大小无关.

【总结提升】　由于直角三角形中的锐角A确定以后,它的对边与邻边的比也随之确定,因此我们有如下定义:

如图所示,在Rt△ABC中,如果锐角A确定,那么∠A的对边与邻边之比便随之确定,这个比叫做∠A的正切（tangent）,记作tanA,即tanA=.

当锐角A变化时,tanA的值也随之变化.

能力提升:

如果∠A+∠B=90°,那么tanA与tanB有什么关系?

生讨论得出结论:

tanA=,即任意锐角的正切值与它的余角的正切值互为倒数.

【议一议】　前面我们讨论了梯子的倾斜程度,在课本图1-3中,梯子的倾斜程度与tanA有关系吗?

学生思考后,统一答案:

tanA的值越大,梯子越陡.（反之,梯子越陡,tanA的值越大）

[设计意图]　此环节的设计是为了突出概念的形成过程,帮助学生理解概念.通过让学生参与、动手操作,让学生学会由特殊到一般、数形结合及函数的思想方法,提高学生分析问题和解决问题的能力.

[知识拓展]　正切的注意事项:

（1）tanA是一个完整的符号,它表示∠A的正切,记号里习惯省去角的符号“∠”.

（2）tanA没有单位,它表示一个比值,即直角三角形中∠A的对边与邻边的比.（3）tanA不表示“tan”乘以“A”.（4）初中阶段,我们只学习直角三角形中锐角的正切.

（三）例题解析

　　[过渡语]　通过探究我们了解了正切的概念,下面就来进行“实战演习”,检验一下我们的理解能力.

课件出示:

（教材例1）如图所示表示甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?

想一想:

要判断哪个自动扶梯比较陡,只需求出什么即可?

生思考后得出:

比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡,只需分别求出tanα,tanβ的值进行比较大小即可,正切值越大,扶梯就越陡.

要求学生独立解答,代表展示:

解:

甲梯中,tanα==.

乙梯中,tanβ==.

因为tanα>tanβ,所以甲梯更陡.

[设计意图]　通过对例题的解答让学生初步学会运用“正切”这一数学工具判断梯子的倾斜程度,同时规范学生的解题步骤,培养良好的解题习惯.

二、正切的应用

　　[过渡语]　正切在日常生活中的应用很广泛,例如,在建筑、工程技术中,经常用正切描述山坡的坡度.

课件出示:

如图所示,有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度（即tanα）就是:

i=tanα==.

结论:

坡面与水平面的夹角（α）称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）,tanα=,即坡度等于坡角的正切.

[设计意图]　正切在日常生活中的应用很广泛,通过正切刻画梯子的倾斜程度及坡度的数学意义,密切数学与生活的联系,使学生明白学习数学就是为了更好地应用数学,为生活服务.

[知识拓展]　坡度与坡面的关系:

坡度越大,坡面越陡.

（1）正切的定义:

tanA=.

（2）梯子的倾斜程度与tanA的关系（∠A和tanA之间的关系）:

tanA的值越大,梯子越陡.

（3）坡度（或坡比）的定义:

i=tanα=.

1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则tanA等于（　　）

A.B.C.D.

解析:

∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,∴BC=5,∴tanA=.故选B.

2.如图所示,将∠AOB放置在5×5的正方形网格中,则tan∠AOB的值是（　　）

A.B.

C.D.

解析:

认真读图,在以∠AOB的O为顶点的直角三角形里求tan∠AOB的值,由图可得tan∠AOB=.故选B.

3.（2014·温州中考）如图所示,在△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=1,则tanA的值是　　　　. 

解析:

tanA==.故填.

4.河堤横断面如图所示,堤高BC=5m,迎水坡AB的坡度是1∶（坡度是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比）,则AB的长是　　　　. 

解析:

在Rt△ABC中,BC=5,tanA=1∶,∴AC=5,∴AB==10（m）.故填10m.

第1课时

（1）正切的定义:

tanA=.

（2）梯子的倾斜程度与tanA的关系（∠A和tanA之间的关系）:

tanA的值越大,梯子越陡.

（3）坡度（或坡比）的定义:

i=tanα=.

一、教材作业

【必做题】

1.教材第4页随堂练习第1,2题.

2.教材第4页习题1.1第1,2题.

【选做题】

教材第4页习题1.1第3,4题.

二、课后作业

【基础巩固】

1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则tanA的值为（　　）

A.B.

C.D.

2.小明沿着坡度为1∶2的山坡向上走了1000m,则他升高了（　　）

A.500mB.200m

C.500mD.1000m

3.已知斜坡的坡度为i=1∶5,如果这一斜坡的高度为2m,那么这一斜坡的水平距离为　　　　m. 

【能力提升】

4.（2015·山西中考）如图所示,在网格中,小正方形的边长均为1,点A,B,C都在格点上,则∠ABC的正切值是（　　）

A.2B.

C.D.

5.如图所示,将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A'B'C',使点B'与C重合,连接A'B,则tan∠A'BC'的值为　　　　. 

6.如图所示,在锐角三角形ABC中,AB=10cm,BC=9cm,△ABC的面积为27cm2.求tanB的值.

7.某商场为方便顾客使用购物车,准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4（如图所示）.如果改动后电梯的坡面长为13m,求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长.

【拓展探究】

8.如图所示,在△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,若AB=13,BC=10,试求tan∠DBC的值.

【答案与解析】

1.D（解析:

∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,∴tanA===.故选D.）

2.B（解析:

设铅直高度为xm,∵坡度为1∶2,∴水平宽度为2xm,由勾股定理得x2+（2x）2=10002,解得x=200.∴他升高了200m.故选B.）

3.10（解析:

∵斜坡的坡比是1∶5,∴=.∴=,∴斜坡的水平距离为=10m.故填10.）

4.D（解析:

如图所示,连接AC,由勾股定理,得AC=,AB=2,BC=,∴△ABC为直角三角形,∴tanB==.故选D.）

5.（解析:

如图所示,过A'作A'D⊥BC',垂足为D.在等腰直角三角形A'B'C'中,易知A'D是底边上的中线,∴A'D=B'D=.∵BC=B'C',∴tan∠A'BC'===.故填.）

6.解:

如图所示,过点A作AH⊥BC于H,∵S△ABC=27,∴×9×AH=27,∴AH=6.∵AB=10,∴BH===8,∴tanB===.

7.解:

在Rt△ADC中,AD∶DC=1∶2.4,AC=13,由AD2+DC2=AC2,得AD2+（2.4AD）2=132,∴AD=±5（负值不合题意,舍去）,∴DC=12.在Rt△ABD中,∵AD∶BD=1∶1.8,∴BD=5×1.8=9,∴BC=DC-BD=12-9=3（m）.答:

改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3m.

8.解:

如图所示,过点A,D分别作AH⊥BC,DF⊥BC,垂足分别为点H,F.∵BC=10,AH⊥BC,AB=AC,∴BH=5.∵AB=13,∴AH==12,在Rt△ACH中,AH=12,易知AH∥DF,且D为AC中点,∴DF=AH=6,∴BF=BC=,∴在Rt△DBF中,tan∠DBC==.

本节课是三角函数部分的第一节概念教学,教学内容比较抽象,学生不易理解.为此结合初中学生身心发展的特点,运用实验教学、直观教学,唤起和加深学生对教学内容的体会和了解,并培养和发展学生的观察、思维能力,这是贯彻“从生动的直观到抽象的思维,并从抽象的思维到实践”的认识规律,能使学生学习数学的过程成为积极的、愉快的和富有想象的过程,使学习数学的过程不再是令人生畏的过程.概念教学由学生熟悉的实例入手,引导学生观察、分析、动手、动脑、动口多种感官参与,并组织学生积极参与小组成员间合作交流.通过由特殊到一般、具体到抽象的探索过程,紧紧围绕着函数概念,引出正切概念,再通过相应的典型题组练习巩固概念.并且在教学过程中,注重了阶段性的反思小结,使学生能够及时总结知识和方法.

本节课的开放性还不够,探究梯子倾斜程度时,学生的一些奇思妙想没有给予展示机会.第一个环节内容设计多了一些,所以导致后面的教学处理上稍显仓促.

对第一个环节的处理力求更加简洁,并大胆放手让学生去探索、去发现,真正让学生成为学习的主人.

随堂练习（教材第4页）

1.解:

能.tanC====.

2.解:

根据题意,得AB=200,BC=55,则AC===5,所以山的坡度为=≈0.286.

习题1.1（教材第4页）

1.解:

∵BC===12,∴tanA==,tanB==.

2.解:

∵tanA==,BC=3,∴AC=BC=.

4.tanA=.

学生学习时首先通过情境题了解本节课学习的主要任务,做到有的放矢,然后利用“由一般到特殊”的数学思想,通过三个探究活动逐步得出梯子的倾斜程度与tanA的关系（∠A和tanA之间的关系）,在探究的过程中可以通过自主探究与合作交流的方式抓住重点,突破难点.学生在运用正切解决问题时,一定要注意其前提条件——在直角三角形中,找准直角是解题的关键.而有些题目需要作辅助线构造直角三角形,也可以通过角度的转化进行求解,同时还要注意数形结合思想的运用.

　如图所示,设计建造一条道路,路基的横断面为梯形ABCD,设路基高为h,两侧的坡角分别为α,β.已知h=2m,α=45°,tanβ=,CD=10m.求路基底部AB的宽.

〔解析〕　如图所示,过D,C分别作下底AB的垂线,垂足分别为E,F.在Rt△ADE和Rt△BCF中,可根据h的长以及坡角的度数或坡比的值,求出AE,BF的长,进而可求得AB的值.

解:

如图所示,过D作DE⊥AB于E,过C作CF⊥AB于F,∴DE∥CF.

∵四边形ABCD为梯形,

∴AB∥CD,∴EF=CD=10m.

∴四边形DCFE为矩形.

在Rt△ADE中,α=45°,DE=h=2m,∴CF=DE=h=2m.

在Rt△BCF中,tanβ=,CF=2m,∴BF=2CF=4（m）.

故AB=AE+EF+BF=AE+CD+BF=2+10+4=16（m）.

答:

路基底部AB的宽为16m.

[解题策略]　此题主要考查了坡度问题的应用,求坡度、坡角问题通常要转换为解直角三角形的问题,必要时应添加辅助线,构造出直角三角形