天大《理论力学》学习笔记五.docx
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天大《理论力学》学习笔记五
主题:
《理论力学》学习笔记
内容:
《理论力学》学习笔记五
——刚体的平面运动
教学目的、要求:
掌握:
瞬心法求平面图形的速度
理解:
刚体转动的合成
教学内容:
基本内容:
刚体作平面运动方程;研究平面运动的基本方法;平面运动刚体上点的速度分析的三种方法,瞬心法分析平面运动刚体上各点的加速度;用绕两平行轴转动分解平面运动。
重点:
刚体平面运动速度和加速度;
难点:
相对位置的判别及重影点可见性。
基本要求
1.会对刚体的平面运动进行分解
2.掌握用瞬心法求平面图形内的各点速度
3.会用基点法求加速度
4.掌握刚体转动的合成问题
7-1刚体平面运动方程式
一、定义
定义:
刚体在运动过程中,其上存在一个平面始终和固定平面保持平行且距离不变,则称此刚体作平面运动。
或刚体作平面运动的充要条件是:
刚体在运动过程中其上任何一点到某固定平面的距离始终保持不变。
L0L0L二、刚体的平面运动简化成平面图形的运动
观察图,设刚体与平面之截面为,在刚
体上作一直线并交于LSLAA⊥21SA点,则由定义
不难推出,在刚体运动过程中,作平动,
故可用21AAA点代表的运动。
由此推出以下结
论。
21AA
结论:
刚体的平面运动可以用平面图形来代表。
S三、刚体平面运动方程式
现在来描述平面图形在空间的位置。
S
（1在图形上作直线AB,只需确定AB的位置就
可以确定的位置。
S（2运动方程式（7-1
（（（（（（⎪⎭
⎪⎬⎫======tfttftyytftxxAAAA321ϕϕ如果A点固定不动,则为定轴转动;如果φ不变,则为平移。
所以,平面运动可以分解为平移和转动。
7-2平面运动分解为平动和转动
一、基点法是研究刚体平面运动的基本方法
选取图形上某点A为基点,并以基点为坐标原点,建立一平动动系,如图所示。
yxA′′在图形上任作一直线AB,用以代表图形的运动。
设经过t∆之后AB运动到BA′′,此过程可以分解为两个步骤:
（1平动—即由AB到BA′′′,此时
∥ABBA′′′,称跟随基点平动。
（2定轴转动—即BA′′′绕基点转到BA′′,
转过一个ϕ∆角。
这样,平面运动分解成跟随基点的平动和相对
于基点的转动。
这种分解方法称为基点法。
二、基点法的特点
（1平动部分与基点选择有关。
（2转动部分与基点选择无关。
读者试用作图方法验证之。
（3相对于动系转动的角速度ϕ
ω&=r。
由于是平动动系,所以ϕωω&==ar。
称为图形的角速度,与基点选择无关。
平面图形的角速度和角加速度是绝对角速度、角加速度。
例半径为r的齿轮由曲柄OA带动,沿半径为R的固定齿轮滚动。
如曲柄OA以匀角加速度ε绕O轴转动,且当运动开始时,角速度ωo=0,转角ϕ=0,求动齿轮以中心A
为基点的平面运动方程。
解:
OA作定轴转动,由条件得
2
22
202
1sin（sin（2
1cos（cos（2121trRrRytrRrRxtttAAεϕεϕεεωϕ+=+=+=+==+=A轮作平面运动,且相对于固定齿轮滚动,设其转角为θ,所以有22（tr
rRrrRrrRεϕθθϕ+=+==+则动齿轮A以中心A为基点的平面运动方程为222
2（2sin（2
cos（tr
rRtrRytrRxAAεθε
ε+=+=+=7-3平面运动刚体上各点的速度分析
一、基点法
点的速度合成定理:
reavvv+=。
当我们分析刚体上各点的速度时,要用到第八章所学概念。
图所示,设已知图形上A点速度及图
形角速度Avω。
现在分析任意点M的速度。
连接AM,设rAM=。
取A为基点,
建立平动动系（在以后的分析中动系
可以不画出来,基点法本身就意味着有此动
系,约定为默认。
11yAx（1刚体的运动分解为跟随基点的平
动和相对于基点的定轴转动
（2动点M,动系平动。
∴·动点的绝对运动是未知的平面曲线运动。
·牵连运动——平动。
·动点的相对运动是圆周运动。
（因刚体的相对运动是定轴转动。
即:
Aevv=rv×=ωr
ωrvr=
于是,可以画出图上的速度平行四边形
rAreaMvvvvvv+=+==
（7-1式中vr是动点M相对于动系的速度,因动系跟随基点A
平动,因此vr亦可认为是动点M相对于基点A的速度,表为
vMA。
因此式（7-1改写成:
MAAMvvv+=（7-2
其中:
vM为动点M的绝对速度
vA为基点的速度（相对于定系
vMA为动点M相对于基点A的速度（相对速度
若在平面运动刚体上另取一点B,则BAABvvv+=（7-3
二.速度投影定理——速度分析的第二种方法（亦称“基点法的推论”
我们再来观察图。
因刚体相对于基点A作定轴转动,所以应垂直于其半径AB。
此时如果我们将式（7-3投影到AB线上,将得出什么结论呢?
BAvABBAABAABB][][][vvv+=
∴
ABBA⊥v∵0][=ABBAv
于是有ABAABB][][vv=（7-5
速度投影定理:
同一刚体上任意两点的速度在该两点连线上的投影相等（包含大小和正负号。
此定理的物理意义为:
刚体上任意两点的距离恒定不变。
因此,速度投影定理不仅适用于刚体作平面运动,也适用于刚体作任何运动。
7-4求平面图形内各点速度的瞬心法
仍从基点法出发,如果某瞬时,平面图形上存在一动点C,其相对于基点的速度满足下式
ACAvv−=
则得到一个特殊的结论:
0=+=CAACvvv
该瞬时C点的绝对速度为零,我们称之为瞬时速度中心,或速度瞬心（简称瞬心。
见图。
在图上,取Av⊥ANωAvAC=
则
有
ACAvACv=⋅=ω
由图示可见
ACAvv−=此时若选取瞬心C为基点,则平面图形上其
他各点的绝对速度就是相对于瞬心C的速度,就好象此瞬时平面图形绕C点作定轴转动时的速度
分析一样,如图所示。
（1定理
刚体作平面运动时,任意瞬时,平面图形上存在且仅存在一个点,在此瞬时该点的绝对速度为零,称该点为此瞬时刚体的瞬时速度中心,或称速度瞬心（简称瞬心,此瞬时刚体上其他各点的速度分布规律等效于此瞬时图形以刚体的角速度ω绕瞬心作定轴转动时的速度分布一样。
说明:
①在寻找瞬心时,可以设想任意扩大平面图形,因为有些情形,瞬心不在刚体上,如一直杆作平面运动时。
②不同瞬时,速度瞬心为刚体上的不同的点,且该点加速度不为零,因此瞬心法只能用来分析该瞬时刚体上各点的速度,切不可用来分析刚体上各点的加速度。
（2确定平面运动刚体的瞬心位置的常用方法
①纯滚动的情形
与固定面之接触点即为该瞬时之瞬心C。
②已知图形上任意两点A、B的速度方位,且不平行。
分别过A、B两点作vA、vB的垂线,其交点即为瞬心C
。
③已知图形上存在两个点A、B,有vA∥vB,且垂直于AB连线,此种情形还须知道两速度之大小。
④瞬时平动情形
若某瞬时已知平面运动刚体上有两点的速度相互平行但与两点连线不垂直,则此瞬时必有刚体上各点速度大小、方向全相同,称为瞬时平动,此时不存在瞬心,或说瞬心在无穷远处。
例图所示曲柄连杆机构。
已知rOA=,lAB=。
①求图示位置连杆AB之瞬心;②求OA在铅垂位置时连杆AB之运动特点。
解:
①分析各构件运动,OA绕O作定轴转动,vA⊥OA,方向如图示;AB杆作平面运动;B点作直线运动。
VB沿OB方向,属于已知两点速度方位,过A、B两点分别作vA和vB的垂线其交点C即为图示瞬时之瞬心C。
②当OA位于铅垂位置时的情形。
如图所示。
此时vA∥vB,但与AB不垂直,所以,此时AB作瞬时平动。
例图示一传动机构,当OA往复摇摆时可使圆轮绕O1轴转动。
设OA=15cm,O1B=10cm,在图示位置,ω=2rad/s,试求圆轮转动的角速度。
O
1
ω1vB
vA
60°
ωOA
B30
°
解:
AB作平面运动,画出A、B两点的速度方向如图根据速度投影定理,vB、vA在AB上的投影vB=vAcos30°
rad/s
6.22
3
1015230cos111=××==ωωωoOABOll
例图示机构中,套管的铰链C和CD杆连接并套在AB杆上。
已知OA=20cm,AB=40cm,在图示瞬时α=30°,套管在AB的中点,曲柄OA的角速度ω=4rad/s。
求此瞬时CD杆的速度大小和方向。
C
O
A
vB
B
α
ω
vA
D
vr
va
C
ve
解:
由题可知:
vA=ω⋅OA=4×20=80（cm/s
AB作平面运动,由A、B两点的速度方向,可知AB作瞬时平移,如图（2。
套筒C与CD杆铰接,并套在AB上,相对于AB作相对运动,选套筒C为动点,将动坐标系固结在AB上,C点的速度分析如图（3
↓
==∴=====方向cm/s（2.46cm/s（2.463/8030ctg/
cm/s（80aCDeaAevvvvvvo7-5平面运动刚体上各点的加速度分析
基点法:
如图所示,以A为基点建立平动动系。
取B为动点。
设A点之加速度为
τAn
A
aaa+=A
平面图形的角速度为ω,角加速度为ε,则相对加速度
为
。
τBAn
BABAaaa+=由加速度合成定理:
τ
τBAAnAaaaaaaa+++=+=nBABAAB
（7-6若已知ω,ε,rAB=,,,则可求:
τAan
Aa
⎪⎩⎪⎨⎧==εωτraraBAnBA2
或
⎪⎩⎪⎨⎧×=××=r
araεωωτ
BAnBA
（
rraaaAnA×+××++=εωωτ（B基点法:
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点基点转动的切
向加速度和法向加速度的矢量和
例半径为R的圆轮在地面上沿直线轨道作纯滚动,已知轮心O的速度v0和加速度a0。
求（1轮子的角速度和图示瞬时轮缘上A、B两点的速度。
（2轮子的角加速度及此时A、C两点的加速度。
解:
轮子作平面运动,C点与地面接触,为瞬时速度中心。
1.用瞬心法求角速度和A、B两点的速度
（1Rv0=ω方向如图（b示。
（2vA,vB方向如图示。
022vRvA==ω
022vRvB==ω
2.用基点法求速度
（1以O为基点,C为动点,
0=+=COOCvvv,RvCO=ω
（2分别以A,B为动点求vA和vB。
瞬心法求速度,角速度更简单些。
3.求轮子的角加速度轮心O作直线运动,所以dtdva00=
又dt
dω
ε=,因Rv0=ω所以R
aRvdtd0
0=
⎟⎠⎞⎜⎝⎛=
ε,（因R为常数4.用基点法求A、C之加速度A点:
以O为基点
如（c示
τAOn
AOOAaaaa++=
其中:
R
vRa
n
AO
20
2
==ω,
0aRaAO==ετC点:
如图示τ
CO
nCOOCaaaa++=其中:
R
vRa
n
CO
202
==ω,
0aRaCO==ετ
即0aa−=τ
CO所以n
CO
Caa=可见,瞬时速度中心C的加速度不为零。
是轮上点绝对运动的切向加速度,
其轨迹为摆线,如图（c所示。
这充分显示了“瞬时”的概念,切切牢记。
C例图示曲柄连杆机构。
已知rOA=,lAB=,图示瞬时之θ,ω,ε。
求
vB,ωAB,aB,ABε。
解:
用基点法求解1.分析各构件的运动
（1曲柄OA绕O作定轴转动,ω和ε已知,vA可求。
（2连杆AB作平面运动,
（3滑块B平动,B点沿x轴作直线运动。
2.选取A点为基点,B为动点3.分析B点的运动
（1绝对运动为直线运动,vB沿Ox轴。
（2相对运动为圆周运动,圆心为A,半径为l,相对速度垂直于AB,相对加速度
。
τBAaaa+=n
BABA（3牵连运动为平动;
Avve=Aeaa=。
4.应用速度合成定理求v
B和ABω
BAABvvv+=如例图9-1（b所示,其中ωrvA=ABBAABAABB][][][vvv+=ψψθcossin（BAvv=+由ψθsinsinlr=可求得ψ（从略得ψ
ψθωψψθcos
sin（cossin（+=+=rvvAB
方向如图示。
由yBAyAyB][][][vvv+=可得ψ
θ
ωψθcoscoscoscosrvvABA==方向如图示,所以ψ
θωωcoscoslrlvBAAB==（顺时针
5.讨论:
用瞬心法可得同样结果。
作vA和vB的垂线交于C,C点即杆之瞬心。
AC
vA
AB=
ω,ABBBCvω⋅=
6.用基点法求加速度
2ωranA=,,,,大小未知（因大小未知,所以其指向可任设
ετraA=2ωlanBA
=ABBA⊥τaτBAa①
τ
τBAnBAAnABaaaaa+++=（1向AB轴投影
②
n
BAAnABaaaa++++=sin（cos（cosψθψθψτ解得]sin（cos（[cos122ABBlrraωψθεψθωψ
++++=
（2向y轴投影
0cossincossin=+++−ψψθθττBAn
BAAnAaaaa得sincossin（cos1ψθθψ
ττn
BAAnABAaaaa−−=
l
aBAABτ
ε=（逆时针要点及讨论:
（1如有θ,ω,ε,及r和l的具体数据,即可求得的具体数值,假如所得结果为正值,则说明图示所设方向正确,τBAaε方向亦正确,若所得数值为负值,则说明与所设方向相反,则ε应为顺时针。
（2列出加速度公式①之后,应分析哪些量为已知,哪些量为未知,一个矢量式,可解出两个未知量,如果多于两个未知量,则该式不能全解。
为解式①,应适当选取投影轴,以使计算简单。
在本题中,和的大小未知,其他物理量均已知,故可解。
BaτBAa（3本题未杆系类型,此类问题欲求平面图形（如AB之角加速度时,须先求出相对切向加速度。
τBAa思考:
二例比较,两者求平面运动刚体之角加速度的过程（思路有何区别?
理论力学—学习笔记五7-6刚体绕两个平行轴转动的合成在机械传动系统中，常用到行星轮系统，其运动特点如图所示。
Ⅰ轴固定不动，称为太阳轮。
O0O为曲柄，或称系杆，两端用铰链分别与Ⅰ和Ⅱ轮相连。
Ⅱ轮在Ⅰ轮上作纯滚动，即作平面运动。
在O0O上建立一动系xOy随O0O一起绕O0轴转动，即牵连运动为转动。
Ⅱ轮相对于动系的运动（即相对运动）为绕A轴的定轴转动。
这样Ⅱ轮的绝对运动（平面运动）就分解为跟随动系绕O0轴的转动和相对于动系统O轴的转动，O0轴和O轴均垂直于O0xy平面，即为绕两平行轴的转动。
一、同向转动的情形。
取此时轮缘上B点为动点。
如图设t1瞬时，OA处于水平位置（与x轴重合）所示。
此时AB、Ox’和Ox重合。
t2瞬时OA转过θe角到达OA′。
若Ⅱ轮无相对转动，则B点到达B0点。
今设Ⅱ轮相对于OA转过θr角，则B点到达B′点。
即半径AB由水平位置运动到A′B′,其绝对转角θa为两个转动的叠加：
θa=θe+θr将上式两边求导即得同向转动的角速度合成定理。
ωa=ωe+ωr二、反向转动的情形
理论力学—学习笔记五设t1瞬时，OA处于水平位置（与x轴重合）。
取此时轮缘上B点为动点。
如图所示。
此时AB、Ox’和Ox重合。
t2瞬时OA反时针转过一θe角到达OA′。
Ⅱ轮相对于Ox′顺时针转过θr角，AB到达A′B′处。
θa=θe−θr两边求导，得反向转动的角速度合成定理：
ωa=ωe−ωr综合同向和反向两个公式，用矢量式表示为：
角速度合成定理：
ωa=ωe+ωr思考题1.刚体平面运动通常分解为哪两个运动，它们与基点的选取有无关系？
求刚体上各点的加速度时要不要考虑科氏加速度？
2.平面图形上两点A和B的速度vA和vB间有什么关系？
若vA的方位垂直于AB，问vB的方位如何？
3.车轮沿曲面滚动。
已知轮心O在某一瞬时的速度vO和加速度aO。
问车轮的角加速度是否等于aOcosα/R？
速度瞬心C的家度的大小和方向如何确定？
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