非线性规划问题的Matlab实现求解.docx
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非线性规划问题的Matlab实现求解
非线性规划问题的Matlab实现求解
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目录（三号黑体居中）
空一行
空一行
一、※※※※※※…………………………………………………1
（一）※※※※※※…………………………………………………1
1.※※※※※※※※※※※※※…………………………………1
2.※※※※※※※…………………………………………………4
（二）※※※※………………………………………………………7
（三）※※※※※※※※……………………………………………12
二、※※※※…………………………………………………………16
（一）※※※※※……………………………………………………16
（二）※※※※※……………………………………………………24
1.※※※※…………………………………………………………24
2.※※※※※………………………………………………………30
3.※※※※…………………………………………………………31
（三）※※※※………………………………………………………33
三、※※※※…………………………………………………………36
（一）※※※※※……………………………………………………38
（二）※※※※………………………………………………………43
四、※※※※…………………………………………………………45
参考文献………………………………………………………………48
附录……………………………………………………………………50
（标题顺序号、内容及其开始页码均为四号宋体，一级标题为黑体四号）
序言
非线性规划问题通常难以用人力计算，所以我们一般利用Matlab软件代替人去计算抽象的非线性规划问题，解决了耗费时间、耗费精力的问题，快速准确的得出计算结果。
因此，善于利用Matlab实现非线性规划问题的求解非常重要，而求解非线性规划问题之前必须先对问题进行建立数学模型，才能准确的理解题意并快速的运用Matlab求解。
一、非现性规划的基本概念
（一）定义
如果目标函数或约束条件中至少有一个是非线性函数,则最优化问题就叫做非线性规划问题，简记为NP。
（二）一般形式
其中：
称为模型（NP）的决策变量，
称为目标函数，
和
称为约束函数；
称为等式约束；
称为不等式约束。
（三）其他情况
求目标函数的最大值，或约束条件小于等于零两种情况，都可通过取其相反数化为上述一般形式。
二、非线性规划问题的案例
（一）经营方式安排问题案例
某公司经营两种设备，第一种设备每件售价30元，第二种设备每件售价450元，根据统计售出第一件第一种设备所需的营业时间平均为0.5小时，第二种设备是（2+0.25
）小时，其中
是第二种设备的售出数量，已知该公司在这段时间内的总营业时间为800小时，试确定使营业额最大的营业计划。
（二）资金最优使用方案案例
设有400万元资金，要求在4年内使用完，若在一年内使用资金x万元，则可获得效益
万元（设效益不再投资），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%，试制定出这笔资金的使用方案，以使4年的经济效益总和为最大。
三、给案例建立数学模型
数学模型（MathematicalModel）是一种模拟，是用数学符号、数学式子、程序、图形等对实际课题本质属性的抽象而又简洁的刻划，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。
数学模型一般并非现实问题的直接翻版，它的建立常常既需要人们对现实问题深入细微的观察和分析，又需要人们灵活巧妙地利用各种数学知识。
这种应用知识从实际课题中抽象、提炼出数学模型的过程就称为数学建模。
（一）经营方式安排问题建模
设该公司计划经营的一种设备为X
，第二种设备X
件，根据题意，建立如下的数学模型
（二）资金最优使用方案建模
针对现有资金400万元，对于不同的使用方案，4年内所获得的效益的总和是不相同的。
比如第一年就把400万元全部用完，这获得的效益总和为
=20.0万元；若前三年均不用这笔资金，而把它存入银行，则第四年时的本息和为400×
=532.4万元，再把它全部用完，则效益总和为23.07万元，比第一种方案效益多3万多元，所以用最优化方法可以制定出一种最优的使用方案，以使4年的经济效益总和为最大。
建立模型：
设X
表示第i年所使用资金数，T表示4年的效益总和，则目标函数为：
决策变量的约束条件：
每一年所使用资金既不能为负数，也不能超过当年所拥有的资金数，即第一年使用的资金数
，满足
0≤
≤400
第二年资金数
，满足
0≤
≤（400-
）×1.1
（第一年未使用资金存入银行一年后的本利之和）；
第三年资金数
，满足
0≤
≤[（400-
）×1.1-
]×1.1
第四年资金数
，满足
0≤
≤{[（400-
）×1.1-
]×1.1-
}×1.1
这样，资金使用问题的数学模型为
模型的求解：
这是非线性规划模型的求解问题，可选用函数
[x.fval]=fmincon（fun,x0,a,b,Aeq,beq,lb,ub）
对问题进行求解。
首先，用极小化的形式将目标函数改写为
其次，将约束条件表示为如下形式
其中各输入参数为
，
，
四、利用Matlab实现求解
（一）经营方式安排问题求解
首先，编写M文件来定义目标函数，并将其保存为wangmazi.m
functionf=wangmazi（x）
f=-30*x
（1）-450*x
（2）;
其次，由于约束条件是非线性不等式约束，因此，需要编写一个约束条件的M文件，将其保存为wangmazi1.m
%wangmazi1.m
function[c.cep]=wangmazi1（x）
c=0.5*x
（1）+2*x
（2）+0.25*x
（2）*x
（2）-800;
cep=[];
最后，编制主程序并存为wangmazi_2.m
clearall
lb=[0,0];
x0=[0,0];
[x,w]=fmincon（‘wangmazi’,x0,[],[],[],[],lb,[],‘wangmazi1’）
运行wangmazi_2.m,即得到结果：
x=[1495.511],w=-49815,
即该公司经营第一种设备1496件，经营第二种设备11件，即可使总营业额最大，为49815元。
（二）资金最优使用方案求解
首先编写目标函数的M文件，并将其保存为zhangsan.m
Functiony=zhangsan（x）
y=-sqrt（x
（1））-sqrt（x
（2））-sqrt（x（3））-sqrt（x（4））;
其次编写主程序并保存为文件zhangsan1.m
Clearall
A=[1.1,1,0;1.21,1.1,1,0;1.331,1.21,1.1,1];
b=[440,484,532.4];
Lb=[0,0,0,0];
ub=[400,1000,1000,1000];
x0=[100,100,100,100];
[x,fval]=fmincon（‘zhangsan’,x0,A,b,[],[],lb,ub）
结果输出：
运行zhangsan1.m,可获得如下的运行结果
x=（84.2440107.6353128.9031148.2391）
Fval=-43.0821
也即如下表所列
资金最优使用方案
第一年
第二年
第三年
第四年
现有资金/万元
400
347.4
263.8
148.2
使用金额/万元
84.2
107.6
128.9
148.2
4年效益总和最大值为T=43.08万元。
五、总结
经过这几个非线性规划问题的案例可以看出，Matlab软件对建模过后的非线性规划问题能方便快捷的得出准确的结果，能大量节省我们的时间。
但是对抽象的非线性规划问题建立数学模型也是非常重要，只有建立了正确的数学模型，才能利用Matlab软件得出正确的解。
参考文献
［1］应玖茜，魏权龄.非线性规划及其理论.北京：
中国人民大学出版社，1994.75-79
［2］赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：
高等教育出版社，2008.83-91
［3］徐全智，杨晋浩.数学建模入门.成都：
电子科技大学出版社，1996.13-14
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