数学分析报告求极限的方法.docx

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数学分析报告求极限的方法

求极限的万法

具体方法

1.利用函数极限的四则运算法则来求极限

定理1①：

若极限limf（x）和limg（x）都存在，贝U函数f（x）g（x），f（x）g（x）

xxxx

当XXo时也存在且

①limf（x）g（x）limf（x）limg（x）

X0XXoXX.o

X/V-T

/Vgm勺

・

利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如一、0等情况，都不能直接用四则运算法则，

0

必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：

求lim

X12

2.用两个重要的极限来求函数的极限

sinx

1利用lim于1来求极限

sinx

1的扩展形为:

令gx0，当xxo或x时，贝U有

解：

原式=lim

1

（12x）2x（1

1

2x）2x

e2

lim

x

sinx

例3:

求

2”

*sinx1

伽x1

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形

式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。

-般常用的方法是换元法和配指数法。

3.利用等价无穷小量代换来求极限

所谓等价无穷小量即lim丄凶1•称f（x）与g（x）是xxo时的等价无穷

2x0g（x）

小量，记作f（x）~g（x）.（xxo）.

定理2②：

设函数f（x）,g（x）,h（x）在u（x0）有定义,

且有f（x）~g（x）.（xX。

）

2可类似证明，在此就不在详细证明了！

3

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限

注：

由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的

等价无穷小量，如：

由于lim1，故有sinx~x,（x0）.又由于

另注：

在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：

只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则

tanxsinx_

3=

sinx

xx

.3

sinx

0则得到的结果是错误的

不能随意代换。

如上式中，若因有tanx~x，（x0）;sinx~x,（x0）.而推出

limg（x）=A,且在某Uo（x。

，）有f（x）h（x）g（x）,

XX0

则limh（x）=A

XX

例6:

求limx-的极限

x0x

1

解:

1x—<1-x.且lim（1x）1由迫敛性知

XX10

做此类型题目的关键在于找出大于已知函数的函数和小于已知函数的函数，

并且所找出的两个函数必须要收敛于同一个极限。

5.利用函数的连续性求极限

利用函数的连续性求极限包括：

如函数f（x）在X0点连续，贝Ulimf（x）f（x0）及若lim（x）a

XX0XX0

且f（u）在点a连续，则

例7:

求lim

由于lim

X0

1COSX

2arcsinx2*

4及函数

ue4在u4处连续’故

1COSX

—2arcsinx2

e

=elXm

1COSX

2

2arcsinx

=e4

6.利用洛比达法则求函数的极限

在前面的叙述中，我们已经提到了利用等价无穷小量来求函数的极限，在此

笔者叙述一种牵涉到无穷小（大）量的比较的求极限的方法。

我们把两个无穷小

实用标准文档

量或两个无穷大量的比的极限统称为不定式极限，分别记作0型或一型的不定

0

式极限。

现在我们将以导数为工具研究不定式极限，这个方法通常称为洛比达法则。

下面就给出不定式极限的求法。

（1）对于0型不定式极限，可根据以下定理来求出函数的极限

0

定理4④：

若函数f（x）和函数g（x）满足：

②在点X。

的某空心邻域u（X。

）两者都可导，且g'（x）0

g'齐A。

（A可为实数，也可为或）

注：

此定理的证明可利用柯西中值定理，在此，笔者就不一一赘述了

解：

容易检验

f（x）=1+cosx与g（x）=tan2x在x0的邻域里满足定理的条件①和②，又因

f'（x）sinxcos3x1

lLmg'（x）llm2tanxsec2xlLm22

f'（x）=丄g'（x）=2

故由洛比达法则求得,

f（x）_

lim応=lim

0g（x）xX0

在此类题目中，如果ljm说x）仍是0型的不定式极限'只要有可能'我们

可再次利用洛比达法则，即考察极限limf（x）是否存在。

当然，这是f'（x）和

xx0g'（x）

g'（x）在x0的某邻域必须满足上述定理的条件

例9:

1

求叽ln（1/

解：

利用ln（1x2）~x2（x0），则得

113

ex（12x）2ex（12x）至ex（12x）12

原式=叽」7亠=叽（2x）Pm

（2）2

在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可

用适当的代换，如下例,

例10:

:

x

求"m1ex

解：

这是o型不定式极限，可直接运用洛比达法则求解，但是比较麻烦。

如作适

当的变换，计算上就会更方便些，故

令t,x,当x0时有t0，于是有

（2）—型不定式极限若满足如下定理的条件，即可由如下定理计算出其极限。

定理5⑤：

若函数f（x）和函数g（x）满足：

1limf（x）=limg（x）=

xx0XX。

2在点x°的某空心邻域u0（x°）两者都可导，且g'（x）0

3lim匸凶=A，（A可为实数，也可为或）。

ximg'（x）

f（x）■f'（x）.

贝»lim=lim=a。

吧g（x）!

irmg'（x）

此定理可用柯西中值定理来证明，在此，笔者就不一一赘述了。

解：

由定理4得,

注2:

不能对任何比式极限都按洛比达法则来求解。

首先必须注意它是不是不定式极限；其次是观察它是否满足洛比达法则的其它条件。

下面这个简单的极限

lim

xsinx=1

x

虽然是一型的，但若不顾条件随便使用洛比达法则:

限不存在这个错误的结论。

（3）其它类型不定式极限

不定式极限还有0,1，00，0，等类型。

这些类型经过简单的

变换，都可以化为0型和一型的不定式极限。

例12:

求limxlnx

lnx

解：

这是一个1型的不定式极限，作恒等变形xlnx=〒，将它转化为一型的丄

x

不定式极限，并用洛比达法则得到

lnxx

limxlnx=iim厂=lim—1=lim（x）0

x0x0x0x0

x2

x

1

2

例13:

求lim（cosx）x

x0

解：

这是一个1型的不定式极限，作恒等变形

从而得lim（cosx）

解：

这是一个00型的不定式极限，按上例变形的方法，先求一型的极限,

1

例15：

求lim&-1x2）lnx

x

__1x2）=1x=1

limlnx='im1=1

1

于是有lim（x1x）lnx=e

x

7.利用泰勒公式求极限

由于泰勒公式的特殊形式，对于求解某些函数的极限有简化求解过程的作

例16:

求

4cosxe

伽x4

解：

本题可用洛比达法则来求解，但是运算过程比较繁琐，在这里可用泰勒公式

cosx-e

2

4

x

x

■+-

2

24

2

4

x

x

+-

2

8

2

4

x

~2-

x

o（x5）

因而求得lim

x2

2

cosxe

4

X

=叽

145

xo（x）12

4

x

丄

12

cosx=1-

12

/5X

+o（x）

o（x5）

2

x

e2=1-

（取n=4）

8.利用微分中值定理和积分中值定理求极限

例17:

求1血

—xsinx

22

解:

xsinx

22

3

X

xsinx

22

xsinx

xsinx

由微分中值定理得,

ln（1

当然，也可把J看作f（x）

1

x）

0

1

-在1,2上的定积分,

x

In2

同样有

由微分中值定理得,

9.利用定积分求极限

|i（丄例19:

求即n1

解：

把此极限式化为某个积分和的极限式，并转化为计算计算定积分，为此

作如下变形:

In2

.2dx3dx

J

1x2x1

总结

以上方法是在高等数学里

求解极限的重要方法。

在做求解极限的题目时，仅仅掌握以上方法的而不能够透彻清晰地明白以上各方法所需的条件也是不够的，必须要细心分析仔细甄选，选

择出适当的方法。

这样不仅准确率更高，而且会省去许多不必要的麻烦，起到事半功倍的效果。

这就要求学习者要吃透其精髓，明了其道理，体会出做题的窍门。

达到这样的境界非一日之功，必须要多做题善于总结，日积月累，定会熟能生巧，在做题时得心应手。

2

e2arcsinx的极限

3

x的极限

3

X