全国卷3文.docx

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全国卷3文

2021年普通高等学校招生全国统一考试文科数学

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={-1,0,1,2}，B={xx2≤1}，则A⋂B=（）

A.{-1,0,1}

{0,1,2}

B.{0,1}

C.{-1,1}D.

1.Ax2≤1,∴-1≤x≤1，

∴B={x-1≤x≤1}，则A⋂B={-1,0,1}，故选A．

2.若z（1+i）=2i，则z=（）

A.

2.D

-1-i

z=

2i1+i

B.

=2i（1-i）（1+i）（1-i）

-1+i

=1+i．故选D．

C.

1-i

D.

1+i

3.两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（）

A.16

B.14

C.13

D.12

3.D两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相

1

邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是

2

．故选D．

4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小

说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读

过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过

《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）

A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8

4.C由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．

5.函数f（x）=2sinx-sin2x在[0,2π]的零点个数为（）

A.2B.3C.4D.5

5.B由f（x）=2sinx-sin2x=2sinx-2sinxcosx=2sinx（1-cosx）=0，

得sinx=0或cosx=1，

∴x=0、π或2π．

x∈[0,2π]，

∴f（x）在[0,2π]的零点个数是3，

故选B．

6.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）

A.16B.8C.4D.2

⎧a+aq+aq2+aq3=15,

6.C设正数的等比数列{an}的公比为q，则⎨

⎩

1111，

111

aq4=3aq2+4a

解得⎧a1=1,，∴a=aq2=4，故选C．

⎩

⎨q=231

7.已知曲线y=aex+xlnx在点（1,ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）

A.a=e,b=-1

B.

a=e,b=1

C.a=e-1,b=1D.

a=e-1,b=-1

7.Dy'=aex+lnx+1,

k=y'|x=1=ae+1=2，∴a=e-1

将（1,1）代入y=2x+b得2+b=1,b=-1，故选D．

8.如图，点N为正方形ABCD的中心，∆ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD,M

是线段ED的中点，则（）

A.BM=EN，且直线BM,EN是相交直线

B.BM≠EN，且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN，且直线BM,EN是异面直线

D.BM≠EN，且直线BM,EN是异面直线

8.B如图所示，作EO⊥CD于O，连接ON，过M作MF⊥OD于F．连BF，平面CDE⊥平面ABCD．

EO⊥CD,EO⊂平面CDE，∴EO⊥平面ABCD，MF⊥平面ABCE，

∴∆MFB与∆EON均直角三角形．设正方形边长为2，易知

EO=3,

ON=1

EN=2，

MF=

3,BF=5,∴BM=

22

7．∴BM≠EN，故选B．

9.执行如图所示的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）

A.2-1

24

B.2-1

25

C.2-1

26

D.2-1

27

9.C输入的ε为0.01，

x=1.

S=0+1,

x=0.5<0.01?

不满足条件；

S=0+1+1,x=1<0.01?

不满足条件；

24

⋅⋅⋅

S=0+1+1+

226

x=1

128

=0.0078125<0.01?

满足条件

输出S=1+1+⋯+1

=2⎛1-1⎫=1-1

，故选D．

226

ç27⎪26

⎝⎭

10.已知F是双曲线C:

x

2

-=1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点，若

45

OP=OF，则OPF的面积为（）

A.32

B.

52

x2y2

C.

72

D.

92

10.B设点P（x0,y0），则0-0=1①．

45

又OP=OF==3，

00

∴x2+y2=9②．

由①②得y2=25，

09

即y=5，

03

∴S=1OFy

=1⨯3⨯5=5，

∆OPF2

0232

故选B．

⎧x+y…6

⎩

11.记不等式组⎨2x-y≥0

表示的平面区域为D，命题p:

∃（x,y）∈D,2x+y…9；命题

A.①③B.①②C.②③D.③④

⎧y=2x

11.A如图，平面区域D为阴影部分，由⎨x+y=6

得⎧x=2,

⎩

即A（2，4），直线2x+y=9与直线2x+y=12均过区域D，

则p真q假，有⌝p假⌝q真，所以①③真②④假．故选A．

12.设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0,+∞）单调递减，则（）

⎛1⎫

⎛-3⎫

⎛-2⎫

A.fçlog3

⎝

⎪>fç22⎪>fç23⎪

4⎭⎝⎭⎝⎭

⎛1⎫

⎛-2⎫⎛

-3⎫

B.fçlog3⎪>fç23⎪>fç22⎪

⎝4⎭

⎛-3⎫

⎝⎭

⎛-2⎫

⎝⎭

⎛1⎫

C.fç22⎪>fç23⎪>fçlog3⎪

⎝⎭⎝⎭⎝4⎭

⎛-2⎫⎛

-3⎫⎛1⎫

D.fç23⎪>fç22⎪>fçlog3⎪

⎝⎭⎝⎭⎝4⎭

fx∴⎛1⎫

12.C（）是R的偶函数，

fçlog⎪=

34

⎝⎭

f（log34）．

log3=1,1=20>2

-2

3>2

-3

2,∴log4>2

-2

3>2

-3

2，

33

又f（x）在（0，+∞）单调递减，

⎛-2⎫⎛-3⎫

∴f（log34）<

fç23⎪

∴⎛-3⎫

⎝⎭

⎛-2⎫

⎝⎭

⎛1⎫

fç22⎪>fç23⎪>

⎝⎭⎝⎭

fçlog3

⎝

⎪，故选C．

4

⎭

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量a=（2,2）,b=（-8,6），则cos=.

13.-2

cos=ab=2⨯（-8）+2⨯6=-2．

10ab22+22⨯10

14.记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3=5,a7=13，则S10=.

14.100⎧a3=a1+2d=5,得⎧a1=1,

⎨a=a+6d=13⎨d=2

⎩71⎩

∴S=10a+10⨯9d=10⨯1+10⨯9⨯2=100.

10122

15.设F，F为椭圆x2=

2

1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2

3620

为等腰三角形，则M的坐标为.

15.（3,15）

由已知可得a2=36,b2=20,∴c2=a2-b2=16,∴c=4，

∴MF1

=F1F2

=2c=8．∴MF2

=4．

设点M的坐标为（x

y）（x

>0,y

>0），则S

=1⋅FF⋅y

=4y，

0000

△MF1F22

1200

又S△MFF

=1⨯4⨯2

=4,∴4y0=4

，解得y0=，

12

（15）2

2

∴x0+=1，解得x0=3（x0=-3舍去），

3620

\M的坐标为（3,15）．

16.学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型.如图，该模型为长方体

ABCD-A1B1C1D1挖去四棱锥O-EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E,F,G,H分别为所在棱的中点，AB=BC=6cm,AA1=4cm，3D打印所用原料密度为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g.

16.118．8由题意得，

SEFGH

=4⨯6-4⨯1⨯2⨯3=12cm2，

2

四棱锥O−EFG的高3cm，∴VO-EFGH

又长方体ABCD-ABCD的体积为V

=1⨯12⨯3=12cm3．

3

=4⨯6⨯6=144cm3，

11112

所以该模型体积为V=V-V=144-12=132cm2，

21

其质量为0.9⨯132=118.8g．

三、解答题：

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：

17.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：

将200只小鼠随机分成

A,B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：

“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70.

（1）求乙离子残留百分比直方图中a,b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代

表）.

17.

（1）由题得

a+0.20+0.15=0.70

，解得

a=0.35，由

0.05+b+0.15=1-P（C）=1-0.70，解得b=0.10.

（2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为

0.15⨯2+0.20⨯3+0.30⨯4+0.20⨯5+0.10⨯6+0.05⨯7=4.05，

乙离子残留百分比的平均值为

0.05⨯3+0.10⨯4+0.15⨯5+0.35⨯6+0.20⨯7+0.15⨯8=6

18.∆ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知asinA+C=bsinA．

2

（1）求B；

（2）若∆ABC为锐角三角形，且c=1，求∆ABC面积的取值范围．

18.

（1）根据题意asinA+C=bsinA，由正弦定理得sinAsinA+C=sinBsinA，因为

22

00，消去sinA得sinA+C=sinB。

2

0

222

A+B+C=π，故A+C+B=π不成立，所以A+C=B，又因为A+B+C=π，代入得

22

3B=π，所以B=π.

3

（2）因为VABC是锐角三角形，由

（1）知B=π，A+B+C=π得到A+C=2π，

33

⎧0

⎪2ππ

故，解得

⎨2ππ62

⎪0<-C<

⎩⎪32

又应用正弦定理

a

sinA

=c

sinC

，c=1，

由三角形面积公式有：

sin（2π-C）

S=1ac⋅sinB=1c2a⋅sinB=1c2sinA⋅sinB=3⋅3

ABC22c

2sinC

4sinC

sin2πcosC-cos2πsinC

33=

3⋅（sin2π1-cos2π）=31

+3.

4sinC

43tanC

38tanC8

又因π

3,故3<31

+3<

3，

3

62388tanC82

故3

8

ABC<2.

故SABC的取值范围是（3,3）

82

19.图1是由矩形ADEB,Rt∆ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中

AB=1,BE=BF=2，∠FBC=60，将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合，连结

DG，如图2.

（1）证明图2中的A,C,G,D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的四边形ACGD的面积.

19.

（1）证：

AD//BE，BF//CG，又因为E和F粘在一起.

∴AD//CG，A，C，G，D四点共面.

又AB⊥BE,AB⊥BC.

∴AB⊥平面BCGE，AB⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE，得证.

（2）取CG的中点M，连结EM,DM.因为AB//DE，AB⊥平面BCGE，所以DE⊥平面

BCGE，故DE⊥CG，

由已知，四边形BCGE是菱形，且∠EBC=60得EM⊥CG，故CG⊥平面DEM。

因此DM⊥CG。

在Rt△DEM中，DE=1，EM=，故DM=2。

所以四边形ACGD的面积为4.

20.已知函数f（x）=2x3-ax2+2.

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）当0

20.

（1）对f（x）=2x3-ax2+2求导得f'（x）=6x2-2ax=6x（x-a）.所以有

3

当a<0时，（-∞,a）

3

区间上单调递增，

a区间上单调递减，（0,+∞）区间上单调递增；

3

当a=0时，（-∞,+∞）区间上单调递增；

当a>0时，（-∞,0）区间上单调递增，（0,a）区间上单调递减，（a,+∞）区间上单调递增.

33

（2）

若0

33

a

值为f（）

3

.而f（0）=2,f

（1）=2-a+2≥f（0），故所以区间[0,1]上最大值为f

（1）.

所以M-m=f

（1）-a=（4-a）-a3

a

a（）2

3

+2]=-a+2，设函数

33327

g（x）=x3-x+2，求导g'（x）=x2-当0

27

0

9

3

≤-+<.即M-m的取值范围是

2）.

2727

a2227

若2

33

a

值f（）3

而f（0）=2,f

（1）=2-a+2≤f（0），故所以区间[0,1]上最大值为f（0）.

所以M-m=f（0）-a=2-a3

a

a（）2

3

+2]=，而2

33327

8

<.即M-m的取值范围是（8

1）.

1

272727

综上得M-m的取值范围是[8

27

2）.

21.已知曲线C:

y=

x,D，为直线y=-1上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为

2

22

A,B.

（1）证明：

直线AB过定点：

（2）若以E⎛0,5⎫为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求该圆的方程.

ç2⎪

⎝⎭

21.

（1）证明：

设D（t,-1）,A（x,y）,则y=1x2。

又因为y=1x2，所以y'=x.则切线DA

2111212

的斜率为x，故y+1=x（x

-

t），整理得2tx-2y+1=0.设B（x,y），同理得

11211

1122

2tx1-2y1+1=0.A（x1,y1）,B（x2,y2）都满足直线方程2tx-2y+1=0.于是直线

2tx-2y+1=0过点A,B，而两个不同的点确定一条直线，所以直线AB方程为

2tx-2y+1=0.即2tx+（-2y+1）=0，当2x=0,-2y+1=0时等式恒成立。

所以直线AB

1

恒过定点（0,）.

2

（2）由

（1）得直线AB方程为2tx-2y+1=0，和抛物线方程联立得：

⎧2tx-2y+1=0

⎪1化简得2--1=0.于是x+x=2t,y+y=t（x+x）+1=2t2+1

⎨y=x2

⎩2

x2tx

121212

设M为线段AB的中点，则M（t,t2+1）

2

由于EM⊥AB，而EM=（t,t2-2）,AB与向量（1,t）平行，所以t+t（t2-2）=0，解得t=0或t=±1.

当t=0时，EM=（0,-2），EM=2所求圆的方程为x2+（y-5）2=4;

2

当t=±1时，EM=（1,-1）或EM=（-1,-1），

所求圆的方程为

x2+（y-5）2=2.

2

所以圆的方程为x2+（y-5）2=4或x2+（y-5）2=2.

22

（二）选考题：

共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做，则按所做的第一题计分

选修4-4：

坐标系与参数方程

22.如图，在极坐标系Ox中，A（2,0），B（2,π），C（2,3π），D（2,π），弧AB，BC，

44

所在圆的圆心分别是（1,0），

π，（1,π），曲线M是弧

，曲线M是弧，

CD

曲线M3是弧CD.

（1,）

2

1AB

2BC

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|=

3，求P的极坐标.

22.

（1）由题意得，这三个圆的直径都是2，并且都过原点.

M1:

ρ=2cosθ（θ∈

π

[0,]），

4

M:

ρ=2cos（θ-π）=2sinθ（θ∈[π,

22

3π]）,

44

M:

ρ=2cos（θ-π）=-2cosθ（θ∈[3π,π]）.

34

（2）