最新春季四年级奥数班讲义.docx
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最新春季四年级奥数班讲义
第一讲
定义新运算（又名:
自定义）
例1:
规定一种运算:
a△b=3×a＋4×b,例如,2△5=3×2＋4×5=6＋20=26,5△2=3×5＋4×2=15＋8=23,……,根据以上规律计算:
①10△2②2△10
简析:
本题属于“用字母表示数”的学习内容,重点是弄清规定,找出规律.
1含义为:
给定两个数a和b,用3乘第一个数a,用4乘第二个数b,并将结果相加
10△22△10
=3×10＋4×2=3×2＋4×10
=30＋8=6＋40
=38=46
2式中的“△”为“关系符号”，不是运算符号，可以是任意的字符，图片，实物等
3计算完毕后比较一下:
定义新运算中,交换律适用吗?
配套练习:
1.规定一种运算:
m□n=4×m－3×n,根据以上规律计算:
5□3
2.规定一种运算：
a△b=﹙a＋b﹚×﹙a－b﹚，试求：
6△4
例2：
对于两个数a和b，规定：
a△b=﹙a+3﹚×﹙b+4﹚，试求：
①1△2△3②1△﹙2△3﹚
简析：
本题是例1的发展，重点在于弄清运算顺序。
①其运算顺序与四则混合运算顺序相同，但要注意，先计算部分是个整体，应加括号，没算到的部分往下带。
②应该用发展的、动态的眼光对待a和b.
1△2△3
=[﹙1+3﹚×﹙2+4﹚]△3﹙a=1,b=2﹚
=[4×6]△3
=24△3
=﹙24+3﹚×﹙3+4﹚﹙a=24,b=3﹚
=27×7
=189
1△﹙2△3﹚
=1△[﹙2+3﹚×﹙3+4﹚]﹙a=2,b=3﹚
=1△[5×7]
=1△35
=﹙1+3﹚×﹙35+4﹚﹙a=1,b=35﹚
=4×39
=156
配套练习:
1.对于两个数a和b,规定a○b=a+5b,试求①1○2○3②1○﹙2○3﹚注意:
5b表示5×b或b×5
2.对于两个数a和b,规定:
a□b=﹙a－2﹚×﹙b÷2﹚.试求:
3□﹙5□4﹚
例3:
如果2☆3=2+3+4,5☆2=5+6,4☆5=4+5+6+7+8,......照此规律,计算①3☆5②8☆3
简析:
本题是自找规律,通过观察,找到a和b之间的关系是关键.
①首数字是第一个数,每组数是递增的,个数的多少受第二个数的限制,第二数是几,加数就是几个
②加数较多时可用配对法计算或等差数列求和公式计算.
3☆58☆3
=3+4+5+6+7=8+9+10
=25=27
注:
本组计算有技巧,你能发现吗?
配套练习:
1.如果5▽3=5×6×7,2▽4=2×3×4×5,按此规律计算:
3▽4.
2.如果2▽4=24÷﹙2+4﹚,3▽6=36÷﹙3＋6﹚,按此规律计算:
8▽4
例4:
规定一种运算:
5C3=﹙5×4×3﹚÷﹙3×2×1﹚=10,6C2=﹙6×5﹚÷﹙2×1﹚=15,10C4=﹙10×9×8×7﹚÷﹙4×3×2×1﹚=210,按此规律计算:
7C4
简析:
本题是高二的排列组合问题,在小学属于“阅读与理解”的内容.在数图形和“解决问题的策略”中有比较广泛的用途.
①本题是例3的具体应用,难度较小.
②鼓励学生自主完成.解答过程:
略.
第二讲
一.阔步课堂
例1:
甲乙两数的乘积是60,如果甲数扩大5倍,乙数不变,乘积是多少?
如果甲数不变,乙数扩大5倍,乘积是多少?
如果甲乙都扩大5倍,乘积是多少?
简析:
扩大几倍,就是某数乘几.可通过具体算式探讨规律.再运用规律解决问题.
60×5=30060×5=30060×5×5=1500
二.盈亏问题
例1:
将一堆苹果分给小朋友,每人分9个,则少45个;每人分7个,则多5个.有多少人,共有多少个苹果?
简析:
本题属典型的盈亏问题.多为“盈”,少为“亏”.重点在于理解“盈”与“亏”之间的关系.可借助线段图加以理解.苹果总数和人数是不变的,两次分配中的总数差异是因为两次中每人分得的个数差异造成的.
1总数相差多少?
借助线段图直观显示（图略）45+5=50（个）
2每人分配相差多少?
9－7=2（个）
3一共有几人?
50÷2=25（人）
4一共有几个苹果?
9×25－45=180（个）或者25×7+5=180（个）
做完后体会线段图与例题中各数量的对应关系
答：
略
配套练习:
1某校有若干个学生寄宿学校.若每一间房住6人,则多40人;若每间房住8人,则最后一间房少2人.有多少住宿学生和多少间房?
2数学兴趣小组同学做数学题,如果每人做6道题,则少4道;如果每人做4道题,则多10道.有多少个学生和多少道题?
例2:
同学们去划船.每船坐4人,则少一条船;如果每条船坐6人,则多出4条船.有多少条船和多少人?
简析:
本题是例1的升级.将盈与亏复杂化.少一条船,意味着多出:
4人此为盈;多出4条船,意味着少:
6×4=24（人）,此为亏.然后借助例1的程式化解答方式求解.
1总数相差多少?
4×1+4×6=28（人）
2每条船坐的人数相差多少?
6-4=2（人）
3有几条船?
28÷2=14（条）
4有多少人?
14×4＋4=60（人）或者14×6－4×6=60（人）
答：
略
配套练习:
1学校给新生分配宿舍,如果每间住8人,则少2间房;如果每间住10人,则多出2间房.一共有几间房和多少人?
2一个学生从家到学校,如果以每分钟50米的速度行走,就要迟到8分钟;如果以每分钟60米的速度行走,就可以提前5分钟到校.这个学生出发时离上学时间还有多少分钟?
例3:
学校派一些学生搬一批树苗.如果每人搬6棵,则差4棵;如果每人搬8棵,则差18棵.学生有多少人?
有多少棵树?
简析:
本题属双亏问题.重点在于理解总数相差多少.仍然借助线段图解决问题（图略）.
1总数相差多少?
18-4=14（棵）
2每人搬的树苗相差多少?
8－6=2（棵）
3有多少人?
14÷2=7（人）
4有多少棵树?
7×6—4=38（棵）
答：
略
配套练习:
1科学课堂上,老师给同学们发树叶.如果每人分6片,少7片;如果每人分8片,则少17片.有多少片树叶?
2一堆苹果分给同学们.每人4个,多8个;若每人2个,多18个.学生有多少人?
第三讲
一.阔步课堂
例1:
有两桶水,如果从第一桶倒10升给第二桶,那么两桶水一样多.已知两桶水一共有120升,这两桶水各有多少升?
简析:
本题属和差问题.可以用线段图帮助理解.也可用公式解决.
①方法一:
倒着做.从总重入手,倒推各有多少升:
120÷2=60（升）第一桶有:
60+10=70（升）,第二桶有60-10=50（升）
3方法二:
画线段图.变不平均分为平均分.
A方法一:
都与第二桶同样多:
120-10×2=100（升）
100÷2=50（升）……第二桶第一桶:
120-50=70（升）
B方法二:
都与第一桶同样多:
120+10×2=140（升）140÷2=70（升）……第一桶第二桶120-70=50（升）
4直接用公式（略）
答：
略
二.替换法
例1.□＋□＋○＋○＋○=200,□=○＋5则□=（）○=（）
简析:
这是符号化的替换,比较直观.有两种替换方式.
1替换成□:
每个○加5,正好可将○换成□.3个○加5×3=15,现在的总和是200+15=215,正好是5个□的总和,所以每个□是:
215÷5=43,因此○是:
43-5=38
2替换成○:
每个□减去5,正好可以替换成○.每个□减少5,一共减少:
5×2=10,现在总和是200-10=190,这是5个○的总和.每个○为:
190÷5=38,每个□为:
38+5=43
配套练习:
1.◎＋◎＋◎＋□＋□＋□＋□=300,□－◎=5,则◎是几?
□是几?
2.甲乙共有600元,甲比乙多10元.甲乙各有多少元?
学生做完后思考:
本题与和差问题有什么相通之处?
例2:
◎＋◎＋□=210,◎÷□=3,则◎=（）,□=（）
简析:
本题是例1的变式.本质相同.区别在于替换条件有所变化.因计算条件限制,替换只能以大换小.
第二个条件是替换根据.一个◎可换3个□.◎一共可换3×2=6（个）□,现在共有6+1=7（个）□,所以每个□为:
210÷7=30,每个◎为:
30×3=90
配套练习:
1.长方形周长80厘米,长比宽长2厘米.求长方形的长与宽各是多少.
2.甲乙共有600元.甲的钱是乙的2倍.甲乙各有多少元?
做完后思考:
本题与和倍问题有什么相通之处?
例3:
等腰三角形的顶角比底角大18º.求它的顶角与底角度数.
简析:
本题是替换法的实际应用.如何替换是关键,弄清底角与顶角概念也很重要.
等腰三角形两腰的夹角是顶角,底与腰的夹角是底角.等腰三角形有两个相等的底角.
1全替换成底角:
顶角去掉18º,变成底角,三底角之和是:
180º-18º=162º,每个底角度数为:
162º÷3=54º,则顶角为:
54º＋18º=72º
2全替换为顶角:
每个底角增加18º,一共增加18º×2=36º.此时三个顶角之和为:
180º+36º=216º,每个顶角度数为:
216º÷3=72º,则底角为:
72º-18º=54º
答：
略
配套练习:
1.等腰三角形的底角比顶角大18º,则底角与顶角各是多少度?
2.等腰三角形的底角度数是顶角的2倍,则底角与顶角各是多少度?
例4:
甲乙共有210元.甲的钱比乙的3倍多10元.甲乙各有多少元?
简析:
本题属“不完整倍数问题”,关键是变“不完整”为“完整”.基本思想是:
多退少补
1从甲的钱数里去掉多出的10元,此时甲乙共有210-10=200（元）,甲的钱正好是乙的3倍.
2画线段图,弄清200元与倍数间的关系.顺利解答:
200÷（3+1）=50（元）,从而甲的钱数为50×3+10=160（元）或者210-50=160（元）
答：
略
3完成后思考:
本题与“和倍问题”有何相通之处?
配套练习:
1.甲有200元,比乙的4倍多40元.乙有多少元?
2.甲乙共有300元.甲比乙的3倍少60元.甲乙各有多少元?
第四讲
一.阔步课堂
例1:
三角形的周长是20厘米.则三角形的最长边长度小于（10）厘米.
简析:
本题属于三角形三边关系的内容.重点在于：
三角形任意两边之和大于第三边.最短的两边之和也大于第三边,从而最长边小于20÷2=10（厘米）
例2:
把一根16厘米长的吸管剪成三段（每段都是整厘米）,围成一个三角形,可能围成多少种不同的三角形?
简析:
本题是例1的发展,根据同样的道理求解.可先确定最长边的范围.
1最长边的范围:
最长边小于16÷2=8（厘米）
2小于8,且另两边都不大于8,则16=7+7+2=7+6+3=7+5+4=6+6+4=6+5+5,共有5种
答：
略
配套练习：
用12根火柴棒拼三角形，可以拼出多少种不同的三角形？
（不许弯折）
二.还原问题
例1:
一个数的7倍减去5再加上2,然后除以3得20.求这个数.
简析:
本题从最后的条件入手解答,也叫“倒着做”.一般用分步式解答.
120×3=60
260-2=58
358+5=63
463÷7=9
配套练习:
1.甲,乙,丙三人各有人民币若干元.甲给乙125元,乙给丙135元,丙给甲40元.这时三个人的钱数都是365元.甲,乙,丙三人原来各有多少元?
2.一个数乘9,加上19,再乘2,最后除以2等于109,这个数是多少?
例2:
马大哈做减法计算时,把减数个位上的1看成7,把被减数十位上的6看成9,结果得到差为600.正确的差是多少?
简析:
本题属于“还原问题”的变式。
减数多了7-1=6，就是差少了6；被减数多算了90-60=30，差增加了30.于是本题可转化为还原问题:
“某数减6，再加30，得600,求这个数”。
17-1=6，90-60=30
2600-30+6=576
配套练习：
1.粗心的王蕾在做加法试题时，把个位上的5看成看6，把十位上的8看成了3，结果得到和为123，正确的答案应该是多少？
2.小马虎甲在计算一道三位数乘两位数乘法时，把一个乘数个位上的5误写成3，乘得的积是4485；小马虎乙却把这个5错写成8，乘得的积是5460.正确的积是多少？
例3：
袋子里有一些球，熊爱华每次拿出其中的一半再放回去1个球，这样共操作了4次，袋中还有5个球。
袋中原来有多少个球？
简析：
本题操作步骤较多，可以从第四次操作后袋中还有5个球往前倒推。
1第三次操作后还剩几个球？
（5-1）×2=8（个）
2第二次操作后还剩多少个球？
（8-1）×2=14（个）
3第一次操作后还剩多少个球？
（14-1）×2=26（个）
4开始有多少个球？
（26-1）×2=50（个）
答：
袋中原来有50个球。
配套练习：
袋子里一共有若干个棋子，琪琪每次拿出其中的一半多2个，这样一共拿了5次，袋中正好没有棋子了。
原来袋中有多少个棋子
第五讲
一.阔步课堂
例1:
一个房间,用边长6分米的方砖来铺,需要500块;改用边长5分米的方砖来铺,需要多少块方砖?
简析:
本题属铺地问题.铺地并非只沿着边来铺,所以不能算周长,要算地面的大小即面积.
①原来一块砖的面积多大?
6×6=36（平方分米）
②房间有多大?
36×500=18000（平方分米）
③现在每块砖面积多大?
5×5=25（平方分米）
④现在要多少块砖?
18000÷25=720（块）
答:
略
例2:
（文字题）28与14的和除以它们的差,结果是多少?
简析:
文字题重点在于计算顺序,可以看做是小型化的应用题.可以运用“遇‘和’、‘差’、‘再’,括号自然来”辅助列式计算.
（28+14）÷（28-14）
=42÷14
=3
配套练习:
用边长4分米的方砖铺地,需要600块.改用面积30平方分米的方砖来铺,需要多少块?
二.数码问题
例1:
一个两位数,十位数字是个位数字的2倍.如果这个数加上4,所得的两位数的两个数字相同.求这个两位数.
简析:
本题属于“简单枚举”,可以把符合第一个条件的两位数列举出来,再根据后面的条件进行排除.
①符合第一个条件的两位数有:
21,42,63,84
②把每个数加4后进行排查:
21+4=25,两个数字不相同
42+4=46,两个数字不相同
63+4=67,两个数字不相同
84+4=88,两个数字相同,符合条件.
答:
这个数是84.
配套练习:
一个两位数,个位数字是十位数字的3倍.如果把这个数加7,则这两个数字就相同.求这个数.
例2:
一个两位数,其数字之和是5,如果这个数减去9,则两个数字的位置互换.求原来的两位数.
简析:
本题属于例1的巩固与拓展.也采用列举法进行筛选.
①符合第一个条件的两位数有:
14与41,23与32,50
②用后面的条件进行排查:
14-9=5,不符合条件
41-9=32,不符合条件
23-9=14,不符合条件
32-9=23,符合条件
50-9=41,不符合条件
答:
这个数为32.
例3:
4个连续自然数之和为206.则这4个自然数各是多少?
简析:
本题属于“寻找规律,运用规律”的内容,可以先通过对任意4个连续自然数的观察研究,寻找规律:
等差.再进行计算
①以最小数为基准:
后面三个数分别比第一个数大1,2,3.所以从总和里去掉1,2,3后,四个数大小相等.
（206-1-2-3）÷4=50,50+1=51,51+1=52,52+1=53.
四个数为50,51,52,53
②以最大数为基准:
前面的三个数分别比第一个数小1,2,3.因此,只要把总和增加1+2+3=6,四个数就大小相等了.
（206+1+2+3）÷4=53,53-1=52,53-2=51,53-3=50
四个数为50,51,52,53
③以中间数为基准:
中间两个数的和是:
206÷2=103
两数相差1,属于“和差问题”,较大数为:
（103+1）÷2=52,较小数为:
（103-1）÷2=51.则其余两个数为:
52+1=63,51-1=50
配套练习:
5个连续自然数之和为105,求这5个数各是多少.
例4:
一本书共有246页,求从第一页到最后一页,编这本书的页码一共用了多少个数字?
简析:
本题体现了分类思想,.要做到有条不紊,必须合理分类.
①1-9页,9个数,9个数字
②10-99页,90个数,共有90×2=180（个）数字
③100-246页,共147个数,共有147×3=441（个）数字
④一共用了多少个数字?
9+180+441=630（个）数字
答:
一共用了630个数字.
第六讲
一.阔步课堂
就大家提出的问题讲解一至两个:
略
二.容斥（重叠）问题
例1.某班40名同学参加书法或绘画活动.参加书法的有30人,参加绘画的有15人.两种都参加的有多少人?
简析:
本题是关于重叠的内容.获得基本解题模式是关键.其基本模式是A+B-C=不重复总数.
①画图（略）,用序号标清数量
②解答:
30+15-40=5（人）也可以借助图形分类计算（略）
配套练习:
五年级有200名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门优秀.其中
语文优秀的有110人,数学优秀的150人.语文和数学都优秀的有多少
人?
例2:
某小学选出10人参加区级作文和书法比赛.结果人人获奖.其中3人两项比赛都获奖,作文比赛6人获奖,书法比赛几人获奖?
简析:
本题是例1的变式题.处理方法基本相同.作文获奖人数+书法获奖人数-都获奖人数=10人
①10+3-6=7（人）
②想一想:
下面的算式有什么道理?
10-6+3=7（人）
10-（6-3）=7（人）
配套练习:
一个班有50人,他们分别订了《数学大世界》和《中国少年报》,其
中订阅《数学大世界》的有30人,两种都订阅的有12人,订阅《中国
少年报》的有多少人?
例3:
某班56人,参加语文竞赛的有28人,参加绘画比赛的有27人,
两项都没有参加的有25人.那么同时参加比赛的有多少人?
简析:
本题增加了不参加比赛的人.既然没参加,那就从总人数里去掉这些人,剩下的就是至少参加一项的人了.
①参加比赛的有多少人?
56-25=31（人）
②两项都参加的有多少人?
28+27-31=24（人）
③下面的算式有什么道理?
28-（56-25-27）=24（人）
27-（56-25-28）=24（人）
答:
同时参加比赛的有24人.
配套练习:
1.一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样
都不会的有4人.两样都会的有多少人?
2.四年级参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,两项都参加的
有14人,两项都没有参加的有10人,这个年级有多少人?
例4.光明小学举办书法展览.各个年级均有展品,其中24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,五六年级的参展作品共有10幅,其他年级参展的作品一共有多少幅?
简析
这是一道需要简单推理的学习内容.数量关系比较复杂,应该列举:
其他年级作品数+六年级作品数=24（幅）
其他年级作品数+五年级作品数=22（幅）
五年级作品数+六年级作品数=10（幅）
其它年级作品数（22+24-10）÷2=18（幅）
答:
其他年级参展的作品一共有18幅.
做完后思考:
下面的解法有什么道理?
①（24+10+22）÷2-10=18（幅）
②24-（24-22+10）÷2=18（幅）
③22-[10-（24-22）]÷2=18（幅）
注意:
“和差问题”没学好的同学抓紧复习公式.
第七讲
一.阔步课堂
例1:
数平行四边形个数
简析:
本题属于技巧性学习内容.基本方法是一个个地数,这过于繁琐,而且容易重复与遗漏.其次是按照“一个一个地数,两个两个地数,…”,根据个数分类数,仍然费时费力.因此有必要简化,用数学的方法解决问题.本教材使用“横加×竖加”的方法计算个数,快捷简便.
配套练习
求长方形个数.
例2:
一个梯形的上底长度是下底的3倍,如果将梯形的下底延长6厘米,这个梯形就变成了-平行四边形.这个梯形的上下底各是多少厘米?
简析:
本题属于与操作相关的学习内容.重点通过画图观察,找到解题突破口.是差倍问题的具体应用.
①画图
②解答:
6÷（3-1）=3（厘米）…….下底长度上底长度:
3×3=9（厘米）
配套练习:
梯形的上底长度是下底的4倍.如果下底延长12厘米,就变成了平行四边形.则上底长度是多少?
二.假定法解题
例1:
今有鸡、兔共居一笼,已知鸡头和兔头共35个,鸡脚和兔脚共94只.鸡和兔各有多少只?
简析:
本题属于中国古代“鸡兔同笼”问题.有画图法,列表法,假定法等多种解题方法.用假定法解题需要把两个量看成同一个量,根据总量和单一量的变化求解.
①qq上流传的方法:
假定鸡和兔一起跳舞,第一节:
拎起一只脚,大家都做到,这时还有94-35=59只脚,第二节:
大家表现都不错,欢迎再拎一只脚,这时还有59-35=24只脚.只是鸡儿耐不住,扑通扑通全跌倒（偷笑:
鸡儿早已没有脚,只能屁股着地冷汗冒）.这时出来数一遍,一双脚来一只兔,数来数去不混淆.一个字:
妙!
②假定法:
假定全是兔:
共有几只脚?
4×35=140（只）
多算几只脚?
140-94=46（只）
每只鸡多算几只脚?
4-2=2（只）
有几只鸡?
46÷2=23（只）
兔有几只?
35-23=12（只）
答:
鸡有23只,兔有12只.
配套练习:
假定全是鸡呢?
例2:
兔妈妈采蘑菇,晴天每天采32个,雨天每天采22个.兔妈妈一共采了390个,平均每天采26个,这些天有几天下雨?
简析:
本题是鸡兔同笼问题的变式.可以先求出采蘑菇的天数.然后合理假定.
①一共采了几天?
390÷26=15（天）
②假定全是晴天
一共采大多少个?
32×15=480（个）
多采多少个?
480-390=90（个）
每个雨天多采了多少个?
32-22=10（个）
雨天一共有多少天?
90÷10=9（天）
③假定全是雨天呢?
答:
这些天有9天下雨.
配套练习:
将问题改为“这些天有几天是晴天?
”
用两种方法解答.
例3:
某次数学竞赛一共有10题.答对一题得10分,答错一题或不答倒扣5分.小明参赛得分为70分.他做对了多少题?
简析:
本题的难点在于:
如何计算答对一题与答错一题的分数差异.可以借助线段图帮助理解.
①假定全答对:
10×10=100（分）
100-70=30（分）
10+5=15（分）………难点所在
30÷15=2（题）
10-2=8（题）
②假定全做错:
一个倒扣多少分?
5×10=50（分）
总共相差多少分?
70+50=120（分）………注意:
是加不是减,可以画图（略）
每道对题少算多少分?
10+5=15（分）
做对几题?
120÷15=8（题）
答:
他做对了8题.
第八讲
一.阔步课堂
例1:
只能向下和向右,从A走到B,
一共有几种不同走法?
简析:
本题属于“找规律”的内容.一般采用色笔标注
的方法进行,但过于繁琐,有时无法进行.因此必须采用
科学的方法甲乙解决.
用对角标注数字的方法:
一共6种走法.
答:
一共
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