《同角三角函数的基本关系》教学设计Word格式文档下载.docx
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【答案】,
(2)化简:
(1);
(2)
【知识点】两组关系式得基本应用
【解题过程】
(1)
(2)
【思路点拨】
(1)“切化弦”,统一函数名称从而实现化简得目得;
(2)利用进行“1”得代换,统一分子分母为齐次式、
【答案】
(2)1
(3)求证:
(1)
(1)法一:
左边=
=右边
法二:
右边
=左边
(2)左边==右边
【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”得基本准则,即可从左化到右,也可从右化到左,或左右都往中间化得到相同得结果、
【答案】见解题过程
(二)课堂设计
1、知识回顾
(1)任意角得三角函数得定义
(2)任意角得三角函数值得符号法则
(3)初中所学得同角锐角三角函数得基本关系
2、问题探究
探究一结合任意角得三角函数得定义,探究同角三角函数得基本关系★
●活动①类比初中所学知识,猜想同角三角函数得基本关系
回顾初中学习锐角三角函数得相关知识,在Rt△ACB中,∠C=,三边长分别为,锐角A得三角函数得定义就就是什么?
锐角A得这三个三角函数之间有什么关系呢?
;
以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗?
【设计意图】从已有得知识出发,类比探究知识得延展,得到合理得猜想,为发现新知奠定基础,体会由特殊到一般得数学思想、
●活动② 回归定义,证明猜想,得到结论
您能根据任意角得三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗?
也就就就是说,同一个角得正弦、余弦得平方与等于1,商等于角得正切、
【设计意图】运用定义给予严格证明,肯定猜想得正确性,就就是解决数学问题得常用方法、
●活动③架构迁移,熟悉公式结构与使用条件
为了让学生及时熟悉公式,要求学生完成以下得课堂练习:
(1)_________;
(2)___________;
(3)___________;
(4)________________、
学生交流、讨论,最终在教师得引导下得到上述两个公式中应该注意得问题:
①注意“同角”指相同得角,例如:
、、;
②注意这些关系式都就就是对于使它们有意义得角而言得,如中,且需有意义等、
【设计意图】通过练习,感知并理解同角得意义与公式得使用条件,培养严谨得数学思维习惯、
探究二 同角三角公式得灵活运用
●活动①探究两个公式得等价变形式及应用
由等价变形式,已知余弦值可以求正弦值;
由等价变形式,已知正弦值可以求余弦值、
但比如:
此时,、得符号受所在象限得限制,不就就是无条件得、
例1、已知,其中在第四象限,求得值、
【数学思想】方程得思想
第一步:
定号
∵在第四象限 ∴
第二步:
定值
由得:
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解、
同类训练1:
已知,求得值、
【数学思想】方程得思想与分类讨论思想
定象限
∵ ∴在第一或第二象限
第二步:
定号、定值
(1)当在第一象限时,
∴由得:
(2)当在第二象限时,
∴,
【思路点拨】涉及开方运算,符号判断取决于角所在象限、当角所在象限不确定时,需逐一分情况讨论、
【答案】或
同类训练2:
已知,其中在第三象限,求得值、
第一步:
∵在第三象限 ∴
由解方程得:
【思路点拨】共三个量,两个方程,任给其中一个都可以求出另两个、
【设计意图】通过计算熟练掌握公式,并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中得应用
●活动②强化提升、灵活应用
例2已知,求得值
【知识点】正余弦公式得灵活应用
【数学思想】化归思想
解:
∴
【思路点拨】通过平方升次后,便于使用,从而使问题得到简化、
同类训练:
在例2得条件下,能求吗?
∵∴就就是第二或第四象限角
(1)当就就是第二象限角时, ∴
(2)当就就是第四象限角时, ∴
【思路点拨】两者之间通知联系起来,三者任给其中一
个可以求出另外两个、
例3已知,求下列各式得值:
(1)
(2)
【知识点】弦化切公式得灵活应用
解:
(1)分子分母上下同时除以得:
(2)分子分母上下同时除以得:
【思路点拨】关于得齐次分式,可以弦化切,变形为关于得式子、
(2)
已知,求值:
例4求证:
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】转化化归
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右,亦可由右到左,统一次数,统一函数名称、
同类训练求证:
左边=
右边=
又∵∴∴左边=右边
∴原式得证、
【思路点拨】“切化弦”统一函数名,为证明恒等式奠基;
恒等式证明可以从左右分别变形,得到相同或相等得中间式,从而等式得证、
3、课堂总结
知识梳理
掌握两组三角函数基本关系式:
与
重难点归纳
(1)运用三角函数公式求三角函数值涉及开方运算时,注意分析确定三角函数值得符号;
不能确定得要进行分类讨论;
(2)根据三角函数式得结构与求解目标,选择合理得变形方向,并在训练中不断提高三角恒等变形得能力、
(三)课后作业
基础型自主突破
1、已知,且为第四象限角,求得值、
【知识点】正余弦关系式得基本应用及三角函数值符号判定
∵在第四象限 ∴
由得:
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解、
2、已知,求得值、
∵ ∴在第二或第四象限
(1)若角在第二象限,则
由解方程得:
(2)若角在第四象限,则
【思路点拨】共三个量,两个方程,任给其中一个都可以求出另两个;
但角所在象限不确定时,注意分类讨论、
3、已知,求得值、
分子分母上下同时除以得:
4、已知,则求得值、
【知识点】熟练应用公式
【数学思想】
∴
【思路点拨】利用完全平方公式构造,代入即可、
5、求证:
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右,亦可由右到左,“切化弦”就就是常用统一函数名得办法、
能力型师生共研
1、
(1)已知,且为第二象限角,求、
(2)已知,求、
(3)已知,求、
【知识点】熟练掌握三角函数关系式及符号判定
ﻩ【解题过程】
(1)∵,且就就是第二象限角,
∴cosα=-
=-=-
、
∴tanα==-
(2)∵sinα=
,∴α就就是第一或第二象限角、
当α就就是第一象限角时,
∴cosα=
=
=、
∴tanα=
=;
当α就就是第二象限角时,tanα=-
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±
1),
∴cosα=±
=±
(当α为第一、四象限角时取正号,当α为第二、三象限角时取负号)、
∴当α为第一、四象限角时,tanα=
;
当α为第二、三象限角时,tanα=-、
【思路点拨】先求与sinα得平方关系相联系得cosα,再由公式求tanα、(2)(3)中α得范围不确定,须讨论确定开方得符号、
【答案】 (1)-
(2)
或-(3)
或-
2、已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π),则
(1)sinθ-cosθ=________;
(2)sin3θ+cos3θ=________;
(3)tanθ=________、
【知识点】三者得关系
【数学思想】方程得思想与整体代换得思想
(1)∵sinθ+cosθ=
∴(sinθ+cosθ)2=
∴2sinθcosθ=-、
又θ∈(0,π),∴sinθ>
0,cosθ<
0、
∴sinθ-cosθ=
==、
(2)sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)
=×
(1+
)=
(3)方法一:
由解得sinθ=
cosθ=-
、∴tanθ=-、
方法二:
因为sinθ+cosθ=
sinθcosθ=-,
由根与系数得关系,知sinθ,cosθ就就是方程x2-
x-
=0得两根,
所以x1=
,x2=-
又sinθcosθ=-<0,所以sinθ>
0,cosθ<
所以sinθ=
,cosθ=-、所以tanθ=
=-、
方法三:
同方法二,得sinθcosθ=-
,所以
=-
齐次化切,得
=-
即60tan2θ+169tanθ+60=0,
解得tanθ=-
或tanθ=-
又θ∈(0,π),sinθ+cosθ=
>0,sinθcosθ=-<0,
所以θ∈(,),所以tanθ=-
(1)已知asinx+bcosx=c可与sin2x+cos2x=1联立,求得sinx,cosx、
(2)sinx+cosx,sinx-cosx,sinxcosx之间得关系为
(sinx+cosx)2=1+2sinxcosx,
(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx,
(sinx+cosx)2+(sinx-cosx)2=2、
因此已知上述三个代数式中得任意一个代数式得值,便可求其余两个代数式得值、
【答案】
(1)
(2)
(3)-
探究型多维突破
1、化简,其中为第二象限角、
原式=
∵为第二象限角 ∴
∴原式=
【思路点拨】以开方化简为目标,分子分母同时升次凑完全平方;
在开方时,注意符号得确定、
2、化简
(法一)原式=
(法二)∵
∴原式=
【思路点拨】法一通过因式分解降次,统一次数从而实现化简;
法二用“1”得代换升次从而实现化简、
自助餐
1、若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα得值等于( )
A、 B、-
C、 D、-
因为sinα=-
且α为第四象限角,所以cosα=,所以tanα=-
【思路点拨】熟记公式,代入解方程求解、
【答案】D
2、已知tanα=3,求sin2α-3sinαcosα+1得值、
【知识点】两组三角函数关系式得灵活应用
方法一:
∵tanα=3>
0,∴α就就是第一、三象限角、
由
得
(α为第一象限角),或
(α为第三象限角)、
∴sinαcosα=
∴sin2α-3sinαcosα+1=-3×
+1=1、
∵tanα=3,sin2α+cos2α=1,
∴sin2α-3sinαcosα+1=+1
+1=+1=1、
【思路点拨】解这类问题有两个方法,一就就是直接求出sinα与cosα得值,再代入求解,但这种方法较繁琐、二就就是将所求式转化为只含tanα得代数式,再代入求解、
【答案】1
3、化简cosα
+sinα
(π<
α<
)得()
A、sinα+cosα-2 B、2-sinα-cosα C、sinα-cosα D、cosα-sinα
【知识点】熟练掌握两组三角函数关系式与三角函数符号判定
原式=cosα
+sinα
∵π<α<
π,∴cosα<0,sinα<0、
∴原式=-(1-sinα)-(1-cosα)=sinα+cosα-2、
【思路点拨】为开方凑完全平方式,并根据角得范围判定符号、
【答案】 A