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圆的有关计算与证明
圆的有关计算与证明是中考的必考内容之一，占有较大的比重，通常结合三角形、四边形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题要熟练掌握圆的基本性质，特别是切线的性质和判定，利用圆的性质求角度或者计算阴影部分面积．
（2015·昆明西ft区二模）如图，CE是⊙O的直径，AC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，
∠A＝2∠DCE，延长AD交CE的延长线于点B，连接CD，若BE＝OE＝2.
（1）求证：
AD为⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
【思路点拨】
（1）要证AD为⊙O的切线，由点D在⊙O上可知，只需连接OD，证明OD⊥AD.由OC＝OD得∠DOB＝2∠DCE＝∠A.由AC为⊙O的切线知∠A＋∠B＝90°，从而∠DOB＋∠B＝90°，OD⊥AD即可得证；
（2）S阴＝S△ODB－S扇形ODE.代入相关数据即可求出．
【解答】
（1）证明：
连接OD，如图．
∵OC＝OD，∴∠DOB＝2∠DCE.
又∵∠A＝2∠DCE，∴∠DOB＝∠A.
∵AC为⊙O的切线，
∴AC⊥OC，∴∠A＋∠B＝90°.
∴∠DOB＋∠B＝90°.
∴∠ODB＝90°，即OD⊥AB.
∵OD为⊙O的半径，∴AD为⊙O的切线．
（2）在Rt△ODB中，∵OD＝OE，OE＝BE.OD1
∴sinB＝OB＝2，∴∠B＝30°，∠DOB＝60°.
3
∵BD＝OB·sin60°＝4×2＝23，11
∴S△ODB＝2×OD×BD＝2×2×23＝23.
60π×OD22π
S扇形ODE＝360＝3.
2π
∴S阴＝S△ODB－S扇形ODE＝23－3.
证明一条直线是圆的切线的常见方法有两种：
（1）当直线和圆有一公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；
（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称
“作垂直，证半径”．
类型1与切线有关的计算与证明
1．（2015·昆明西ft区一模）已知AB是⊙O的直径，AC为弦，且平分∠BAD，AD⊥CD，垂足为D，求证：
（1）CD是⊙O的切线；
（2）延长AB、DC交于点F，∠BFC＝30°，⊙O半径为3cm，求AD的长．
2．（2015·昆明二模）已知：
如图所示，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于F，DE与边AB相交于E，∠EDF＝∠A，且AE＝3EB.
（1）
求证：
DE是⊙O的切线．
（2）若BC＝8，CD＝4，求ABCD的高DF的长度．
3．（2015·昆明盘龙区一模）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE＝∠A.
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
4
（2）若⊙O的半径R＝5，cosA＝5，求线段CD的长．
4．（2015·衡阳）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.
（1）求证：
CE为⊙O的切线；
（2）判断四边形AOCD是否为菱形？
并说明理由．
5．（2015·昆明官渡区二模）如图，已知AB为⊙O的直径，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC
上取一点E，使得ED＝EA.
（1）求证：
ED是⊙O的切线；
（2）若OA＝3cm，AE＝4cm，求BC的长度．
︵︵︵
ACCDDB
（2013·曲靖）如图，⊙O的直径AB＝10，C，D是圆上的两点，且＝＝.设过点D的切线ED交AC的
延长线于点F，连接OC交AD于点G.
（1）求证：
DF⊥AF；
（2）求OG的长．
7．（2015·黔西南）如图所示，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.
（1）求证：
直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．
8．（2015·北京）如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且DA＝DC，连接AC，延长AD交BM于点E.
（1）求证：
△ACD是等边三角形；
（2）连接OE，若DE＝2，求OE的长．
9．（2015·常德）已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF.
（1）求证：
EF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．
10．（2015·东营）已知，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB上的一点O为圆心，以OA为半径的圆交AC于点D，交AB于点E.
（1）求证：
AC·AD＝AB·AE；
（2）如果BD是⊙O的切线，D是切点，E是OB的中点，当BC＝2时，求AC的长．
11．（2015·临沂）如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.
（1）求证：
AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）．
类型2与圆的性质有关的计算与证明
1．（2015·无锡）已知：
如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且BC＝6cm，AC＝8cm，∠ABD＝45°.
（1）
求BD的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
2．（2015·安徽）在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.
（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；
（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．
3．（2015·滨州）如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
求弧BC的长；
（2）求弦BD的长．
4．（2015·台州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC＝BC＝DC.
（1）若∠CBD＝39°，求∠BAD的度数；
（2）求证：
∠1＝∠2.
参考答案
1.
（1）证明：
连接OC.
∵AC平分∠BAD，
∴∠CAO＝∠CAD.
∵AD⊥CD，
∴∠CAD＋∠ACD＝90°.
∴∠CAO＋∠ACD＝90°.又∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA.
∴∠OCA＋∠ACD＝90°，即∠OCD＝90°，OC⊥CD.又∵OC为⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCF中，OC＝3cm，∠BFC＝30°，
∴OF＝2OC＝6cm.
∴AF＝OF＋OA＝6＋3＝9（cm）．在Rt△AFD中，
∵∠F＝30°，
11
∴AD＝2AF＝2×9＝4.5（cm）．
2.
（1）证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A＝∠C.
∵∠EDF＝∠A，
∴∠EDF＝∠C.
∵CD为⊙O的直径，
∴∠DFC＝90°，
∴∠FDC＋∠C＝90°.
∴∠EDF＋∠FDC＝90°，即∠EDC＝90°，
∴DE⊥OD.
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
（2）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC.∵DF⊥BC，
∴DF⊥AD.
∴∠ADE＋∠EDF＝90°.
∴∠ADE＝∠FDC.
∵∠A＝∠C，
∴△ADE∽△CDF.
AECF
∴AD＝CD.
∵AB＝CD＝4，AE＝3EB，
33
∴AE＝4AB＝4×4＝3.
3CF
∴8＝4.
3
∴CF＝2.
在Rt△CDF中，由勾股定理得DF＝CD2－CF2＝3.
（1）直线DE与⊙O相切，理由如下：
连接OD.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵OB＝OD，
∴∠ABD＝∠ODB.
∵∠BDE＝∠A，
∴∠BDE＋∠ODB＝90°，即∠ODE＝90°.
∴OD⊥DE.又∵点D在⊙O上，
55
＝2.
∴直线DE与⊙O相切．
AB2×54
（2）在Rt△ABC中，cosA＝AC＝25
AC＝5，
ADAD4
∴AC＝2.在Rt△ABD中，cosA＝AB＝2×5＝5，
∴AD＝8.
259
∴CD＝AC－AD＝2－8＝2
4.
（1）证明：
连接OD.
∵点C、D为半圆O的三等分点，
11
∴∠BOC＝∠COD＝2∠BOD.又∠BAD＝2∠BOD，
∴∠BOC＝∠BAD.∴AE∥OC.
∵AD⊥EC，
∴OC⊥EC.
∴CE为⊙O的切线．
（2）四边形AOCD是菱形．理由如下：
∵点C、D为半圆O的三等分点，
∴∠AOD＝∠COD＝60°.又∵OA＝OD＝OC，
∴△AOD和△COD都是等边三角形．
∴OA＝AD＝DC＝OC＝OD.
∴四边形AOCD是菱形．
5.
（1）证明：
连接OD.∵ED＝EA，
∴∠EDA＝∠EAD.
∵OD＝OA，
∴∠ODA＝∠OAD.
∵AC⊥AB，
∴∠OAD＋∠EAD＝∠BAC＝90°，
∴∠ODA＋∠EDA＝90°，即∠ODE＝90°，OD⊥ED.又∵OD为⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
（2）∵EA、ED均为⊙O的切线，
∴EO⊥AD.
∴∠BAD＋∠AOE＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＋∠ABD＝90°.
∴∠AOE＝∠ABD.
∴OE∥BC.
又∵O为AB的中点，
∴OE为△BAC的中位线．
∴BC＝2OE＝2×32＋42＝10（cm）．
︵︵︵
ACCDDB
6.
（1）证明：
连接OD，BD.∵＝＝，
∴∠CAD＝∠DAB＝30°，∠ABD＝60°.又OA＝OD，
∴∠ODA＝∠DAB＝30°.
∴∠ODA＝∠FAD.
∴OD∥AF.又DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DF.∴DF⊥AF.
（2）∵AB＝10，
∴AO＝5.
︵︵
ACCD
∵＝，
∴OG⊥AD.在Rt△AOG中，∠GAO＝30°，
15
∴OG＝2AO＝2.
7.
（1）证明：
过点O作OD⊥PB，连接OC.
∵AP与⊙O相切，
∴OC⊥AP.
又∵OP平分∠APB，
∴OD＝OC.
∴PB是⊙O的切线．
（2）过C作CF⊥PE于点F.在Rt△OCP中，OP＝OC2＋CP2＝5.
11
∵S△
OCP＝2OC·CP＝2OP·CF，
12
∴CF＝5.在Rt△COF中，OF＝
924
∴FE＝3＋5＝5.
9
CO2－CF2＝5.
在Rt△CFE中，CE＝CF2＋EF2＝5.
8.
（1）证明：
∵BM是⊙O的切线，AB为⊙O的直径，
∴AB⊥BM.
∵BM∥CD，
∴AB⊥CD.
∴AD＝AC.
∵DA＝DC，
∴AD＝CD＝AC.
∴△ACD为等边三角形．
（2）
∵△ACD为等边三角形，AB⊥CD.
∴∠DAB＝30°.连接BD，
∴BD⊥AD，∠EBD＝∠DAB＝30°.
∵DE＝2，
∴BE＝4，BD＝23，AB＝43，OB＝23.
在Rt△OBE中，OE＝OB2＋BE2＝12＋16＝27.
9.
（1）证明：
连接FO.∵AC是⊙O的直径，
∴CE⊥AE.
∵点F为BC的中点，
∴FC＝FE.
∵OE＝OC，OF＝OF，
∴△EFO≌△CFO（SSS）．
∴∠OEF＝∠OCF.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠FEO＝90°，即OE⊥EF.又点E在圆上，
∴FE为⊙O的切线．
（2）∵⊙O的半径为3，
∴AO＝CO＝EO＝3，AC＝6.又∵∠EAC＝60°，
∴∠EOA＝60°.
∴∠COD＝∠EOA＝60°.
∴在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3.
∴CD＝3OC＝33.
∴在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝62＋（33）2＝37.
10.
（1）证明：
连接DE.∵AE是直径，
∴∠ADE＝90°.
又∵∠ABC＝90°，
∴∠ADE＝∠ABC.又∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
ADAE
∴AB＝AC，即AC·AD＝AB·AE.
（2）连接OD.∵BD是⊙O的切线，
∴OD⊥BD.
∵点E是OB的中点，
∴在Rt△OBD中，OE＝BE＝OD，即OB＝2OD，
∴∠OBD＝30°.同理∠BAC＝30°.在Rt△ABC中，AC＝2BC＝2×2＝4.
11.
（1）证明：
连接OD.∵BC是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥BC.
又∵AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠ADO＝∠CAD.又∵OD＝OA，
∴∠ADO＝∠OAD，
∴∠CAD＝∠OAD，即AD平分∠BAC.
（2）连接OE，ED.∵∠BAC＝60°，OE＝OA，
∴△OAE为等边三角形．∴∠AOE＝60°.
∴∠ADE＝30°.
1
又∵∠OAD＝2∠BAC＝30°，
∴∠ADE＝∠OAD，
∴ED∥AO，
∴S△AED＝S△OED.
∴阴影部分的面积＝S扇形
ODE＝
60×π×42
360＝3π.
类型2与圆的性质有关的计算与证明
1．
（1）连接OD.∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵BC＝6cm，AC＝8cm，
∴AB＝10cm.∴OB＝5cm.
∵OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD＝45°.
∴∠BOD＝90°.
∴BD＝OB2＋OD2＝5cm.
90125π－50
（2）S阴影＝S扇形－S△OBD＝360π·52－2×5×5＝4
2.
（1）连接OQ，∵PQ∥AB，OP⊥PQ，
∴OP⊥AB.在Rt△OBP中，
OP
∵tanB＝OB，
∴OP＝3tan30°＝3，在Rt△OPQ中，
（cm2）．
∵OP＝
∴PQ＝
3，OQ＝3，OQ2－OP2＝6.
（2）连接OQ，在Rt△OPQ中，PQ＝OQ2－OP2＝9－OP2，当OP的长最小时，PQ的长最大，此时OP⊥BC，
13
则OP＝2OB＝2，
∴PQ长的最大值为
33
＝2.
3.
（1）连接OC.∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
AC51
在Rt△ABC中，∵cos∠BAC＝AB＝10＝2，
∴∠BAC＝60°.
∴∠BOC＝2∠BAC＝120°.
120×π×510
∴弧BC的长为180＝3π.
（2）连接OD.∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD.
∴∠AOD＝∠BOD.
∴AD＝BD.
∴∠BAD＝∠ABD＝45°.
22
在Rt△ABD中，BD＝2AB＝2×10＝52.
4.
（1）∵BC＝DC，
︵︵
BCDC
∴＝.
∴∠BAC＝∠CAD＝∠CBD.
∵∠CBD＝39°，
∴∠BAC＝∠CAD＝39°.
∴∠BAD＝∠BAC＋∠DAC＝78°.
（2）证明：
∵EC＝BC，
∴∠CBE＝∠CEB.
∵∠CBE＝∠1＋∠CBD，∠CEB＝∠2＋∠BAC，
∴∠1＋∠CBD＝∠2＋∠BAC.又∵∠BAC＝∠CBD，
∴∠1＝∠2.
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