太原地区数学建模联赛A题答案.docx
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太原地区数学建模联赛A题答案
第五届太原地区数学建模联赛
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深圳市人口与医疗需求预测模型
摘要：
人口与医疗问题是关系到国计民生的大问题，能够合理而准确地预测就显得非常重要。
但不同城市有不同的人口特点，本文在吸取前人经验的基础上，以深圳的人口为依托提出了一些新的简单而实用方法，希望能为政府决策提供帮助。
针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色指数模型辅助误差分析模型，通过matlab对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其误差与时间t近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99，我们就此认定其为线性相关并给出线性方程。
同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab拟合发现，其为线性相关，并得出相关函数。
通过模拟出的常住人口与非户籍人口的函数，我们可以很容易的得出深圳市的人口数量变化情况，同时我们以非户籍人口与常住人口的函数之比作为深圳市人口结构的变化，通过作图发现，深圳市非户籍人口正逐年下降，这正与官方以及媒体报道深圳市产业转型相对应。
由于深圳市人口结构中外来人口比例接近70%，而且外来人口中以青壮年居多，可以认为在较短时间内（十年内）外来人口年龄结构近似不变，同时当地户籍人口因为受历史条件影响，人口年龄结构在短期内也不会发生较大变化，所以我们大胆假设深圳市未来十年人口年龄结构近似不变。
同时深圳市各区发展水平相同，可以认为其人口发展态势与深圳市总体相同，所以其所在深圳市人口比例不变。
通过查阅资料得知床位需求与各年龄段人数、住院率、平均住院天数以及该地平均年床开放日数有关，在查找资料以及大量演算基础上，利用已求出的常住人口变化函数，我们得出深圳市的床位需求函数，而深圳市各区对应的床位需求则为深圳市总的床位需求乘以本区总人口所占深圳市总人口的比例（已架设各区人口在较短时间内保持不变）。
考虑到问题研究的实用性，我们选取了哮喘与糖尿病作为深圳市疾病研究的对象，我们通过查找哮喘与糖尿病在深圳市不同年龄段的发病率，这两种病在市级与区级医院的住院天数以及这两种级别的医院的平均年床开放日数，利用已知的病床需求函数，做出了针对深圳市不同级别医疗机构的函数表达式，通过函数表达式我们可以很轻松的看出深圳市不同类型医疗机构的床位需求。
最后以我们的模型为依托去测试深圳市各年的相关数据，都表现出来比较好的吻合性，它充分证明了我们模型的正确性。
但是，由于时间仓促，模型仍有不完善地方，而且有其局限性（在较长时间内误差较大），随着时间推移，深圳外来人口比例将更低，老龄化趋势将更加显著，这显然会影响深圳市各级机构床位需求的预测，我们希望可以引入包含年龄结构的函数对其修正，而这将会成为我们以后的一个研究方向。
关键字：
指数增长模型误差分析模型线性相关方程
1、问题重述
深圳市是一个流动人口多，户籍人口少的城市，外来人口多导致深圳市青壮年劳动力多，由于青壮年劳动力身体健康程度要高于其它人群，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平，但仍能满足现有人口的就医需求。
然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。
这些都可能导致深圳市未来的医疗需求与现在有较大的差异。
未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关。
请根据深圳市人口特点预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求；根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病在不同类型的医疗机构就医的床位需求。
2、问题分析
深圳市人口特点是流动人口多，非户籍人口多，但户籍人口较少，针对这个情况，我们选取人口结构中的主要矛盾，即常住人口与非常住人口（即非户籍人口）进行研究。
我们首先分析了深圳市近十年的人口年龄结构变化，发现其结构变化幅度很小，因此在短期内我们可以认为其年龄结构恒定。
由于本题需要处理数据较多，我们采用matlab进行辅助分析，通过拟合结果研究其常住人口已经非户籍人口变化。
而对于人口结构，我们可以用非户籍人口与总人口的比例来表示。
床位需求主要由各年龄段的人数以及与其相对应的住院率相对应，因此我们可以先分析出深圳市的年龄结构（可以分析2010年），然后查找与其相对应的住院率数据，至此，我们便可完成问题的第一问。
而对于第二问，我们可以利用第一问得出的常住人口变化函数与人口年龄结构得出未来某一年深圳市的某一年龄段的人数。
考虑到研究的实用性与可行性，我们可以以哮喘与糖尿病作为研究对象，通过哮喘与糖尿病的住院率与发病率，得出住院人数。
同时我们需要考虑到不同类型的医疗机构的住院天数受医院设备、人员水平等因素影响，通过查找资料，我们可以得出不同类型的医疗机构治疗同一种病的住院天数。
于是，整个问题便被简化。
3、模型假设
1.在较短时间内深圳市人口年龄结构保持不变；
2.针对研究的问题，每个年龄段发病率住院率保持不变；
3.抽样调查结果具有较高准确性；
4.深圳市各区人口所占深圳市总人口比例保持不变；
5.没有大的自然灾害等急剧影响深圳市人口结构的事件发生；
6.深圳市现行的各种人口政策保持不变；
4、符号说明
1.N（t）---（2001+t）年的总人口数；
2.r----单位时间内N（t）的增量与N（t）的比率系数；
3.r0----单位时间内常住N（t）的增量与N（t）的比率系数；
4.r0A----单位时间内户籍人口N（t）的增量与N（t）的比率系数；
5.r0B----单位时间内非户籍人口N（t）的增量与N（t）的比率系数；
6.y-----指数预测值与真实值得相对误差；
7.m-----各年龄段人口占全市人口的百分比；
8.m'----各年龄段人口住院率；
9.
------病床总需求；；
10.G------哮喘患病人数；
11.H------糖尿病患病人数；
12.
------哮喘在市级医院的病床需求；
13.
------哮喘在区级医院的病床需求；
14.
------糖尿病在市级医院的病床需求；
15.
------糖尿病在区级医院的病床需求；
问题一：
预测深圳市近十年常住人口与非常住人口
5、模型建立及求解
Q2问题二：
预测未来十年深圳市人口数量和结构的发展趋势
1.指数增长模型
设时刻t的人口总数为N（t）,当考虑到深圳近十年的人口时，N（t）可以看成连续可微的函数，2001年为第一年，记2001年的人口为N0，人后增长率为r，r是单位时间内N（t）的增量与N（t）的比例系数，由r是常数的假设可得
在[t,t+∆t]时间内人口增量为：
N（t+∆t）-N（t）=r*N（t）*∆t（A-----1）
对式（A----1）两端同时除以∆t，并令∆t→0，得微分方程：
dN/dt=r*N
N（0）=N0;
由此解得：
N（t）=N0*er*t（A-----2）
由以给定2001与2002年的人口数据，联合公式（A-----2），利用Matlab程序解出：
r0=0.0300,r0A=0.0546,r0B=0.0244;
由以给定数据知:
N0=724.57,N0A=132.04，N0B=592.53;
利用Matlab程序，得出此模型下的2003年到2010年的人口值，
由excel制作出表格，分别记为表1，表2，表3。
表1：
深圳市的实际常住人口与指数型计算人口比较
常住人口（万）
指数模型预测（万）
相对误差（%）
2001
724.57
2002
746.62
2003
778.27
769.37
-1.14
2004
800.8
792.81
-1
2005
827.75
816.95
-0.09
2006
871.1
841.83
-3.36
2007
912.37
867.47
-4.92
2008
954.28
893.89
-6.32
2009
995.01
921.11
-7.42
2010
1037.2
949.16
-8.49
表2：
深圳市的实际户籍人口与指数型计算人口比较
户籍人口（万）
指数模型预测值（万）
相对误差（%）
2001
132.04
2002
139.45
2003
150.93
147.28
-2
2004
165.13
155.54
-5.81
2005
181.93
164.27
-9.71
2006
196.83
173.49
-11.86
2007
212.38
183.22
-13.73
2008
228.07
193.51
-15.15
2009
241.45
204.36
-15.36
2010
251.03
215.83
-14.02
表3：
深圳市的实际非户籍人口与指数型计算人口比较
非户籍人口（万）
指数模型预测值（万）
相对误差（%）
2001
592.53
2002
607.17
2003
627.34
622.16
-0.83
2004
735.67
637.53
0.29
2005
645.82
653.28
1.16
2006
674.27
669.41
-0.72
2007
699.99
685.95
-2.01
2008
726.71
702.89
-3.21
2009
753.56
720.25
-4.42
2010
986.17
738.04
-6.12
从表中可以看出随着年到的增加用该模型预报的户籍人口与非户籍人口与实际值的误差越来越大，引起误差的主要原因是随着深圳市的快速发展，每年的增长率r太小，这个事实对r是一个常数的假设提出了异议。
2：
误差分析模型
我们设相对误差是t的线性函数，
利用Matlab实现多项式拟合，
程序如下：
»t=[23456789];
y=[-1.1400-1.0000-0.0900-3.3600-4.9200-6.3200-7.4200-8.4900];
polyfit（t,y,1）
»
ans=
-1.23572.7039；
所以常住人口误差y与t的关系式为：
y=-1.2357*t+2.7039;
»t=[23456789]；
y=[-2.0000-5.8100-9.7100-11.8600-13.7300-15.1500-15.3600-14.0200];
Polyfit（t,y,1）
»
ans=
-1.7867-1.1283
;
所以户籍人口误差y与t的关系式为：
y=-1.7867*t-1.1283;
»t=[0123456789]；
y=[-0.83000.29001.1600-0.7200-2.0100-3.2100-4.4200-6.1200];
Polyfit（t,y,1）
»
ans=
-0.89262.9269;
所以非户籍人口误差y与t的关系式为：
y=-0.8926t+2.9269;
则实际预测人口数N（t）'=N0*er*t*（1-y/100）;----（A----3）
用matlab算出误差加上指数型增长得到的数据，
重新拟合的得到的人口数据值，由excel做出表格分别记为表1A,表2A,表3A,如下：
表1A:
2011年~2020年深圳市常住人口预测人数
2001
2012
2013
2014
2015
1072.48
1117.59
1164.47
1213.16
1263.73
2016
2017
2018
2019
2020
1316.25
1370.81
1427.47
1486.31
1547.4
表2A:
2011年~2020年深圳市户籍人口预测人数
2011
2012
2013
2014
2015
271.25
290.77
311.63
333.91
357.71
2016
2017
2018
2019
2010
383.15
410.29
439.28
470.24
503.29
表3A:
2011年~2020年深圳市非户籍人口预测人数
2011
2012
2013
2014
2015
801.63
828.35
855.9
884.31
913.6
2016
2017
2018
2019
2020
943.79
974.92
1007
1040.08
1074.18
Q2问题二：
未来全市和各区医疗床位需求
模型建立的前提：
未来十年深圳市各年龄段比例不变。
原因：
由上题结果可知，深圳市非户籍人口所占比例逐年下降，并趋近于70%的稳定值，且深圳市非户籍人口以年轻人为主，在较短时间内年龄结构基本不变；而常住人口受历史影响较大，年龄结构在短期内基本不变。
因此，可以认为未来十年深圳市各年龄段比例保持不变。
查找资料得病床需求量公式如下：
------（A--4）
设病床总需求为Q，
为第
年（以2011年为第1年）深圳人口总数
，
为年龄段
所占比例（0~4岁为1，5~14岁为2，依此类推，
），
为
年龄段住院率，平均住院天数为
，平均每年床开放日数为
。
则
-----（A---5）
由2010年深圳市及各区分性别、年龄人口表格中数据可制作出下述表4：
2000~2005~2010年深圳市各年龄段所占比率
各年龄段人口
0-4岁
5-9岁
10-14岁
15-19岁
20-24岁
25-29岁
30-34岁
各年龄段所占比率
2010
0.0411
0.03
0.0277
0.0746
0.1904
0.1759
0.1299
2005
0.0327
0.0310
0.0273
0.1343
0.2278
0.1655
0.1426
2000
0.0330
0.0290
0.0229
0.1472
0.2500
0.2023
0.1348
各年龄段人口
35-39岁
40-44岁
45-49岁
50-54岁
55-59岁
60-64岁
65-69岁
各年龄段所占比率
2010
0.1141
0.0879
0.0544
0.0255
0.0193
0.0115
0.0069
2005
0.0986
0.0584
0.0257
0.0191
0.0128
0.0083
0.0070
2000
0.0767
0.0355
0.0245
0.0146
0.0091
0.0081
0.0055
各年龄段人口
70-74岁
75-79岁
80-84岁
85-89岁
90-94岁
95-99岁
100岁及以上
各年龄段所占比率
2010
0.0052
0.0031
0.0015
0.0007
0.0003
0.0001
0
2005
0.0048
0.0022
0.0012
0.0004
0.0002
0
0
2000
0.0033
0.0018
0.0009
0.0005
0.0002
0
0
由于自然规律，各年龄段发病住院率基本不变，由上表中数据用excel制出的柱形图如下：
图1：
查询资料知深圳市各年龄段住院率见下表：
表5：
0-4岁
5-14岁
15-24岁
25-34岁
8.08
2.11
4.62
6.91
35-44岁
45-54岁
55-64岁
65岁以上
4.68
6.16
9.3
15.32
利用excel做出柱形图如下：
图2：
‰
查找资料得
，
。
假定2011年至2020年的各年龄增比率与2010年的相同。
则深圳市未来十年床位预测如下表：
由（A--4）式结合图三、图四可得预测结果如下表。
表六：
未来十年医院病床推荐配置数
年份
2011
2012
2013
2014
2015
病床数（万张）
156.6
163.2
170.1
177.2
184.6
年份
2016
2017
2018
2019
2020
病床数（万张）
192.2
200.2
208.5
217.1
226
模型的进一步处理：
医院在实际配置病床时，除考虑需求量外，还需考虑潜在需求量和流动人口对病床的需求量。
由文献可知城市病床潜在需求量为实际利用量的20%；根据第一次国家卫生服务调查和流动人口调查结构估算，流动人口医院病床需要数相当于本地居民需要的10%。
考虑上述因素后，医院病床配置的推荐公式为：
Q'=
设医院病床推荐配置数为
，病床潜在需求量为
，流动人口病床需要数为
。
因此
;----（A--7）
由以预测数据与式（A--7）
得出考虑情况的重新预测数据如下表：
表7：
年份
2011
2012
2013
2014
2015
病床数（万张）
203.58
212.16
221.13
230.36
239.98
年份
2016
2017
2018
2019
2020
病床数（万张）
249.86
260.26
271.05
282.23
293.8
根据各区人数与全市人口的比例可求出各区病床推荐配置数：
各区人口占全市人口的比率如下表：
表八：
各区名
罗湖区
福田区
南山区
宝安区
所占比率
8.92
12.72
10.5
38.79
各区名
龙岗区
盐田区
光明新区
坪山新区
所占比率
19.42
2.02
4.65
2.99
用excel做出的环形图如下：
图三：
表九：
各区推荐床位数（以2015年为例）
各区名
罗湖区
福田区
南山区
宝安区
各区推荐床位数（万张）
21.4
30.53
25.2
93.09
各区名
龙岗区
盐田区
光明新区
坪山新区
各区推荐床位数（万张）
46.6
4.85
11.16
7.18
问题
：
不同疾病在不同医疗机构的床位需求——以哮喘和糖尿病为例
查阅文献可得不同年龄段糖尿病和哮喘发病率如下表：
表10：
深圳市不同年龄段人口哮喘患病情况
年龄段
实际调查人数
患病人数
患病率（%）
0-14
1033
31
3
15-29
860
8
0.93
30-44
2800
9
0.32
45-59
1727
16
0.93
60-74
1179
14
1.19
>75
230
5
2.17
表11：
深圳市不同年龄段人口糖尿病患病情况
年龄段
实际调查人数
患病人数
患病率（%）
0-14
450
2
0.4
15-29
500
8
1.6
30-44
300
15
0.5
45-59
400
4
0.1
60-74
1750
12
0.68
>75
450
8
1.78
根据以上数据，和第一问得出的深圳市未来人口变化的公式，
设G为哮喘患病人数，H为糖尿病患病人数。
因为某种疾病的患病人数等于该所有年龄段的人数与它们所对应的患病率乘积之和，则由图1的人口年龄结构得每种疾病的患病人数如下：
G、H=
;
其中N（t）'=N0*er*t*[1－（-1.2357*t+2.7039）;
m%为各年龄段占全市人口的比率，m'为各年龄段人口患糖尿病的患病率；
根据第一问预测出的数据，得出哮喘患病人数和糖尿病患病人数如下表格中的数据所示：
表12：
2011-2020各年的哮喘患病人数
年份
2011
2012
2013
2014
2015
哮喘患病人数
10.14
10.57
11.01
11.47
11.95
年份
2016
2017
2018
2019
2020
哮喘患病人数
12.44
12.96
13.49
14.05
14.63
表13：
2011-2020各年的糖尿病患病人数
年份
2011
2012
2013
2014
2015
糖尿病患病人数
10.16
10.58
11.03
11.49
11.97
年份
2016
2017
2018
2019
2020
糖尿病患病人数
12.47
12.98
13.52
14.08
14.65
经查阅资料，不同疾病在不同类型的医院的住院天数如下表所示：
表14：
病种
市级
区级
住院天数
术后住院天数
住院天数
术后住院天数
哮喘
28
14
32
26
糖尿病
15
12
18
14
则由上表可知，糖尿病在市级医院平均住院天数为42天，在区级医院平均住院天数为58天；哮喘在市级医院平均住院天数为27天，在区级医院平均住院天数为32天。
设哮喘在市级医院的病床需求为
，在区级医院的病床需求为
，则由第一问得知，理想的病床需求为：
在本模型中假设得糖尿病与哮喘的人都住院，则E1=
（注：
查阅资料知大城市年床开放日数为317天，区级则为237天，G为深圳市得哮喘的人数）
E2=
。
设糖尿病在市级医院的病床需求为
，在区级医院的病床需求为
，则同理可得，F1=
，F2=
;
则预测的哮喘各年所需配备的床位数如下表：
E1:
表15：
哮喘在市级医院的病床需求
年份
2011
2012
2013
2014
2015
需床位数（万张）
1.34
1.4
1.46
1.52
1.58
年份
2016
2017
2018
2019
2020
需床位数（万张）
1.65
1.72
1.79
1.86
1.94
E2:
表15：
哮喘在区级医院的病床需求
年份
2011
2012
2013
2014
2015
需床位数（万张）
2.48
2.59
2.69
2.81
2.92
年份
2016
2017
2018
2019
2020
需床位数（万张）
3.04
3.17
3.3
3.44
3.58
6、模型评价与改进方向
1.模型建造中没有考虑到年龄结构的变化，而深圳市年龄结构是趋向老龄化方向的，老年人体质弱，易生病住院，因此实际得出的床位数小于实际需求的床位数。
2.模型没有体现出深圳不同区的人口变化函数，而只是假设其人口总量对深圳总人口量保持
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