有理数的乘方及混合运算.doc

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有理数的乘方及混合运算（基础）

主讲沈老师

【学习目标】

1．理解有理数乘方的定义；

2.掌握有理数乘方运算的符号法则，并能熟练进行乘方运算；

3.进一步掌握有理数的混合运算.

【要点梳理】

要点一、有理数的乘方

定义：

求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）．

即有：

.在中，叫做底数，n叫做指数.

要点诠释：

（1）乘方与幂不同，乘方是几个相同因数的乘法运算，幂是乘方运算的结果．

（2）底数一定是相同的因数，当底数不是单纯的一个数时，要用括号括起来．

（3）一个数可以看作这个数本身的一次方．例如，5就是51，指数1通常省略不写．

要点二、乘方运算的符号法则

（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）任何一个数的偶次幂都是非负数，即．

要点诠释：

（1）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．

（2）任何数的偶次幂都是非负数．

要点三、有理数的混合运算

有理数混合运算的顺序：

（1）先乘方，再乘除，最后加减；

（2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．

要点诠释：

（1）有理数运算分三级，并且从高级到低级进行运算，加减法是第一级运算，乘除法是第二级运算，乘方和开方（以后学习）是第三级运算；

（2）在含有多重括号的混合运算中，有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行．

（3）在运算过程中注意运算律的运用．

【典型例题】

类型一、有理数乘方

1.把下列各式写成幂的形式：

（1）；

（2）（-3.7）×（-3.7）×（-3.7）×（-3.7）×5×5；

（3）．

【答案与解析】

（1）；

（2）（-3.7）×（-3.7）×（-3.7）×（-3.7）×5×5＝（-3.7）4×52；

（3）

【总结升华】乘方时，当底数是分数、负数时，应加上括号.

【有理数的乘方及混合运算有理数乘方的性质】

2．计算：

（1）

（2）（3）（4）

（5）　（6）（7）（8）

【答案与解析】

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）；

（7）；

（8）

【总结升华】与不同，，

而表示的n次幂的相反数．

举一反三：

【变式1】计算：

（1）（-4）4

（2）23（3）（4）（-1.5）2

【答案】

（1）（-4）4=（-4）×（-4）×（-4）×（-4）=256；

（2）23＝2×2×2=8；（3）

（4）（-1.5）2=（-1.5）×（-1.5）=2.25

【变式2】比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　）

　 A． 它们底数相同，指数也相同

　 B． 它们底数相同，但指数不相同

　 C． 它们所表示的意义相同，但运算结果不相同

　 D． 虽然它们底数不同，但运算结果相同

【答案】D．

解：

比较（﹣4）3=（﹣4）×（﹣4）×（﹣4）=﹣64，﹣43=﹣4×4×4=﹣64，

底数不相同，表示的意义不同，但是结果相同.

类型二、乘方的符号法则

3．不做运算，判断下列各运算结果的符号．

（-2）7，（-3）24，（-1.0009）2009，，-（-2）2010

【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断，可得：

（-2）7运算的结果是负；（-3）24运算的结果为正；（-1.0009）2009运算的结果是负；运算的结果是正；-（-2）2010运算的结果是负．

【总结升华】“一看底数，二看指数”，当底数是正数时，结果为正；当底数是0时，结果是0；当底数是负数时，再看指数，若指数为偶数，结果为正；若指数是奇数，结果为负．

举一反三：

【变式】计算：

（-1）2009的结果是（）．

A．-lB．1C．-2009D．2009

【答案】A

类型三、有理数的混合运算

【有理数的乘方及混合运算典型例题1】

4.计算：

（1）

（2）

（3）

（4）

【答案与解析】

（1）法一：

原式＝；

法二：

原式=

（2）原式

（3）原式=-32-3+66-9=22

（4）原式

【总结升华】有理数的混合运算，确定运算顺序是关键，细心计算是运算正确的前提．

举一反三：

【变式1】计算：

【答案】原式

【变式2】计算：

【答案】原式

【有理数的乘方及混合运算典型例题2

（2）】

5.（）

（A）（B） （C）（D）

【答案】C

【解析】逆用分配律可得：

，所以答案为：

C

【总结升华】当几项均为幂的形式，逆用分配律提出共同的因数时，要提指数较小的幂的形式.

举一反三：

【变式】计算：

【答案】

类型四、探索规律

6.你见过拉面馆的师傅拉面吗？

他们用一根粗的面条，第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条，再把两头捏在一起抻拉，反复数次，就能拉出许多根细面条，如下图，第3次捏合抻拉得到根面条，第5次捏合抻拉得到根面条，第次捏合抻拉得到根面条，要想得到64根细面条，需次捏合抻拉.

第1次第2次第3次

【答案】8;32;;6

【解析】由题意可知，每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍，所以可得到：

第1次：

；第2次：

；第3次：

；…；第次：

.

第3次捏合抻拉得到面条根数：

，即8根；第5次得到：

，即32根；第次捏合抻拉得到；

因为，所以要想得到64根面条，需要6次捏合抻拉.

【总结升华】解答此类问题的方法一般是：

从所给的特殊情形入手，再经过猜想归纳，从看似杂乱的问题中找出内在的规律，使问题变得有章可循．

举一反三：

【变式】已知21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，观察上面的规律，试猜想22008的末位数字是________．

【答案】6

7/7