高中数学选修2-1课后习题答案[人教版].doc
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高中数学选修2-1课后习题答案[人教版]
高中数学选修2-1课后习题答案
第一章常用逻辑用语
1.1命题及其关系
练习(P4)
1、略.2、
(1)真;
(2)假;(3)真;(4)真.
3、
(1)若一个三角形是等腰三角形,则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题.
(2)若一个函数是偶函数,则这个函数的图象关于轴对称.这是真命题.
(3)若两个平面垂直于同一个平面,则这两个平面平行.这是假命题.
练习(P6)
1、逆命题:
若一个整数能被5整除,则这个整数的末位数字是0.这是假命题.
否命题:
若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题.
逆否命题:
若一个整数不能被5整除,则这个整数的末位数字不是0.这是真命题.
2、逆命题:
若一个三角形有两个角相等,则这个三角形有两条边相等.这是真命题.
否命题:
若一个三角形有两条边不相等,这个三角形有两个角也不相等.这是真命题.
逆否命题:
若一个三角形有两个角不相等,则这个三角形有两条边也不相等.这是真命题.
3、逆命题:
图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题.
否命题:
不是奇函数的函数的图象不关于原点对称.这是真命题.
逆否命题:
图象不关于原点对称的函数不是奇函数.这是真命题.
练习(P8)
证明:
若,则
所以,原命题的逆否命题是真命题,从而原命题也是真命题.
习题1.1A组(P8)
1、
(1)是;
(2)是;(3)不是;(4)不是.
2、
(1)逆命题:
若两个整数与的和是偶数,则都是偶数.这是假命题.
否命题:
若两个整数不都是偶数,则不是偶数.这是假命题.
逆否命题:
若两个整数与的和不是偶数,则不都是偶数.这是真命题.
(2)逆命题:
若方程有实数根,则.这是假命题.
否命题:
若,则方程没有实数根.这是假命题.
逆否命题:
若方程没有实数根,则.这是真命题.
3、
(1)命题可以改写成:
若一个点在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的距离相等.
逆命题:
若一个点到线段的两个端点的距离相等,则这个点在线段的垂直平分线上.
这是真命题.
否命题:
若一个点到不在线段的垂直平分线上,则这个点到线段的两个端点的距离不相等.这是真命题.
逆否命题:
若一个点到线段的两个端点的距离不相等,则这个点不在线段的垂直平分线上.这是真命题.
(2)命题可以改写成:
若一个四边形是矩形,则四边形的对角线相等.
逆命题:
若四边形的对角线相等,则这个四边形是矩形.这是假命题.
否命题:
若一个四边形不是矩形,则四边形的对角线不相等.这是假命题.
逆否命题:
若四边形的对角线不相等,则这个四边形不是矩形.这是真命题.
4、证明:
如果一个三角形的两边所对的角相等,根据等腰三角形的判定定理,这个三角形是等腰三角形,且这两条边是等腰三角形,也就是说这两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题,表明原命题的逆否命题为真命题.所以,原命题也是真命题.
习题1.1B组(P8)
证明:
要证的命题可以改写成“若,则”的形式:
若圆的两条弦不是直径,则它们不能互相平分.
此命题的逆否命题是:
若圆的两条相交弦互相平分,则这两条相交弦是圆的两条直径.
可以先证明此逆否命题:
设是的两条互相平分的相交弦,交点是,若和圆心重合,则是经过圆心的弦,是两条直径.若和圆心不重合,连结和,则是等腰,的底边上中线,所以,,.和都经过点,且与垂直,这是不可能的.所以,和必然重合.即和是圆的两条直径.
原命题的逆否命题得证,由互为逆否命题的相同真假性,知原命题是真命题.
1.2充分条件与必要条件
练习(P10)
1、
(1);
(2);(3);(4).2、
(1).3
(1).
4、
(1)真;
(2)真;(3)假;(4)真.
练习(P12)
1、
(1)原命题和它的逆命题都是真命题,是的充要条件;
(2)原命题和它的逆命题都是真命题,是的充要条件;
(3)原命题是假命题,逆命题是真命题,是的必要条件.
2、
(1)是的必要条件;
(2)是的充分条件;
(3)是的充要条件;(4)是的充要条件.
习题1.2A组(P12)
1、略.2、
(1)假;
(2)真;(3)真.
3、
(1)充分条件,或充分不必要条件;
(2)充要条件;
(3)既不是充分条件,也不是必要条件;(4)充分条件,或充分不必要条件.
4、充要条件是.
习题1.2B组(P13)
1、
(1)充分条件;
(2)必要条件;(3)充要条件.
2、证明:
(1)充分性:
如果,那么.
所以
所以,,,.
即,所以,是等边三角形.
(2)必要性:
如果是等边三角形,那么
所以
所以
所以
1.3简单的逻辑联结词
练习(P18)
1、
(1)真;
(2)假.2、
(1)真;
(2)假.
3、
(1),真命题;
(2)3不是方程的根,假命题;
(3),真命题.
习题1.3A组(P18)
1、
(1)或,真命题;
(2)且,假命题;
(3)2是偶数或3不是素数,真命题;(4)2是偶数且3不是素数,假命题.
2、
(1)真命题;
(2)真命题;(3)假命题.
3、
(1)不是有理数,真命题;
(2)5是15的约数,真命题;
(3),假命题;(4),真命题;
(5)空集不是任何集合的真子集,真命题.
习题1.3B组(P18)
(1)真命题.因为为真命题,为真命题,所以为真命题;
(2)真命题.因为为真命题,为真命题,所以为真命题;
(3)假命题.因为为假命题,为假命题,所以为假命题;
(4)假命题.因为为假命题,为假命题,所以为假命题.
1.4全称量词与存在量词
练习(P23)
1、
(1)真命题;
(2)假命题;(3)假命题.
2、
(1)真命题;
(2)真命题;(3)真命题.
练习(P26)
1、
(1);
(2)存在一个素数,它不是奇数;
(3)存在一个指数函数,它不是单调函数.
2、
(1)所有三角形都不是直角三角形;
(2)每个梯形都不是等腰梯形;
(3)所有实数的绝对值都是正数.
习题1.4A组(P26)
1、
(1)真命题;
(2)真命题;(3)真命题;(4)假命题.
2、
(1)真命题;
(2)真命题;(3)真命题.
3、
(1);
(2)存在一个可以被5整除的整数,末位数字不是0;
(3);(4)所有四边形的对角线不互相垂直.
习题1.4B组(P27)
(1)假命题.存在一条直线,它在轴上没有截距;
(2)假命题.存在一个二次函数,它的图象与轴不相交;
(3)假命题.每个三角形的内角和不小于;
(4)真命题.每个四边形都有外接圆.
第一章复习参考题A组(P30)
1、原命题可以写为:
若一个三角形是等边三角形,则此三角形的三个内角相等.
逆命题:
若一个三角形的三个内角相等,则此三角形是等边三角形.是真命题;
否命题:
若一个三角形不是等边三角形,则此三角形的三个内角不全相等.是真命题;
逆否命题:
若一个三角形的三个内角不全相等,则此三角形不是等边三角形.是真命题.
2、略.3、
(1)假;
(2)假;(3)假;(4)假.
4、
(1)真;
(2)真;(3)假;(4)真;(5)真.
5、
(1);
(2)在圆上,为圆心;
(3)是整数,;
(4)是无理数,是有理数.
6、
(1),真命题;
(2),假命题;(3),真命题;
(4)存在一个正方形,它不是平行四边形,假命题.
第一章复习参考题B组(P31)
1、
(1);
(2),或.
2、
(1),,的对边分别是,则;
(2),的对边分别是,则.
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第二章圆锥曲线与方程
2.1曲线与方程
练习(P37)
1、是.容易求出等腰三角形的边上的中线所在直线的方程是.
2、.
3、解:
设点的坐标分别为,.
(1)当时,直线斜率
所以,
由直线的点斜式方程,得直线的方程为.
令,得,即点的坐标为.
由于点是线段的中点,由中点坐标公式得.
由得,代入,
得,即……①
(2)当时,可得点的坐标分别为,
此时点的坐标为,它仍然适合方程①
由
(1)
(2)可知,方程①是点的轨迹方程,它表示一条直线.
习题2.1A组(P37)
1、解:
点、在方程表示的曲线上;
点不在此曲线上
2、解:
当时,轨迹方程为;当时,轨迹为整个坐标平面.
3、以两定点所在直线为轴,线段垂直平分线为轴,建立直角坐标系,得点的轨迹方程为.
4、解法一:
设圆的圆心为,则点的坐标是.
由题意,得,则有.
所以,
化简得
当时,,点适合题意;当时,,点不合题意.
解方程组,得
所以,点的轨迹方程是,.
解法二:
注意到是直角三角形,
利用勾股定理,得,
即.其他同解法一.
习题2.1B组(P37)
1、解:
由题意,设经过点的直线的方程为.
因为直线经过点,所以
因此,
(第2题)
由已知点的坐标为,所以点的轨迹方程为.
2、解:
如图,设动圆圆心的坐标为.
由于动圆截直线和所得弦分别为
,,所以,,.过点分别
作直线和的垂线,垂足分别为,
,则,.
,.
连接,,因为,
则有,
所以,,化简得,.
因此,动圆圆心的轨迹方程是.
2.2椭圆
练习(P42)
1、14.提示:
根据椭圆的定义,,因为,所以.
2、
(1);
(2);(3),或.
3、解:
由已知,,,所以.
(1)的周长.
由椭圆的定义,得,.
所以,的周长.
(2)如果不垂直于轴,的周长不变化.
这是因为①②两式仍然成立,的周长,这是定值.
4、解:
设点的坐标为,由已知,得
直线的斜率;
直线的斜率;
由题意,得,所以
化简,得
(第1题)
因此,点的轨迹是直线,并去掉点.
练习(P48)
1、以点(或)为圆心,以线段(或)
为半径画圆,圆与轴的两个交点分别为.
点就是椭圆的两个焦点.
这是因为,在中,,,
所以,.同样有.
2、
(1)焦点坐标为,;
(2)焦点坐标为,.
3、
(1);
(2).
4、
(1)
(2),或.
5、
(1)椭圆的离心率是,椭圆的离心率是,
因为,所以,椭圆更圆,椭圆更扁;
(2)椭圆的离心率是,椭圆的离心率是,
因为,所以,椭圆更圆,椭圆更扁.
6、
(1);
(2);(3).7、.
习题2.2A组(P49)
1、解:
由点满足的关系式以及椭圆的定义得,
点的轨迹是以,为焦点,长轴长为10的椭圆.
它的方程是.
2、
(1);
(2);(3),或.
3、
(1)不等式,表示的区域的公共部分;
(2)不等式,表示的区域的公共部分.图略.
4、
(1)长轴长,短轴长,离心率,
焦点坐标分别是,,顶点坐标分别为,,,;
(2)长轴长,短轴长,离心率,
焦点坐标分别是,,顶点坐标分别为,,,.
5、
(1);
(2),或;
(3),或.
6、解:
由已知,椭圆的焦距.
因为的面积等于1,所以,,解得.
(第7题)
代入椭圆的方程,得,解得.
所以,点的坐标是,共有4个.
7、解:
如图,连接.由已知,得.
所以,.
又因为点在圆内,所以
根据椭圆的定义,点的轨迹是以为焦点,为长轴长的椭圆.
8、解:
设这组平行线的方程为.
把代入椭圆方程,得.
这个方程根的判别式
(1)由,得.
当这组直线在轴上的截距的取值范围是时,直线与椭圆相交.
(2)设直线与椭圆相交得到线段,并设线段的中点为.
则.
因为点在直线上,与联立,消去,得.
这说明点的轨迹是这条直线被椭圆截下的弦(不包括端点),这些弦的中点在一条直线上.
9、.
10、地球到太阳的最大距离为km,最下距离为km.
习题2.2B组(P50)
1、解:
设点的坐标为,点的坐标为,
则,.所以,……①.
因为点在圆上,所以……②.
将①代入②,得点的轨迹方程为,即
所以,点的轨迹是一个椭圆
与例2相比可见,椭圆也可以看作是由圆沿某个方向压缩或拉伸得到.
2、解法一:
设动圆圆心为,半径为,两已知圆的圆心分别为.
分别将两已知圆的方程,
配方,得,
当与:
外切时,有……①
当与:
内切时,有……②
①②两式的两边分别相加,得
即,……③
化简方程③.
先移项,再两边分别平方,并整理,得……④
将④两边分别平方,并整理,得……⑤
将常数项移至方程的右边,两边分别除以108,得……⑥
由方程⑥可知,动圆圆心的轨迹是椭圆,它的长轴和短轴长分别为12,.
解法二:
同解法一,得方程……①
由方程①可知,动圆圆心到点和点距离的和是常数12,
所以点的轨迹方程是焦点为、,长轴长等于12的椭圆.
并且这个椭圆的中心与坐标原点重合,焦点在轴上,于是可求出它的标准方程.
因为,,所以,
所以.
于是,动圆圆心的轨迹方程为.
3、解:
设是点到直线的距离,根据题意,所求轨迹就是集合
由此得
将上式两边平方,并化简,得,即
所以,点的轨迹是长轴、短轴长分别为8,的椭圆.
(第4题)
4、解:
如图,由已知,得,,,.
因为是线段的四等分点,
是线段的四等分点,
所以,;
.
直线的方程是;
直线的方程是.
联立这两个方程,解得.
所以,点的坐标是.
同样,点的坐标是,点的坐标是.
由作图可见,可以设椭圆的方程为……①
把点的坐标代入方程①,并解方程组,得,.
所以经过点的椭圆方程为.
把点的坐标代入,得,
所以,点在上.
因此,点都在椭圆上.
2.3双曲线
练习(P55)
1、
(1).
(2).
(3)解法一:
因为双曲线的焦点在轴上
所以,可设它的标准方程为
将点代入方程,得,即
又
解方程组
令,代入方程组,得
解得,或
第二组不合题意,舍去,得
所求双曲线的标准方程为
解法二:
根据双曲线的定义,有.
所以,
又,所以
由已知,双曲线的焦点在轴上,所以所求双曲线的标准方程为.
2、提示:
根据椭圆中和双曲线中的关系式分别求出椭圆、双曲线的焦点坐标.
3、由,解得,或
练习(P61)
1、
(1)实轴长,虚轴长;顶点坐标为;
焦点坐标为;离心率.
(2)实轴长,虚轴长;顶点坐标为;
焦点坐标为;离心率.
(3)实轴长,虚轴长;顶点坐标为;
焦点坐标为;离心率.
(4)实轴长,虚轴长;顶点坐标为;
焦点坐标为;离心率.
2、
(1);
(2).3、
4、,渐近线方程为.
5、
(1);
(2)
习题2.3A组(P61)
1、把方程化为标准方程,得.因为,由双曲线定义可知,点到两焦点距离的差的绝对值等于16.因此点到另一焦点的距离是17.
2、
(1).
(2)
3、
(1)焦点坐标为,离心率;
(2)焦点坐标为,离心率;
4、
(1).
(2)
(3)解:
因为,所以,因此.
设双曲线的标准方程为,或.
将代入上面的两个方程,得,或.
解得(后一个方程无解).
所以,所求的双曲线方程为.
5、解:
连接,由已知,得.
所以,.
又因为点在圆外,所以.
根据双曲线的定义,点的轨迹是以为焦点,为实轴长的双曲线.
6、.
习题2.3B组(P62)
1、
2、解:
由声速及两处听到爆炸声的时间差,可知两处与爆炸点的距离的差,
因此爆炸点应位于以为焦点的双曲线上.
使两点在轴上,并且原点与线段的中点重合,建立直角坐标系.
设爆炸点的坐标为,则.
即,.
又,所以,,.
因此,所求双曲线的方程为.
3、
4、解:
设点,在双曲线上,且线段的中点为.
设经过点的直线的方程为,即
把代入双曲线的方程得
()……①
所以,
由题意,得,解得.
当时,方程①成为.
根的判别式,方程①没有实数解.
所以,不能作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.
2.4抛物线
练习(P67)
1、
(1);
(2);(3).
2、
(1)焦点坐标,准线方程;
(2)焦点坐标,准线方程;
(3)焦点坐标,准线方程;(4)焦点坐标,准线方程;
3、
(1),.
(2),
提示:
由抛物线的标准方程求出准线方程.由抛物线的定义,点到准线的距离等于9,
(第2题)
所以,,.
练习(P72)
1、
(1);
(2);
(3);(4).
2、图形见右,的系数越大,抛物线的开口越大.
3、解:
过点且斜率为1的直线的方程
为
与抛物线的方程联立
解得,
设,,则.
4、解:
设直线的方程为.
将代入抛物线方程,得,即.
因为,所以,
因此,直线的方程为.
习题2.4A组(P73)
1、
(1)焦点坐标,准线方程;
(2)焦点坐标,准线方程;
(3)焦点坐标,准线方程;
(4)焦点坐标,准线方程.
2、
(1);
(2),或
3、解:
由抛物线的方程,得它的准线方程为.
根据抛物线的定义,由,可知,点的准线的距离为.
设点的坐标为,则,解得.
将代入中,得.
因此,点的坐标为,.
4、
(1),;
(2)(图略)
5、解:
因为,所以线段所在直线的斜率.
因此,直线的方程为
与抛物线联立,得
将代入得,,解得,,
把,分别代入①得,
由第5题图知不合题意,所以点的坐标为.
因此,
6、证明:
将代入中,得,
化简得,解得
则
因为,
所以
(第8题)
所以
7、这条抛物线的方程是
8、解:
建立如图所示的直角坐标系,
设拱桥抛物线的方程为,
因为拱桥离水面2m,水面宽4m
所以,
因此,抛物线方程为……①
水面下降1m,则,代入①式,得,.
这时水面宽为m.
习题2.2B组(P74)
1、解:
设垂线段的中点坐标为,抛物线上相应点的坐标为.
根据题意,,,代入,得轨迹方程为.
由方程可知,轨迹为顶点在原点、焦点坐标为的抛物线.
2、解:
设这个等边三角形的顶点在抛物线上,且坐标分别为,,
则,.
又,所以
即,
因此,
因为,所以
由此可得,即线段关于轴对称.
因为轴垂直于,且,所以.
因为,所以,因此.
3、解:
设点的坐标为
由已知,得直线的斜率.
直线的斜率.
由题意,得,所以,,化简,得
第二章复习参考题A组(P80)
1、解:
如图,建立直角坐标系,使点在轴上,为椭圆的右焦点(记为左焦点).
(第1题)
因为椭圆的焦点在轴上,所以设它的标准方程为.
则,
,
解得,
所以
用计算器算得
因此,卫星的轨道方程是.
2、解:
由题意,得,解此方程组,得
因此卫星轨道的离心率.
3、
(1);
(2).
4、
(1)当时,方程表示圆.
(2)当时,方程化成.方程表示焦点在轴上的椭圆.
(3)当时,,即,方程表示平行于轴的两条直线.
(4)当时,因为,所以表示双曲线,其焦点在轴上.而当时,方程表示等轴双曲线.
5、解:
将代入方程
得
即……①
令,解得,或
因为,方程①无解,即直线与双曲线没有公共点,
所以,的取值范围为,或
6、提示:
设抛物线方程为,则点的坐标为,点的坐标为
设点的坐标为,则点的坐标为.
因为,,,.
所以,,即是和的比例中项.
7、解:
设等边三角形的另外两个顶点分别是,其中点在轴上方.
直线的方程为
与联立,消去,得
解方程,得,
把代入,得.
把代入,得.
所以,满足条件的点有两个,.
根据图形的对称性,可得满足条件的点也有两个,
所以,等边三角形的边长是,或者.
8、解:
设直线的方程为.
把代入双曲线的方程,得.
,……①
由已知,得……②
把①代入②,解得
所以,直线的方程为
9、解:
设点的坐标为,点的坐标为,点的坐标为.
并设经过点的直线的方程为,即.
把代入双曲线的方程,得