完整版复数的三角形式及乘除运算Word文档下载推荐.docx

完整版复数的三角形式及乘除运算Word文档下载推荐.docx

《完整版复数的三角形式及乘除运算Word文档下载推荐.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版复数的三角形式及乘除运算Word文档下载推荐.docx（39页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

+θ）+isin（

+θ）

　　同理（4）Z4=-sinθ-icosθ=cos（

π-θ）+isin（

π-θ）

　　（5）Z5=cos60°

=

+

i=

（1+i）=

·

（cos

+isin

）=

）

　　小结:

对这类与三角形式很相似的式子，如何将之变换为三角形式，对于初学者来讲是个难点.有了“定点→定名→定角”这样一个可操作的步骤，应能够很好地解决此类问题.

　　例2．求复数Z=1+cosθ+isinθ（π<

θ<

2π）的模与辐角主值.

式子中多3个“1”，只有将“1”消去，才能更接近三角形式，因此可利用三角公式消“1”.

Z=1+cosθ+isinθ=1+（2cos2

-1）+2i·

sin

cos

=2cos

）........

（1）

　　∵π<

2π　∴

<

π,　∴cos

　　∴

（1）式右端=-2cos

（-cos

-isin

）=-2cos

[cos（π+

）]+isin（π+

）]

　　∴r=-2cos

ArgZ=π+

+2kπ（k∈Z）

　　∵

π　∴

π<

π+

2π，　∴argZ=π+

.

（1）式右端从形式上看似乎就是三角形式.不少同学认为r=2cos

argZ=

或ArgZ=

　　错误之处在于他们没有去考虑θ角范围，因此一定要用“模非负，角相同，余弦前，加号连”来判断是否为三角形式.看了这道例题，你一定能解决如Z1=1-cosθ+isinθ（π<

2π），Z2=1+cosθ-isinθ（π<

2π）等类似问题.

　　例3．将Z=

（

3π）化为三角形式，并求其辐角主值.

三角形中只有正余弦，因此首先想到“化切为弦”.下一步当然是要分母实数化，再向三角形式转化.

=cos2θ+isin2θ

　　∵

3π,∴

2θ<

6π,

　　∴

2θ-4π<

2π，∴argZ=2θ-4π

掌握三角变形是解决这类问题的根本.但在此之前的解题方向一定要明确，即要分析式子结构.比较其与三角形式的异同，从而决定变形的方向，采用正确的方法.要求学生做好每道例题后的反思，并能由此及彼，举一反三，达到熟练解决一类问题的目的，如1-itgθ,tgθ+i,i-ctgθ等.

　　2．复数Z的模|Z|的几何意义是:

复平面上点Z到原点距离，复数模|Z1-Z2|的几何意义是:

复平面上两点Z1，Z2之间距离.辐角几何意义是:

以x轴正半轴为角始边，以向量

所在射线为终边的角记为ArgZ.在[0，2π）范围内的辐角称辐角主值，记为argZ.

　　要求学生不仅要理解以上所说各几何意义，还要运用几何意义去解决相关问题.

　　例4．若Z∈c，|Z-2|≤1，求｜Ｚ｜的最大，最小值和argZ范围.

法一，数形结合

　　由|Z-2|≤1，知Ｚ的轨迹为复平面上以（2，0）为圆心，1为半径的圆面（包括圆周），|Z|表示圆面上任一点到原点的距离.

　　显然1≤|Z|≤3,∴|Z|max=3,|Z|min=1,

　　另设圆的两条切线为OA，OB，A，B为切点，由|CA|=1，|OC|=2知

　　∠AOC=∠BOC=

，∴argZ∈[0,

]∪[

π,2π）

　　法二:

用代数形式求解|Z|的最大，最小值，设Z=x+yi（x,y∈R）

　　则由|Z-2|≤1得（x-2）2+y2≤1,

　　∴|Z|=

≤

　　∵（x-2）2+y2≤1,∴（x-2）2≤1,∴-1≤x-2≤1,∴1≤x≤3,

　　∴1≤4x-3≤9,∴1≤|Z|≤3.

在一题多解的基础上，分析比较各种方法的异同，如何做好方法的选择.各种方法的本质和优势，通过分析与比较都一目了然.

　　例5．复数Z满足arg（Z+3）=

π,求|z+6|+|z-3i|最小值.

由两个复数模的和取最小值，联想到一个点到两个定点距离和的最小值，将之转化为几何问题来解决应比较简便.

　　解法一:

由arg（Z+3）=

π,知Z+3的轨迹是一条射线OA，∠xOA=

π,而

　　|Z+6|+|Z-3i|=|（z+3）-（-3）|+|（Z+3）-（3+3i）|

　　将B（-3,0）与C（3,3）连结，BC连线与OA交点为D，取Z+3为D点，表示复数时，

　　|Z+6|+|Z-3i|=|BD|+|DC|=|BC|=3

∴所求最小值=3

π,知Z+3的轨迹是射线OA，则Z轨迹应是平行于OA，且过点（-3，0）的射线BM，

　　∴|Z+6|+|Z-3i|就表示射线BM上点到点P（-6,0）和点Q（0,3）距离之和，连结PQ与射线BM交于点N，取E为N点表示复数时，

　　|Z+6|+|Z-3i|=|PN|+|NQ|=|PQ|=3

　　∴所求最小值=3

两种方法的本质相同，都是将数学式子利用其几何意义转化成几何问题进行解决.如果纯粹用代数方法求解，难度会很大.对有关最值问题，尤其是模（距离）和辐角主值最值问题，用数形结合方法显然较为简便.

　　例6．已知|Z-2i|≤1,求arg（Z-4i）最大值.

　　解：

∵|Z-2i|≤1,∴点Z轨迹是以（0，2）为圆心，1为半径的圆面，在其上任取一点Z，连Z与点（0，4）

得一以（0，4）为起点，Z为终点的向量，将起点平移到原点，则θ为其对应的辐角主值，显然arg（Z-4i）最大值为

π.

　　3．两个复数相乘，积的模等于模的积，辐角为两辐角之和，其几何意义是模的伸缩及对应向量的旋转.

　　两个复数相除，商的模等于模的商（除数不为零），辐角为两辐角之差，其几何意义同乘法.

　　由复数三角形式乘除运算的几何意义，可解决向量或图形的旋转问题，如等腰、等边三角形、直角三角形，平行四边形顶点间的几何何关系利用复数的乘除运算来表示.

　　复数三角形式较之代数形式，在乘除运算中非常方便，可顺利解决多项相乘（乘方），相除及乘除混合运算.

　　例7．若

与

分别表示复数Z1=1+2

i,Z2=7+

i,求∠Z2OZ1并判断ΔOZ1Z2的形状.

欲求∠Z2OZ1，可计算

　　∴∠Z2OZ1=

　　且

，

　　由余弦定理，设|OZ1|=k,|OZ2|=2k（k>

0）|Z1Z2|2=k2+（2k）2-2k·

2k·

=3k2

　　∴|Z1Z2|=

k,

　　而k2+（

k）2=（2k）2，∴ΔOZ1Z2为有一锐角为60°

的直角三角形.

此题中利用除法几何意义来解决三角形中角的大小问题，十分方便.

　　例8．已知直线l过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（-1,0）和B（0,8）关于l的对称点都在C上，求直线l与抛物线C的方程.

如图，建立复平面x0y，设向量

、

对应复数分别为

　　x1+y1i,x2+y2i.

　　由对称性，|OA'

|=|OA|=1,|OB'

|=|OB|=8,

　　∴x2+y2i=（x1+y1i）8i=-8y1+8x1i

　　∴

　　设抛物线方程为y2=2px（p>

0）则有y12=2px1,y22=2px2,

　　∴x1=

y12=p2,又|OA'

|=1，

　　∴（

）2+p2=1,　∴p=

或-

（舍）

　　∴抛物线方程为y2=

x，直线方程为:

y=

x.

对于解析几何的许多问题，若能借助于复数的向量来表示，常常有意想不到的功效.尤其涉及到特殊位置，特殊关系的图形时，尤显其效.

　　五、易错点

　　1．并不是每一个复数都有唯一确定的辐角主值.如复数零的模为0，辐角主值不确定.

　　2．注意ArgZ与argZ的区别.ArgZ表示复数Z的辐角，而argZ表示复数Z的辐角主值.

　　ArgZ=argZ+2kπ（k∈Z）,argZ∈[0,2π）,辐角主值是[0,2π）内的辐角，但辐角不一定是辐角主值.

　　3．复数三角形式的四个要求:

模非负，角相同，余弦前，加号连，缺一不可.任何一个不满足，就不是三角形式.

　　4．注意复数三角形式的乘除运算中，向量旋转的方向.

　　六、练习

　　1．写出下列复数的三角形式

（1）ai（a∈R）　　

（2）tgθ+i（

π）　　（3）-

（sinθ-icosθ）

　　2．设Z=（-3

+3

i）n,n∈N，当Z∈R时，n为何值？

　　3．在复平面上A，B表示复数为α,β（α≠0）,且β=（1+i）α，判断ΔAOB形状，并证明SΔAOB=

|d|2.

　　参考答案:

　　1．

（1）ai=

（2）tgθ+i（

π）=-

[cos（

π-θ）]

　　（3）-

（sinθ-icosθ）=

+θ）]

　　2．n为4的正整数倍

　　3．法一:

∵α≠0，β=（1+i）α

=1+i=

）,∴∠AOB=

分别表示复数α，β-α，

　　由β-α=αi，得

=i=cos

，

　　∴∠OAB=90°

　∴ΔAOB为等腰直角三角形.

∵|

|=|α|,|

|=|β-α|=|αi|=|α|,　∴|

|=|

|

　　又|

|=|β|=|（1+i）α|=

|α|,|

|2+|

|2=|α|2+|α|2=2|α|2=|

|2

　　∴ΔAOB为等腰直角三角形，∴SΔAOB=

|

|·

|=

|α|2.

在线测试

窗体顶端

　　选择题

　　1．若复数z=（a+i）2的辐角是

，则实数a的值是（　）

A、1　　

B、-1　　

C、-

D、-

窗体底端

　　2．已知关于x的实系数方程x2+x+p=0的两虚根a，b满足|a-b|=3，则p的值是（　）

A、-2　　

B、-

C、

D、1

　　3．设π<

，则复数

的辐角主值为（　）

A、2π-3θ　　

B、3θ-2π　　

C、3θ　　

D、3θ-π

　　4．复数cos

经过n次乘方后，所得的幂等于它的共轭复数，则n的值等于（　）

A、3　　

B、12　　

C、6k-1（k∈Z）　　

D、6k+1（k∈Z）

　　5．z为复数，（

）|z-3|=（

）|z+3|（

）-1的图形是（　）

A、直线　　

B、半实轴长为1的双曲线

C、焦点在x轴，半实轴长为

的双曲线右支　　

D、不能确定

答案与解析

　　答案：

1、B　2、C　3、B　4、C　5、C

　　解析：

　　1．∵z=（a+i）2=（a2-1）+2ai，argz=

，∴

，∴a=-1，本题选B.

　　2．求根a，b=

（Δ=1-4p<

0）　∵|a-b|=|

|=3，

　　∴4p-1=9，p=

，故本题应选C.

　　3．

=cos3θ+isin3θ.

，∴3π<

3θ<

，∴π<

3θ-2π<

，故本题应选B.

　　4．由题意，得（cos

）n=cos

=cos

　　由复数相等的定义，得

　　解得

=2kπ-

，（k∈Z），∴n=6k-1.故本题应选C.

　　5．依题意，有|z-3|=|z+3|-1，∴|z+3|-|z-3|=1.由双曲线定义，此方程表示焦点（±

3，0），2a=1，a=

的双曲线右支，故本题应选C.

复数三角形式的运算·

疑难问题解析

　　1．复数的模与辐角：

（1）复数模的性质：

｜z1·

z2｜=｜z1｜·

｜z2｜

（2）辐角的性质：

积的辐角等于各因数辐角的和．

　　商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．

　　一个复数n次幂（n∈N）的辐角等于这个复数辐角的n倍．

　　注意：

（1）辐角与辐角主值的区别，特别是解题过程中的不同点．如下面两个问题：

　　若arg（2-i）=α，arg（3-i）=β，求α+β的值．（α+β∈（3π，4π））

　　若arg（2-i）=α，arg（3-i）=β，求arg[（2-i）（3-i）]的值．

（2）两个复数乘积的辐角主值不一定等于两辐角主值的和，商的辐角主值不一定等于辐角主值的差.

　　2．关于数的开方

（1）复数的开方法则：

r（cosθ+isinθ）的n次方根是

几何意义：

　　　设

对应于复平面上的点

，则有：

　　　　所以，复数z的n次方根，在复平面内表示以原点为中心的正n边形的n个顶点．

（2）复数平方根的求法．

　　求-3-4i的平方根．

　　解法一　利用复数代数形式．设-3-4i的平方根为x+yi（x，y∈R），则有

　　（x+yi）2=-3-4i,　即（x2-y2）+2xyi=-3-4i，　由复数相等条件，得

　　∴-3-4i的平方根是±

（1-2i）．

　　法二　利用复数的三角形式．

　　3．复数集中的方程．

　　关于实系数的一元二次方程的解法：

设ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c∈R，x1，x2为它的两个根）

（1）当△=b2-4ac≥0时，方程有两个实数根　当△=b2-4ac＜0时，方程有一对共轭虚根

　　（4）二次三项式的因式分解：

ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）

　　关于复系数的一元二次方程的解法：

设ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c∈C，且至少有一个虚数，x1x2为它的两个根）

　　（4）二次三项式的因式分解ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）仍然适用．

　　关于二项方程的解法

　　形如anxn+a0=0（a0，an∈C且an≠0）的方程叫做二项方程，任何一个二项方程都可以化成xn=b（b∈C）的形式，因此都可以通过复数开方来求根．

　　可以充分利用复数z的整体性质，复数z的三种表示方法及其转换来解方程．

　　已知方程x2-4x+p=0两虚数根为α、β，且|α-β|=2求实数p的值．

　　解法1　∵实系数一元二次方程虚根共轭设α=a+bi，

　　β=a-bi，（a，b∈R）　∴α+β=2a=4，∴a=2

　　又∵|α-β|=2,∴|2bi|=2得b=±

1

　　即两根为2+i，2-i由韦达定理得：

p=（2+i）（2-i）=5

　　法2　由韦达定理可得：

α+β=4，αβ=p

　　于是|α-β|2=|（α-β）2|=|（α+β）2-4αβ|=|42-4p|=4，　即|4-p|=1

　　又∵△=42-4p＜0　　p＞4，　∴p-4=1，　得p=5

　　说明　注意实系数一元二次方程有两个实根与有两个虚根的区别．

一等式成立．若有两个虚根则上述等式不成立．因为｜α-β｜2≠（α-β）2．因此在解题时要重视复数与实数知识点之间的区别与联系，要避免出现混淆与干扰．

　　已知方程2x2+3ax+a2-a=0有模为1的根，求实数a的值．

　　分析　已知方程有模为1的根，此根可能是实数，也可能是虚数，故求实数a要注意分域讨论．

　　解　

（1）若所给方程有实根则△=（3a）2-4×

2（a2-a）=a2+8a＞0，　即a＜-8或a＞0

　　由条件得根必为1或-1，

　　①将x=1代入原方程可得a2+2a+2=0a无实数解．

（2）若所给方程有虚根则△=a2+8＜0，　即-8＜a＜0

　　即a2-a-2=0，　∴a=-1或a=2（舍）

　　已知方程x2-（2i-1）x+3m-i=0有实数根，求实数m．

　　分析　求实数m的范围，若用判别式来判断是错误的，因为此方程的系数是复数．

　　利用求根公式或用韦达定理或选用复数相等，解方程组来求实数m均可以．现仅介绍一种方法．

　　解　∵x，m∈R，方程变形可得，（x2+x+3m）-（2x+1）i=0

复数例题讲解与分析

　　例1．已知x,y互为共轭复数，且（x+y）2-3xyi=4-6i,求x,y.

　　[思路1]：

确定一个复数即分别确定它的实部、虚部或模与一个辐角，设z=a+bi或三角形式，化虚为实。

　　[解法1]：

设x=a+bi（a,b∈R）,则y=a-bi,代入原等式得：

（2a）2-3（a2+b2）i=4-6i.

　或

。

　　[思路2]：

“x,y互为共轭”含义？

→x+y∈R,xy∈R,则（x+y）2-3xyi=4-6i

　　[解法2]：

∵x=

，∴x+y∈R,xy∈R,∴由两复数相等可得：

　　∴由韦达定理可知：

x,y同是方程：

z2+2z+2=0或z2-2z+2=0的两根，

　　分别解两个一元二次方程则得x,y……（略）。

　　例2．已知z∈C,|z|=1且z2≠-1,则复数

（　）

　　A、必为纯虚数　　B、是虚数但不一定是纯虚数　　C、必为实数　　D、可能是实数也可能是虚数

　　[思路分析]：

选择题，从结论的一般性考虑，若z=±

1，显然A、B选项不成立，分析C、D选项，显然穷举验证不能得出一般结论只能推演

[法1]　设z=a+bi,a,b∈R,a2+b2=1,a≠0.

　　则

∈R，故，应选C。

　　[法2]　设z=cosθ+isinθ（θ∈R,且θ≠kπ+

），

∈R。

　　[法3]　∵z·

=|z|2,∴当|z|=1时有z·

=1,

∈R.

　　[法4]　∵当|z|=1时有z·

=1，

　　[法5]　∵复数z为实数的充要条件是z=

　　而（

又∵|z|=1时，

，∴

　　[评注]：

复习中，概念一定要结合意义落实到位，一方面深化理解（比如复数定义：

“形如a+bi（a,b∈R）的数叫复数”深入理解就有凡是复数都能写成这样，求一个复数，使用一个复数都可通过这一形式将问题化虚为实；

……。

）

　　同时对一些概念的等价表达式要熟知。

（比如：

z=a+bi∈R

b=0（a,b∈R）

z=

z2≥0；

z=a+bi是纯虚数

a=0且b≠0（a,b∈R）

z+

=0（z≠0）

z2<

0；

…….）

　　在面对具体问题时要有简捷意识（比如该例方法1，有同学可能会在算到

时不注意及时化简分母又直接按两复数相除的运算法则进行），多方理解挖掘题目立意。

　　例3．求使关于x的方程x2+（m+2i）x+2+mi=0至少有一个实根的实数m.